【空間ベクトル】4 点が同一平面上にある場合の確率(神戸大2017理系第4問)

$\overrightarrow{v_1}=(1,1,1),\overrightarrow{v_2}=(1,-1,-1),\overrightarrow{v_3}=(-1,1,-1),\overrightarrow{v_4}=(-1,-1,1)$ とする。座標空間内の動点 P が原点 O から出発し，正四面体のサイコロ（1, 2, 3, 4 の目がそれぞれ確率 $\cfrac{1}{4}$ で出る）をふるごとに，出た目が $k$ ($k=1,2,3,4$) のときは $\overrightarrow{v_k}$ だけ移動する。すなわち，サイコロを $n$ 回ふった後の動点 P の位置を $\text{P}_n$ として，サイコロを $(n+1)$ 回目にふって出た目が $k$ ならば

$$\overrightarrow{\text{P}_n\text{P}_{n+1}}=\overrightarrow{v_k}$$

である。ただし，$\text{P}_0=\text{O}$ である。以下の問に答えよ。

(1) 点 $\text{P}_2$ が $x$ 軸上にある確率を求めよ。

(2) $\overrightarrow{\text{P}_0\text{P}_2}\perp\overrightarrow{\text{P}_2\text{P}_4}$ となる確率を求めよ。

(3) 4 点 $\text{P}_0,\text{P}_1,\text{P}_2,\text{P}_3$ が同一平面上にある確率を求めよ。

(4) $n$ を 6 以下の自然数とする。$\text{P}_n=\text{O}$ となる確率を求めよ。

x 軸上の確率

(1)から始めます。

点が $x$ 軸上にあるということは，例えば，(1,0,0) のように，$y$ と $z$ の値が 0 であるということです。$\text{P}_2$ はサイコロを 2 回ふったときなので，2 つのベクトルを足し算して，$y$ と $z$ が 0 になるパターンを考えればよいことになります。

このようになるパターンは

$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$
$=(1,1,1)+(1,-1,-1)=(2,0,0)$

このようになるのは，$\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}$，または $\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_1}$ の順になるときです。このときの確率は $\cfrac{2}{4^2}$ となります。

また

$\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_4}$
$=(-1,1,-1)+(-1,-1,1)=(0,0,0)$

したがって求める確率は

$\cfrac{2}{4^2}+\cfrac{2}{4^2}=\cfrac{1}{4}$　（答え）

内積が 0 になるパターンを考える

(2)に進みます。

$\overrightarrow{\text{P}_0\text{P}_2}$ と $\overrightarrow{\text{P}_2\text{P}_4}$ はどちらもサイコロを 2 回ふったときのベクトルを表します。これらのベクトルは以下のいずれかによって表されます。

$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=(2,0,0)$
$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_3}=(0,2,0)$
$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_4}=(0,0,2)$
$\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}=(0,0,-2)$
$\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_4}=(0,-2,0)$
$\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_4}=(-2,0,0)$

2 つのベクトルが垂直であるということは，内積が 0 であるということです。よって，これらのベクトルの内積を求めて 0 になるパターンを考えます。

たとえば

$(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2})\cdot(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_3})=(2,0,0)\cdot(0,2,0)=2\cdot0+0\cdot2+0\cdot0=0$

のように，$x$ 座標のどちらかが 0 であればかけ算の値は 0 になり，$y,z$ についても同様にどちらかが 0 であれば内積が 0 になります。このようになるパターンは 24 通り作ることができます。

そして，これは
$(\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_1})\cdot(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_3})$
や
$(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2})\cdot(\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_1})$
のようにベクトルの順番を入れ替えた場合でも同じことです。これらは $2^2=4$ 通りです。

したがって

$\cfrac{24\cdot4}{4^4}=\cfrac{3}{8}$ （答え）

4 点が同一平面上にある場合

(3)に進みます。

$\text{P}_0$ からスタートして $\text{P}_3$ にたどり着くまで，3 つのベクトルを足し合わせることになります。

もし，3 つのベクトルが同一 (たとえば $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_1}$ など) の場合，これは 1 本の直線となり，同一平面上に存在すると言えます。

また，3 つのうち 2 つのベクトルが同一 (たとえば $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_1}$ など) の場合，2 つのベクトルが並行なので，4 点で平行四辺形ができあがります。よって，同一平面上です。

$\overrightarrow{v_1}$ ～ $\overrightarrow{v_4}$ は互いに 1 次独立なので，平行四辺形になるのは，3 つのうち 2 つのベクトルが同一である場合のみです。

こうして考えると，3 つのベクトルのうち 2 つ以上のベクトルが同一であれば，同一平面上にあると言えます。

したがって，3 つのベクトルが同一になるのは 4 通り。

2 つのベクトルが同一になるのは $\overrightarrow{v_1}$ ～ $\overrightarrow{v_4}$ から 2 つを選ぶことに等しいので $4\times3=12$ 通りだが，たとえば $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$，$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_1}$，$\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_1}$ とそれぞれ 3 通りずつあるので，$12\times3=36$ 通り。

求める確率は

$\cfrac{4+36}{4^3}=\cfrac{40}{64}=\cfrac{5}{8}$　（答え）

零ベクトルになる場合

(4)に進みます。

原点に戻るということは，ベクトルを足し合わせたものが 0 になるということです。

$\overrightarrow{v_1}=(1,1,1)$
$\overrightarrow{v_2}=(1,-1,-1)$
$\overrightarrow{v_3}=(-1,1,-1)$
$\overrightarrow{v_4}=(-1,-1,1)$

4 つのベクトルは，それぞれの成分が $1$ か $-1$ なので，合計で 0 にするためには，偶数個を足し合わせなければなりません。

まず，2 つのベクトルを足してみましょう。

$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=(2,0,0)$
$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_3}=(0,2,0)$
$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_4}=(0,0,2)$
$\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}=(0,0,-2)$
$\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_4}=(0,-2,0)$
$\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_4}=(-2,0,0)$

$(0,0,0)$ になることはないので，$n=2$ のとき原点に戻ることはありません。

次に，$n=4$ の場合を考えてみましょう。

上で作った 6 つの式から 2 つを選んで足してみると分かりますが，結局 0 になるのは $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_4}$ のときだけです。

これらの組み合わせは $4!$ 通りです。

$\cfrac{4!}{4^4}=\cfrac{3}{32}$

$n=6$ の場合はどうでしょうか？上で作った 6 つの式から 3 つを選んで足してみても，$(0,0,0)$ にすることはできないはずです。

したがって，求める確率は

$\cfrac{3}{32}$　（答え）