数III神戸大高校数学の解法

神戸大2016理系第5問 カージオイド(心臓形)の描き方/曲線の長さを求める

極方程式で表された $xy$ 平面上の曲線 $r=1+\cos\theta$ $(0\leqq\theta\leqq2\pi)$ を $C$ とする。以下の問に答えよ。

(1) 曲線 $C$ 上の点を直交座標 $(x,y)$ で表したとき,$\cfrac{dx}{d\theta}=0$ となる点,および $\cfrac{dy}{d\theta}=0$ となる点の直交座標を求めよ。

(2) $\displaystyle\lim_{\theta\rightarrow\pi}\cfrac{dy}{dx}$ を求めよ。

(3) 曲線 $C$ の概形を $xy$ 平面上にかけ。

(4) 曲線 $C$ の長さを求めよ。

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極値を求める

(1)から始めます。今回描く図形は以下のようになります。

こういう形をカージオイド(心臓形)という。

$\theta$ の値によって,$r$ の大きさが変わることによって,上のような図ができあがります。

手順としては,$x$ 座標と $y$ 座標をそれぞれ $\theta$ で微分し,増減表を作って概形を求めます。

$x=r\cos\theta$
$=(1+\cos\theta)\cos\theta$
$=\cos\theta+\cos^2\theta$
$y=r\sin\theta$
$=(1+\cos\theta)\sin\theta$
$=\sin\theta+\sin\theta\cos\theta$

とする。

$x$ を $\theta$ で微分すると

$\cfrac{dx}{d\theta}=-\sin\theta+2\cos\theta(-\sin\theta)$
$=-\sin\theta-2\sin\theta\cos\theta$

$-\sin\theta-2\sin\theta\cos\theta=0$ とすると

$-\sin\theta(1+2\cos\theta)=0$

$\sin\theta=0$ より

$\theta=\pi$

$0$ と $2\pi$ は解じゃないの?

関数の範囲は $0\leqq\theta\leqq2\pi$ だけど,定義域の端っこ(端点)は微分可能でないから,解にできない。

あー,右微分と左微分みたいなヤツ?

そう。例えば $\theta=0$ のときは右微分はできるけど左微分はできない。関数のグラフがそこで切れてて連続してない。関数が連続してないところでは微分できないってのが微分のルール。

また $\cos\theta=-\cfrac{1}{2}$ だから

$\theta=\cfrac{2}{3}\pi,\cfrac{4}{3}\pi$

$\theta=\pi$ のとき

$r=1+\cos\pi=1-1=0$

よって,$(x,y)=(0,0)$

$\theta=\cfrac{2}{3}\pi$ のとき

$r=1+\cos\cfrac{2}{3}\pi=1-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}$
$x=\cfrac{1}{2}\cos\cfrac{2}{3}\pi=\cfrac{1}{2}\Big(-\cfrac{1}{2}\Big)=-\cfrac{1}{4}$
$y=\cfrac{1}{2}\sin\cfrac{2}{3}\pi=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}$
$(x,y)=\Big(-\cfrac{1}{4},\space\cfrac{\sqrt{3}}{4}\Big)$

$\theta=\cfrac{4}{3}\pi$ のとき

$r=1+\cos\cfrac{4}{3}\pi=1-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}$
$x=\cfrac{1}{2}\cos\cfrac{4}{3}\pi=\cfrac{1}{2}\Big(-\cfrac{1}{2}\Big)=-\cfrac{1}{4}$
$y=\cfrac{1}{2}\sin\cfrac{4}{3}\pi=\cfrac{1}{2}\Big(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=-\cfrac{\sqrt{3}}{4}$
$(x,y)=\Big(-\cfrac{1}{4},-\cfrac{\sqrt{3}}{4}\Big)$

したがって,$\cfrac{dx}{d\theta}=0$ となる点は

$\Big(-\cfrac{1}{4},\pm\cfrac{\sqrt{3}}{4}\Big)$ (答え)

