数IAIIB 高校数学の解法

【確率・期待値】ブラックジャック的ゲーム 得点がいくつまでなら次を引くべき?(九州大)

次のような競技を考える。競技者がさいころを振る。もし、出た目が気に入ればその目を得点とする。そうでなければ、もう1回サイコロを振って、2つの目の合計を得点とすることができる。ただし、合計が7以上になった場合は得点は0点とする。この取り決めによって、2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。次の問いに答えよ。(九州大2010)
(1) 競技者が常にサイコロを2回振るとすると、得点の期待値はいくらか。
(2) 競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると、得点の期待値はいくらか。
(3) 得点の期待値を最大にするためには、競技者は最初の目がどの範囲にあるときに2回目を振るとよいか。


(3) やっかいそう。

(1)(2) やってくとヒントでてくるから順番にやっていくよ。

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期待値のおさらい

期待値の求め方覚えてる?

んー、習った記憶自体あんまりないです。

簡単におさらい。例えば、サイコロ振って $1,2$ なら $10$ 点、$3,4,5,6$ なら $20$ 点もらえるときの期待値を考える。

$1,2$ が出る確率は $\frac{1}{3}$、$3$ ~ $6$ が出る確率は $\frac{2}{3}$ だから期待値は
$\displaystyle 10\times\frac{1}{3}+20\times\frac{2}{3}=\frac{50}{3}$
小数で言うと 16.6… で、つまりこのゲームを何度も繰り返したとき得点の平均が16.6くらいになるっていう意味なの。

こんな感じで、値×確率の合計で期待値が出る。今回これでやっていくよ。

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常にサイコロを2回振る場合

(1) から考えます。

期待値の公式考えれば、各得点ごとの確率を出す必要があるよね。

7 点以上はアウトだから、1 ~ 6 点のときを求めればいいのか。

そういうこと。ただ、サイコロ 2 回振って合計 1 点になることはないから、実際は 2 ~ 6 点だよね。

サイコロの目が 1 回目ー 2、2 回目ー 3 のときこれを $(2,3)$ と表すと

合計得点
2$(1,1)$$1$ 通り
3$(1,2),(2,1)$$2$ 通り
4$(1,3),(2,2),(3,1)$$3$ 通り
5$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$$4$ 通り
6$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$$5$ 通り

これ以外の組み合わせは合計 7 以上で 0 点になってしまうから書いてない。

サイコロ 2 回振るから分母はどの場合でも 36 。まとめて書いてしまうよ。

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times2+4\times3+5\times4+6\times5)$

$\displaystyle =\frac{35}{18}$(答え)

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6 のときだけ2回目を振らない

(2) に進みます。

どうしたらいいんですか?

これって逆に言えば 1 ~ 5 のときは 2 回目を振るってことだよね。で、それは (1) で既に全パターン数えてる。でも上の表見たら最初に 6 が出るパターンはないよね。だから 6 が出て 2回目は振らないっていうパターンを加えればよい。

サイコロを 1 回だけ振って 6 が出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ だから

$\displaystyle\frac{35}{18}+6\times\frac{1}{6}=\frac{53}{18}$(答え)

得点がいくつまでなら次を引くべきか

(3) に進みます。

いっぺん考えてみてほしいけど、自分がこのゲームやるとしてどういうときに 2 回目振らないってする?

んー、5 か 6 だと次にアウトになりそうだから引かないかも。

なるほどね。ちなみに 6 のときは次引いたら完全アウトだから引いちゃダメよ。

ああ、そうか。

つまりこういうことだよね。(2) では 6 のときは次を引かないってしたけど、その話を拡大して 5, 6 なら引かない、4,5,6 なら引かない…って順次考えて期待値が最も大きくなるポイントを検証すれば答えが出る。

(i) 5, 6 のとき 2回目を引かない

合計得点
2$(1,1)$$1$ 通り
3$(1,2),(2,1)$$2$ 通り
4$(1,3),(2,2),(3,1)$$3$ 通り
5$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$$4$ 通り
6$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2)$$4$ 通り

 つまり、上で作った表から 1 回目で 5 になるパターン $(5,1)$ を削ったってこと。以下、同じ考えで 1 回目が 4 のヤツ、1 回目が 3 のヤツ…と順次削っていけばよい。

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times2+4\times3+5\times4+6\times4)+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}$

$\displaystyle =\frac{130}{36}$

1 回目 5 が出て次を引かない場合の $5\times\frac{1}{6}$ と 6 が出て次を引かない場合の $6\times\frac{1}{6}$ を加えるのを忘れないように。

(ii) 4 ~ 6 のとき 2 回目を引かない

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times2+4\times3+5\times3+6\times3)+\frac{1}{6}(4+5+6)$

$\displaystyle =\frac{143}{36}$

(iii) 3 ~ 6 のとき 2 回目を引かない

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times2+4\times2+5\times2+6\times2)+\frac{1}{6}(3+4+5+6)$

$\displaystyle =\frac{146}{36}$

(iv) 2 ~ 6 のとき 2 回目を引かない

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times1+4\times1+5\times1+6\times1)+\frac{1}{6}(2+3+4+5+6)$

$\displaystyle =\frac{140}{36}$

(v) 1 ~ 6 のとき 2 回目を引かない

ようするにサイコロの目に関係なく 1 回しか引かないってこと。

$\displaystyle \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{126}{36}$

これで検証終わり。

3 ~ 6 で 2 回目引かないときが一番期待値高いですね。

したがって

最初の目が 2 以下のとき、2 回目を振るとよい。(答え)

少し意外な結果だよね。3 以上が出たら 2 回目は引かないってすると勝率が上がる。

1 回目が 3 だったらまだ引いても良さそうな気がする。

そうね。これって人間が直感で判断していることと現実は別であるっていうことを示すいい例だね。

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