数III高校数学の解法

【数Ⅲ複素数平面】入試で問われやすい z+1/z を対処する(2)

前回に引き続き $\displaystyle z+\frac{1}{z}$ の形をやります。今回は複素数を極形式で表したり $x+yi$ で表したりするなど、複素数の様々な表現の方法を学習しましょう。


$w$ を $0$ でない複素数、$x$、$y$ を $\displaystyle w+\frac{1}{w}=x+yi$ を満たす実数とする。
(1) 実数 $R$ は $R>1$ を満たす定数とする。$w$ が絶対値 $R$ の複素数全体を動くとき、$xy$ 平面上の点 $(x,y)$ の軌跡を求めよ。
(2) 実数 $\alpha$ は $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ を満たす定数とする。$w$ が偏角 $\alpha$ の複素数全体を動くとき、$xy$ 平面上の点 $(x,y)$ の軌跡を求めよ。(京都大)


京都大難しそう。

確かにノーヒントで解くのは難しいと思うけど、他の大学の問題を解くときに使いまわしが効く部分が多い良問。なるべく分かりやすく解説するからノートに書き写して解き方を習得するといいよ。

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極形式を作る

(1) から考えます。複素数平面では複素数の絶対値は原点からの距離を表すのでした。

で、原点からの距離を使う形が極形式だった。

複素数の極形式
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

問題文に絶対値が登場するので、極形式で考えると良さそうです。$w$ の絶対値が $R$ ということは、原点からの距離が $R$ であるということです。
$w=R(\cos\theta+i\sin\theta)$
これを問題文の式に代入します。
$\displaystyle w+\frac{1}{w}=R(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{1}{R(\cos\theta+i\sin\theta)}$
分母に $i$ があるときは早めに有理化しておいた方が計算が楽になります。
$\displaystyle =R(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{\cos\theta-i\sin\theta}{R(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)}$
$\displaystyle =R(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{\cos\theta-i\sin\theta}{R(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}$

三角比の公式思い出して。$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ だった。

よって
$\displaystyle w+\frac{1}{w}=R(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{\cos\theta-i\sin\theta}{R}$
問題文より $\displaystyle w+\frac{1}{w}=x+yi$ だったので、式の実数の部分が $x$ で、虚数の部分が $y$ となります。
$\displaystyle x=R\cos\theta+\frac{\cos\theta}{R}=\left(R+\frac{1}{R}\right)\cos\theta\cdots\text{①}$
$\displaystyle y=R\sin\theta-\frac{\sin\theta}{R}=\left(R-\frac{1}{R}\right)\sin\theta\cdots\text{②}$

解答に近づいてきましたが、 $\theta$ はこちらが勝手に作った文字なので解答には使えません。つまり$\theta$ を消去する必要があります。

どうやって?

三角関数の公式色々あるけど、$\theta$ 自体が消える公式って結局 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ しかないのよ。

よって上の式を変形します。
①より $\displaystyle \cos\theta=\frac{x}{R+\frac{1}{R}}$
②より $\displaystyle \sin\theta=\frac{y}{R-\frac{1}{R}}$
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ に当てはめて
$\displaystyle \frac{x^2}{\left(R+\frac{1}{R}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(R-\frac{1}{R}\right)^2}=1$ (答え)

で、これって結局楕円になるってことなの。解答にそう書いておく必要はないんだけどね。

楕円の標準形 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

問題文から楕円になるって全然想像つかない。

確かにそうね。式変形して初めてわかることだよね。ここでやってることは絶対値が$R$として固定されているから $w$自体は原点を中心とする半径$R$の円で、それをもとに $\displaystyle w+\frac{1}{w}$ を考えると楕円になるよって言ってるの。

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偏角を固定する場合

(2) に進みます。偏角が $\alpha$ で固定されていると考えると $w$ は直線であると考えられます。

イメージはこんな感じ。問題解く上ではあまり関係ないけど。

偏角が出てくるのでやはり極形式で考えた方が良さそうです。よって
$w=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$
としておきます。

ここで $r$ という文字を勝手に設定しているので、あとで消さないといけない。

$\alpha$ は残していいんですか?