さらに

$y=\sin\theta+\sin\theta\cos\theta$ を $\theta$ で微分すると

$\cfrac{dy}{d\theta}=\cos\theta+\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta$
$=\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta$
$=\cos\theta+\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)$
$=2\cos^2\theta+\cos\theta-1$

$2\cos^2\theta+\cos\theta-1=0$ とすると

$(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)=0$
$\cos\theta=\cfrac{1}{2},-1$

$\cos\theta=\cfrac{1}{2}$ のとき

$\theta=\cfrac{\pi}{3},\cfrac{5}{3}\pi$

$\theta=\cfrac{\pi}{3}$ のとき

$r=1+\cos\cfrac{\pi}{3}$
$=1+\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}$

$x=\cfrac{3}{2}\cos\cfrac{\pi}{3}$
$=\cfrac{3}{2}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{4}$

$y=\cfrac{3}{2}\sin\cfrac{\pi}{3}$
$=\cfrac{3}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{3\sqrt{3}}{4}$
$(x,y)=\Big(\cfrac{3}{4},\cfrac{3\sqrt{3}}{4}\Big)$

$\theta=\cfrac{5}{3}\pi$ のとき

$r=1+\cos\cfrac{5}{3}\pi$
$=1+\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}$

$x=\cfrac{3}{2}\cos\cfrac{5}{3}\pi$
$=\cfrac{3}{2}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{4}$

$y=\cfrac{3}{2}\sin\cfrac{5}{3}\pi$
$=\cfrac{3}{2}\cdot\Big(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)$
$=-\cfrac{3\sqrt{3}}{4}$

$(x,y)=\Big(\cfrac{3}{4},-\cfrac{3\sqrt{3}}{4}\Big)$

また $\cos\theta=-1$ のとき

$\theta=\pi$

$(x,y)=(0,0)$

したがって $\cfrac{dy}{d\theta}=0$ となる点は

$\Big(\cfrac{3}{4},\pm\cfrac{3\sqrt{3}}{4}\Big),(0,0)$ (答え)

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極値を求める

(2)に進みます。

$\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{\space\cfrac{dy}{d\theta}\space}{\cfrac{dx}{d\theta}}$
$=\cfrac{(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)}{-\sin\theta(2\cos\theta+1)}$

このまま $\theta\rightarrow\pi$ とすると,$\sin\pi=0$ で分母が 0 になってしまうので,極限を求めることができません。

ここは,試行錯誤して 分母の $\sin$ を約分して消去する方法を考えましょう。

どうするの?

分母・分子に $\cos\theta-1$ をかける。

$=\cfrac{(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)(\cos\theta-1)}{-\sin\theta(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)}$
$=\cfrac{(2\cos\theta-1)(\cos^2\theta-1)}{-\sin\theta(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)}$
$=\cfrac{(2\cos\theta-1)(1-\sin^2\theta-1)}{-\sin\theta(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)}$
$=\cfrac{-\sin^2\theta(2\cos\theta-1)}{-\sin\theta(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)}$
$=\cfrac{\sin\theta(2\cos\theta-1)}{(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)}$

したがって

$\displaystyle\lim_{\theta\rightarrow\pi}\cfrac{\sin\theta(2\cos\theta-1)}{(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)}$
$=\cfrac{0}{-1\cdot(-2)}=0$ (答え)

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グラフの概形を描く

(3)に進みます。いったん(1)で極値を求めているので,あとは増減表を書いてグラフの概形を描きます。

$r=1+\cos\theta$ のグラフは $x$ 軸対称なので,$0$ から $\pi$ までの区間で増減表を作れば大丈夫です。

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline\theta&0&\cdots&\frac{\pi}{3}&\cdots&\frac{2}{3}\pi&\cdots&\pi\\\hline\frac{dx}{d\theta}&&-&-&-&0&+\\\hline x&2&\searrow&\frac{3}{4}&\searrow&-\frac{1}{4}&\nearrow&0\\\hline\frac{dy}{d\theta}&&+&0&-&-&-\\\hline y&0&\nearrow&\frac{3\sqrt{3}}{4}&\searrow&\frac{\sqrt{3}}{4}&\searrow&0\\\hline\end{array}$

