解と係数を用いて関数の係数を決める問題(神戸大2017文系第2問)

次の 2 つの条件をみたす $x$ の 2 次式 $f(x)$ を考える。

(i) $y=f(x)$ のグラフは点 $(1,4)$ を通る。

(ii) $\displaystyle\int_{-1}^2f(x)\space dx=15$

以下の問に答えよ。

(1) $f(x)$ の 1 次の項の係数を求めよ。

(2) 2 次方程式 $f(x)=0$ の 2 つの解を $\alpha,\beta$ とするとき，$\alpha$ と $\beta$ のみたす関係式を求めよ。

(3) (2)における $\alpha,\beta$ がともに正の整数となるような $f(x)$ をすべて求めよ。

連立方程式を立てる

(1)から始めます。

$f(x)=ax^2+bx+c$ として

$\displaystyle\int_{-1}^2ax^2+bx+c\space dx$
$=\Big[\cfrac{a}{3}x^3+\cfrac{b}{2}x^2+cx\Big]_{-1}^2$
$=\cfrac{8}{3}a+2b+2c+\cfrac{a}{3}-\cfrac{b}{2}+c$
$=3a+\cfrac{3}{2}b+3c=15$
$a+\cfrac{1}{2}b+c=5$ ・・・①

また，グラフは $(x,y)=(1,4)$ を通るので

$f(1)=a+b+c=4$　・・・②

②－①

$\cfrac{1}{2}b=-1$
$b=-2$

したがって，1 次の項の係数は $-2$ （答え）

解と係数の関係

(2)に進みます。

ここは，解と係数の関係を利用しましょう。

$f(x)=ax^2-2x+c$ とすると

解と係数の関係より

$\alpha+\beta=\cfrac{2}{a}$　・・・③

$\alpha\beta=\cfrac{c}{a}$　・・・④

$a,c$ を消去するためには，もう一つ，②を利用します。

$a-2+c=4$ だから

$a+c=6$
$c=6-a$　・・・⑤

④に代入して

$\alpha\beta=\cfrac{6-a}{a}$
$=\cfrac{6}{a}-1$
$1+\alpha\beta=\cfrac{6}{a}$ ・・・⑥

③，⑥ を連立して

$3(\alpha+\beta)=1+\alpha\beta$　（答え）

再び因数分解

(3)に進みます。

このままではどんな整数が当てはまるのか見えないので，式を整理してみます。

$3(\alpha+\beta)=1+\alpha\beta$ より

$\alpha\beta-3\alpha-3\beta+1=0$

因数分解して

$(\alpha-3)(\beta-3)-9+1=0$

$(\alpha-3)(\beta-3)=8$

たとえば，$\alpha-3=1$，$\beta-3=8$ とすると，$(\alpha,\beta)=(4,11)$ となります。他のパターンも考えると

$(\alpha,\beta)=(4,11),(11,4),(5,7),(7,5)$

解と係数の関係を用いて，$f(x)$ を作っていきましょう。

$f(x)=ax^2-2x+c$ より

(i) $(\alpha,\beta)=(4,11),(11,4)$ のとき

$\alpha+\beta=\cfrac{2}{a}$
$15=\cfrac{2}{a}$
$a=\cfrac{2}{15}$

⑤より，$c=6-\cfrac{2}{15}=\cfrac{88}{15}$

したがって

$f(x)=\cfrac{2}{15}x^2-2x+\cfrac{88}{15}$　（答え）

(ii) $(\alpha,\beta)=(5,7),(7,5)$ のとき

$\alpha+\beta=\cfrac{2}{a}$
$12=\cfrac{2}{a}$
$a=\cfrac{1}{6}$
$c=6-\cfrac{1}{6}=\cfrac{35}{6}$

したがって

$f(x)=\cfrac{1}{6}x^2-2x+\cfrac{35}{6}$　（答え）