残してオッケー。要は問題文にその文字があるかどうかだよね。物理の問題とかもそうだけど、問題文にある文字は残していいけど問題文にない文字は解答に使えないってのが基本的な考え方。

とは言えこのままでは、 $w$ は直線ですよ、で終わるよね。

さすがにそれが答えってことはないですよね。

問題文の書き方に注意して。$x,y$ は $\displaystyle w+\frac{1}{w}$ 上の点であって、$w$ の点じゃないからね。つまり (1) で求めた関係式を使うってこと。

また、(1)では原点からの距離を $R$ として固定していましたが、今度は偏角を $\alpha$ として固定していて、原点からの距離は固定されてない点にも注意しましょう。

(1) において固定されていた $R$ を固定されていない $r$ に変えて (1) では固定されていなかった $\theta$ を固定された値である $\alpha$ に変えます。
$\displaystyle x=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\alpha$
$\displaystyle y=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\alpha$
とします。そして、自分で設定した $r$ は消去しなければなりません。

2乗すると消去できる。ここもテクニックとして習得するところ。

$\displaystyle x^2=\left(r+\frac{1}{r}\right)^2\cos^2\alpha$
$\displaystyle =\left(r^2+2+\frac{1}{r^2}\right)\cos^2\alpha$
$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2\alpha}=r^2+2+\frac{1}{r^2}\cdots\text{③}$
$\displaystyle y^2=\left(r-\frac{1}{r}\right)^2\sin^2\alpha$
$\displaystyle =\left(r^2-2+\frac{1}{r^2}\right)\sin^2\alpha$
$\displaystyle \frac{y^2}{\sin^2\alpha}=r^2-2+\frac{1}{r^2}\cdots\text{④}$
$r$ を消去します
③-④
$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2\alpha}-\frac{y^2}{\sin^2\alpha}=4$
$\displaystyle \frac{x^2}{(2\cos\alpha)^2}-\frac{y^2}{(2\sin^2\alpha)^2}=1$

今度は双曲線になった。

双曲線の標準形 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

これも式変形から初めて分かることです。$w$ が固定された偏角 $\alpha$ の直線上にあるとき、$\displaystyle w+\frac{1}{w}$ は双曲線になるのです。

ここも良問である所以なのだけど、何を固定するか、つまり何を定数とするかによって結果がまったく変わるってことを教えてくれる非常に教育的な問題。

ここで一応答えは出たのですが、$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ の条件があったことを思い出しましょう。これに当てはまるように範囲を絞る必要があります。
$\displaystyle x=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\alpha$
$\displaystyle y=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\alpha$
から範囲を絞りましょう。
$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ より
$0<\cos\alpha<1$
$0<\sin\alpha<1$
次に、$\displaystyle r+\frac{1}{r}$と$\displaystyle r-\frac{1}{r}$の範囲も考えます。
$\displaystyle r+\frac{1}{r}$ の範囲から考えます。

どうしたらいいんですか?

これって関数だから、最大値と最小値を考えるといいよ。つまり微分して増減表作るの。

$\displaystyle f(r)=r+\frac{1}{r}$ として
$\displaystyle f'(r)=1-\frac{1}{r^2}$
極値を求めます。
$\displaystyle 1-\frac{1}{r^2}=0$ のとき
$r^2-1=0$
$r^2=1$
$r=\pm 1$
ここで $r$ は原点からの距離なのでマイナスの値になることはありません。よって
$r=1$
増減表は

$r$$\cdots$1$\cdots$
$f'(r)$$-$0$+$
$f(r)$

2

最小値は $2$ となるのですが、$\cos$ の最小値が $0$ なので $\displaystyle\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\alpha$ の最小値は結局 $0$ になります。つまり、$x>0$ ということです。

じゃあ、微分する意味ないですよね。

そうでもない。$f(r)$ の最小値がマイナスの値だったら $x$ の範囲も変わってくるから確認が必要。

次に $\displaystyle r-\frac{1}{r}$ を考えます。
$\displaystyle g(r)=r-\frac{1}{r}$ として
$\displaystyle g'(r)=1+\frac{1}{r^2}$
極値を求めます。
$\displaystyle 1+\frac{1}{r^2}=0$ のとき
$r^2+1=0$
これは二次関数の解の公式で解きます。
$\displaystyle r=\frac{0\pm\sqrt{0-4}}{2}$
$\displaystyle =\frac{2i}{2}=i$

$i$ で極値を取るってこと?

そういうことだけど、要するに実数解が存在しないってことでしょ?つまり、これは極値がないっていうことなの。実は微分で求めた $r^2+1$ って $r$ がどんな値でもプラスになるから、微分係数が常にプラス。いわゆる単純増加ってヤツで極値がないの。本当は微分する前に気づくべきことで気づいてれば微分しないで済んだ。

じゃあ、こっちの微分は解答に入れなくていいんですね。結局どうなるんですか?

解答には、$g(r)$ は単純増加である、とだけ書いておけばよい。

$\displaystyle r-\frac{1}{r}$ は極値が存在しない単純増加の関数なので範囲も存在しません。つまり、あらゆる値を取りうるということです。よって、$y$ の値に制限はありません。
結果として制限があるのは $x$ の値だけです。よって
$\displaystyle \frac{x^2}{(2\cos\alpha)^2}-\frac{y^2}{(2\sin^2\alpha)^2}=1\enspace(x>0)$ (答え)

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