グラフの概形は

曲線の長さ

(4)に進みます。

曲線の長さは次の公式を用います。

曲線の長さ

曲線 $x=f(t)$,$y=g(t)$ $(a\leqq t\leqq b)$ の長さ $L$ は
$\displaystyle L=\int_a^b\sqrt{\Big(\cfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\cfrac{dy}{dt}\Big)^2}\space dt$

ようするに三平方の定理だよね。ナナメ方向の小さな直線をつなげて長さを求めるの。

積分って公式覚えて解くだけなんだけど,数学的な操作としては直線をひたすら細かくしてつなげていくっていう作業をしている。

$\displaystyle L=2\int_0^{\pi}\sqrt{\Big(\cfrac{dx}{d\theta}\Big)^2+\Big(\cfrac{dy}{d\theta}\Big)^2}\space d\theta$

まずはルートの中を整理していきましょう。

$\Big(\cfrac{dx}{d\theta}\Big)^2+\Big(\cfrac{dy}{d\theta}\Big)^2$
$=\{-\sin\theta(1+2\cos\theta)\}^2+\{(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)\}^2$
$=\sin^2\theta(1+2\cos\theta)^2+(2\cos\theta-1)^2(\cos\theta+1)^2$

ここは式を $\cos$ でまとめた方がいいでしょう。

$\cos$ の方がたくさんあるからですか?

そう。多数決で $\sin$ の負け。

$=(1-\cos^2\theta)(1+2\cos\theta)^2+(2\cos\theta-1)^2(\cos\theta+1)^2$
$=(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)(1+2\cos\theta)^2+(2\cos\theta-1)^2(\cos\theta+1)^2$
$=(1+\cos\theta)\{(1-\cos\theta)(1+2\cos\theta)^2+(2\cos\theta-1)^2(1+\cos\theta)\}$
$=(1+\cos\theta)\{(1-\cos\theta)(1+4\cos\theta+4\cos^2\theta)+(4\cos^2\theta-4\cos\theta+1)(1+\cos\theta)\}$
$=(1+\cos\theta)(1+4\cos\theta+4\cos^2\theta-\cos\theta-4\cos^2\theta-4\cos^3\theta+4\cos^2\theta-4\cos\theta+1+4\cos^3\theta-4\cos^2\theta+\cos\theta)$
$=2(1+\cos\theta)$

このまま,$\sqrt{2(1+\cos\theta)}$ ってするとルートが外れないから,工夫すべし。

どうやって?

$1+\cos\theta$ を見たときに,これを半角の公式の一部って見れるとうまくいく。

$=4\cdot\cfrac{1+\cos\theta}{2}$
$=4\cos^2\cfrac{\theta}{2}$

よって

$\displaystyle L=2\int_0^\pi\sqrt{4\cos^2\cfrac{\theta}{2}}\space d\theta$
$\displaystyle=2\int_0^\pi2\cos\cfrac{\theta}{2}\space d\theta$
$\displaystyle=4\int_0^\pi\cos\cfrac{\theta}{2}\space d\theta$
$=4\Big[2\sin\cfrac{\theta}{2}\Big]_0^\pi$

$\cos\cfrac{\theta}{2}$ は合成関数だから,積分するときは $\cfrac{\theta}{2}$ の微分の逆数,つまり 2 をかけるのを忘れずに。

これ何ででしたっけ?

微分すると分かる。$\Big(2\sin\cfrac{\theta}{2}\Big)’=2\cos\Big(\cfrac{\theta}{2}\Big)\cdot\cfrac{1}{2}=\cos\cfrac{\theta}{2}$ ってなってもとに戻る。

$=8\Big(\sin\cfrac{\pi}{2}-\sin0\Big)$
$=8$ (答え)

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