九州大数III高校数学の解法

【数III積分】回転体の体積の応用 回転体どうしで引き算(九州大)

原点 O を中心とし、点 A$(0,1)$ を通る円を $S$ とする。点 B$\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ で内接する円 $T$ が、点 C で $y$ 軸に接しているとき、以下の問いに答えよ。
(1) 円 $T$ の中心 D の座標と半径を求めよ。
(2) 点 D を通り $x$ 軸に平行な直線を $l$ とする。円 $S$ の短い方の弧 $\overgroup{\text{AB}}$、円 $T$ の短い方の弧 $\overgroup{\text{BC}}$、および線分 AC で囲まれた図形を $l$ のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ。(九州大2013)


今回は回転体の体積を求めていくけど、回転体どうしを引き算していくパターン。

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円の中心と半径を求める

回転体に入る前に、(1) を解決しておきます。

まず、円の中心 D は図で表すとこのような位置にあります。

どういうこと?

円が $y$ 軸と接するということは、$y$ 軸が接線になっているとも言えるでしょ?そして接線って中心から引いた線と直角の関係だった。なおかつ D は 直線 OB の間にある。これは次の図を見て。

こんな感じで接線を引くと中心から引いた線と直角になるから、円の中心と接点が一直線上に並ぶの。これは外接でも一緒。

そして点B の座標から $60\degree$ の直角三角形が 2 つ出来ます。辺の比は $1:2:\sqrt{3}$ だから
$k:m=1:2$
$k+m=1$($k+m$ は円 $S$ の半径になる)
よって $\displaystyle k=\frac{1}{3},m=\frac{2}{3}$
これをもとにして
点D $\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$  半径 $\displaystyle \frac{1}{3}$

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回転体の体積を求める

ここから回転体の話です。

要は青い部分を $\ell$ を中心軸にして回転させる。あと、回転体の体積は円の面積の積分で求めるんだったね。

普通に $y$ の値を積分していけばいいですか?

今回は少し複雑な形で、2 つの回転体を引き算することで求めていく。円筒状の立体の中をくり抜いたようなヤツになるね。

なんかやっかいそう。

そうね。ただ、円の面積の積分を 2 つやるだけってことだから順番にやっていけばちゃんと解けるよ。

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立体を 2 つに分けて考える

まず $V_1$ から。

$V_1$ は青い部分の高さを考えます。円 $S$ は原点を中心とする半径 $1$ の円なので
$x^2+y^2=1$
の関係が成り立ちます。これを変形して
$y=\sqrt{1-x^2}$
これは $x$ 軸からの高さを表しているので、引き算して
$\displaystyle y=\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
となります。これを円の半径として円の面積 $\pi r^2$ を積分すると
$\displaystyle V_1=\pi \int_0^{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\space dx$
となります。展開して計算していきましょう。
$\displaystyle =\pi\int_0^{\frac{1}{2}} 1-x^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{3}\space dx$
ルートのついた部分を分けておきます。
$\displaystyle =\pi\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4}{3}-x^2\space dx -\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi\int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-x^2}\space dx$
ここで
$\displaystyle =\pi\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4}{3}-x^2\space dx$
$\displaystyle =\pi\left[\frac{4}{3}x-\frac{x^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle =\pi\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{24}\right)=\frac{5}{8}\pi$

置換積分と半角の公式を利用する

また $\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi\int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-x^2}\space dx$ を求めると

置換積分やっていくよ

$x=\sin t$ として
$dx=\cos t\space dt$
$\displaystyle x\space 0\rightarrow \frac{1}{2}$
$\displaystyle t\space 0\rightarrow \frac{\pi}{6}$
よって
$\displaystyle =-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi\int_0^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{1-\sin^2 t}\cos t\space dt$
$\displaystyle =-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 t\space dt$
半角の公式 $\displaystyle \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ より
$\displaystyle =-\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\int_0^{\frac{\pi}{6}} 1+\cos 2t\space dt$
$\displaystyle =-\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\left[t+\frac{1}{2}\sin 2t\right]_0^{\frac{\pi}{6}}$
$\displaystyle =-\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
$\displaystyle =-\frac{\sqrt{3}}{18}\pi^2-\frac{1}{4}\pi$
したがって
$\displaystyle V_1=\frac{5}{8}\pi-\frac{\sqrt{3}}{18}\pi^2-\frac{1}{4}\pi$
$\displaystyle =-\frac{\sqrt{3}}{18}\pi^2+\frac{3}{8}\pi$

$\sqrt{1-x^2}$ みたいなヤツの積分っておうぎ形の面積使うといいって習ったことあるけど、使えますか?

使えるよ。シンプルなヤツだとそっちの方が速い。ただ場合によって面積の求め方がやっかいなときがあって、置換&半角で解く方法も使えた方がいいね。だからこのホームページでは面積計算で置きかえはやってない。好みの問題。

もう一つの回転体を考える

次に $V_2$ を求めます。

今度は黄色の部分の高さで式を作っていくのですがこのままだと計算が面倒なので中心を原点に移動してしまいましょう。

場所がどこにあろうが、形がいっしょなら体積は変わらない。

円の半径は $\displaystyle \frac{1}{3}$ だったので、$x$ 軸方向に $\displaystyle -\frac{1}{3}$ 移動すると、もともとの積分区間 $\displaystyle \left[0,\space\frac{1}{2}\right]$ が $\displaystyle \left[-\frac{1}{3},\space\frac{1}{6}\right]$ になります。

また、円 $T$ は $\displaystyle x^2+y^2=\frac{1}{9}$ の関係が成り立つので、式変形して
$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{9}-x^2}$
となります。これが回転体の半径です。

よって
$\displaystyle V_2=\pi\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{6}} \left(\sqrt{\frac{1}{9}-x^2}\right)^2\space dx$
$\displaystyle =\pi\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{9}-x^2\space dx$
$\displaystyle =\pi\left[\frac{1}{9}x-\frac{x^3}{3}\right]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{6}}$
$\displaystyle =\frac{1}{24}\pi$
したがって
$\displaystyle V=V_1-V_2=-\frac{\sqrt{3}}{18}\pi^2+\frac{3}{8}\pi-\frac{1}{24}\pi$
$\displaystyle =\frac{1}{3}\pi-\frac{\sqrt{3}}{18}\pi^2$(答え)

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