九州大数III高校数学の解法

【数III積分】回転体の体積の求め方(九州大)

関数 $\displaystyle f(x)=x-\sin x\space\left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)$ を考える。曲線 $y=f(x)$ の接線で傾きが $\displaystyle\frac{1}{2}$ となるものを $\ell$ とする。
(1) $\ell$ の方程式と接点の座標 $(a,b)$ を求めよ。
(2) $a$ は (1) で求めたものとする。曲線 $y=f(x)$、直線 $x=a$、および $x$ 軸で囲まれた領域を、$x$ 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。(九州大2014)


今回は回転体の体積を求めてみるよ。

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傾きから接線を求める

回転体入る前に接線求めるヤツあるけど難しくないからさっさと片付けよう。

傾きが出てくるので、まずは微分します。
$\displaystyle f'(x)=1-\cos x=\frac{1}{2}$ だから
$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$
$f(x)$ に代入して、$\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{6}$
よって接点の座標は $\displaystyle (a,b)=\left(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{6}\right)$(答え)

ここから接線の式は
$\displaystyle y-\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
よって $\displaystyle \ell:\space y=\frac{1}{2}+\frac{\pi-3\sqrt{3}}{6}$(答え)

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回転体の体積を求める

次に回転体の体積を求めます。求める回転体は上の黄色の部分を $x$ 軸を中心にして回転させたものです。体積を求めるイメージは以下のような感じです。

円の面積を重ねていく、つまり積分することで回転体の体積になります。

回転体の体積: 円の面積を積分する

円の面積は $\pi r^2$ だったね。で、半径っていくらになる?

$y$ の値ですよね。

そういうこと。

円の面積を積分する式を作ると
$\displaystyle V=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \pi(x-\sin x)^2\space dx$
$\pi$ は定数なので積分の外に出して、2乗を展開します。
$\displaystyle =\pi\int_0^{\frac{\pi}{3}} x^2-2x\sin x+\sin^2 x\space dx$

$\sin^2 x$ が出てきたら半角の公式を使う。

$\displaystyle =\pi\int_0^{\frac{\pi}{3}} x^2-2x\sin x+\frac{1-\cos {2x}}{2}\space dx$
$\displaystyle =\pi\int_0^{\frac{\pi}{3}} x^2-2x\sin x+\frac{1}{2}-\frac{\cos {2x}}{2}\space dx$

ここで $2x\sin x$ はかけ算になっててこういうヤツは部分積分をやるとよい。

部分積分法
$\displaystyle\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$

ここで、$\displaystyle \int 2x\sin x\space dx$ を考えてみましょう。

部分積分難しい。

ときどきホントに難しいヤツあるけど、基本は微分したら簡単になるほうを残してもう一方を積分っていう方針でオッケー。

今回は $2x$ を微分したら $2$ になって簡単になりそうなので、$\sin x$ を積分します。

$\displaystyle \int 2x\sin x\space dx$
$\displaystyle =\int 2x(-\cos x)’\space dx$

$-\cos$ は微分して $\sin$ になるからこれで元の式と同じっていうこと。

ここから公式に当てはめて
$\displaystyle =-2x\cos x-\int (2x)'(-\cos x)\space dx$
$\displaystyle =-2x\cos x+2\int \cos x\space dx$
$\displaystyle =-2x\cos x+2\sin x$
これを $V$ の式に当てはめて積分すると
$\displaystyle V=\pi\left[\frac{x^3}{3}-2\sin x+2x\cos x+\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}$
$\displaystyle =\frac{\pi^4}{81}+\frac{\pi^2}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{8}\pi$(答え)

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