【数Ⅲ複素数平面】arg αβ=arg α+arg β が成り立つ理由　混乱しやすいポイントをおさらい

$\arg$ の書き方

複素数平面で登場する $\arg$ とは偏角のことです。しかし忘れやすいところですが、$\arg$ には角度を指定するのではなく複素数を指定します。

例えば、$\displaystyle z=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ なら
$\displaystyle \arg z=\frac{\pi}{6}$
です。

つまり、公式 $\arg\alpha\beta=\arg\alpha+\arg\beta$ も $\alpha$ や $\beta$ は複素数そのものであって、偏角ではない点に注意しましょう。

公式 $\displaystyle \arg \alpha\beta=\arg\alpha+\arg\beta$

ここから公式を具体例でみていきましょう。

(例)

$\displaystyle \alpha=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}$
$\displaystyle \beta=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$ として
$\displaystyle\alpha\beta=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)$
$\displaystyle=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$

よって $\displaystyle\arg\alpha\beta=\frac{\pi}{2}$
一方で、$\displaystyle\arg\alpha=\frac{\pi}{6},\enspace\arg\beta=\frac{\pi}{3}$ だから
$\displaystyle\arg\alpha+\arg\beta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$

公式 $\displaystyle\arg\frac{\alpha}{\beta}=\arg\alpha-\arg\beta$

今度は割り算の公式です。

(例)
$\displaystyle\alpha=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$
$\displaystyle\beta=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}$ として
$\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)$
$\displaystyle=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}$

よって $\displaystyle\arg\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\pi}{6}$
一方で $\displaystyle\arg\alpha=\frac{\pi}{3},\enspace\arg\beta=\frac{\pi}{6}$ だから
$\displaystyle\arg\alpha-\arg\beta=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$