数IAIIB 高校数学の解法

【数Ⅰ式と計算】因数分解のいくつか忘れやすいパターンをまとめて復習する

明日の模試の準備してたら因数分解忘れてることに気づいた、今。

公式突っ込むだけじゃ解けないヤツ忘れやすいよね。忘れがちなヤツいくつかやるから思い出してね。

了解です!

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因数分解で忘れがちな3つの作業

因数分解やるとき、これ忘れがちなヤツ。

・公式
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
・式を $A$ に置き換え
・たすきがけ(複雑なヤツ)

あー、ありましたね。覚えてないけど。

実際に問題やるからじわじわ思いだしてね。

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$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ のパターン

問 $x^3+8y^3$ $8y^3$ は $(2y)^3$ で考える

$=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$ (答え)

$A$ に置き換えパターン

問 $x^6+7x^3-8$ $x^3=A$ として
$A^2+7A-8\\=(A+8)(A-1)\\=(x^3+8)(x^3-1)\\=(x+2)(x^2-2x+4)(x-1)(x^2+x+1)\\=(x-1)(x+2)(x^2+x+1)(x^2-2x+4)$

(答え)

最後の行はなくてもいいけど、各項をシンプルなものから順に並べておくと式が見やすくなる。

係数をそろえて $A$ に置き換え

問 $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)-10$

いっぺん展開するけど係数をそろえることを意識する。

どういうこと?

$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$、$(x+4)(x+5)=x^2+9x+20$ ってするとそこからさらに展開するのタイヘンじゃない?だから展開の順番を変えるの。

順番を並べかえて

$=(x+1)(x+5)(x+2)(x+4)-10\\=(x^2+6x+5)(x^2+6x+8)-10$

こうすると、$x^2+6x$ っていう共通の部分が出てくる、これを $A$ に置きかえ。

$x^2+6x=A$ として

$=(A+5)(A+8)-10\\=A^2+13A+40-10\\=A^2+13A+30$

ここから因数分解

$=(A+3)(A+10)\\=(x^2+6x+3)(x^2+6x+10)$

(答え)

たすきがけ(複雑なやつ)(1)

問 $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc$

いっぺん展開ですか?

展開ですよ。

$=a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc$

ここから何したらいいの?

ある文字を基準に次数で並べかえるの。基準にする文字はそのとき次第だけど、とりあえず適当に $a$ を基準にして降べきの順で並べかえてみるよ。

$a^2$ の項→$a$ の項→それ以外、で並べる

$=(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+b^2c+bc^2\\=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)$

$(b+c)$ が共通しているので

$=(b+c)\left\{a^2+(b+c)a+bc\right\}\\=(b+c)(a+b)(a+c)\\=(a+b)(a+c)(b+c)$

(答え)

ここも最後の行は順番並べかえただけだから、無くてもいい。

たすきがけ(複雑なやつ)(2)

問 $2x^2+5xy+2y^2-x+4y-6$

 $x$ を基準に降べきの順で並べかえ

$=2x^2+(5y-1)x+2y^2+4y-6\\=2x^2+(5y-1)x+2(y^2+2y-3)\\=2x^2+(5y-1)x+2(y+3)(y-1)$

 ここから、たすきがけをする

$=(2x+y+3)(x+2y-2)$ (答え)

チャレンジ問題

最後、一個難しいヤツ出しとくから、チャレンジして。

問 $a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3$

$a$ について降べきの順に並べる

$=a^3b-ca^3-ab^3+c^3a+b^3c-bc^3\\=(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b^2-c^2)\\=(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b+c)(b-c)$

 ここで $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を思い出す

$=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)(b-c)$

$(b-c)$ が共通しているので

$=(b-c)\left\{a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)\right\}$

 展開する

$=(b-c)(a^3-ab^2-abc-ac^2+b^2c+bc^2)$

ここから大事なところ。$a^3$ が邪魔で因数分解できないから、発想を切りかえて $b$ についてまとめてみる。

ああ、それ試験中に思い付かないヤツだ。

知っていれば対処できるから。行き詰ったとき別な文字で因数分解できないか考えてみてね。

$b$ について降べきの順で並べかえると

$=(b-c)(-ab^2+b^2c-abc+bc^2+a^3-ac^2)\\=(b-c)\left\{(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a(a^2-c^2)\right\}\\=(b-c)\left\{(c-a)b^2+c(c-a)b+a(a+c)(a-c)\right\}\\=(b-c)\left\{(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c+a)(c-a)\right\}$

$(c-a)$ が共通しているので

$=(b-c)(c-a)\left\{b^2+bc-a(c+a)\right\}\\=(b-c)(c-a)(b-a)(b+c+a)\\=(b-a)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(答え)

ここも最後の行は並べかえているだけだからね。

最後難しかった!

このくらいやっとけば、因数分解はだいたいいけると思う。模試がんばってね。

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