平面ベクトル・円に内接する四角形(横浜国立大2015理系第2問(文系第3問))

点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形 ABC があり，

$2\overrightarrow{\text{OA}}+3\overrightarrow{\text{OB}}+4\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{0}$

をみたしている。この円上に点 P があり，線分 AB と線分 CP は直交している。次の問いに答えよ。

(1) 内積 $\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}$ と $|\overrightarrow{\text{AB}}|$ をそれぞれ求めよ。

(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき，AH : HB を求めよ。

(3) 四角形 APBC の面積を求めよ。

内積を利用して辺の長さを求める

(1)から始めます。

まず，式を 2 乗して内積を求めていきます。

$2\overrightarrow{\text{OA}}+3\overrightarrow{\text{OB}}=-4\overrightarrow{\text{OC}}$

両辺を 2 乗して

$4|\overrightarrow{\text{OA}}|^2+12\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+9|\overrightarrow{\text{OB}}|^2=16|\overrightarrow{\text{OC}}|^2$

$|\overrightarrow{\text{OA}}|=|\overrightarrow{\text{OB}}|=|\overrightarrow{\text{OC}}|=1$　より

$4+12\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+9=16$
$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=\cfrac{1}{4}$　（答え）

また

$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}$ より

$|\overrightarrow{\text{AB}}|^2=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})^2$
$=|\overrightarrow{\text{OB}}|^2-2\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+|\overrightarrow{\text{OA}}|^2$
$=1-2\cdot\cfrac{1}{4}+1$
$=\cfrac{3}{2}$

したがって

$|\overrightarrow{\text{AB}}|=\cfrac{\sqrt{6}}{2}$　（答え）

内分点を求める

(2)に進みます。

まず，点 H は AB を $t:1-t$ に内分する点と考えます。

$\overrightarrow{\text{OH}}=(1-t)\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}$

とは言え，このままでは話が進みません。そこで，問題文にあるもう一つの条件，AB と CP が直交することを式にしてみます。

ただし，点 P はベクトルとして表しようがないので，AB ⊥ CP としないで，AB ⊥ CH としてみます。そうすると

$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{CH}}=0$
$(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot(\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OC}})=0$

という関係が成り立ちます。問題文の式に戻って $\overrightarrow{\text{OC}}$ を求めましょう。

$2\overrightarrow{\text{OA}}+3\overrightarrow{\text{OB}}+4\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{0}$ より
$4\overrightarrow{\text{OC}}=-2\overrightarrow{\text{OA}}-3\overrightarrow{\text{OB}}$
$\overrightarrow{\text{OC}}=-\cfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{OA}}-\cfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}}$

よって

$(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot(\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OC}})$
$=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot\{(1-t)\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{OA}}+\cfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}}\}$
$=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot\{(1-t)\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{OA}}+\cfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}}\}$
$=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot\Big\{\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)\overrightarrow{\text{OA}}+\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)\overrightarrow{\text{OB}}\Big\}$
$=\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)|\overrightarrow{\text{OB}}|^2-\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)|\overrightarrow{\text{OA}}|^2-\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}$
$=\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)\cdot\cfrac{1}{4}+\cfrac{3}{4}+t-\cfrac{3}{2}-t-\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)\cdot\cfrac{1}{4}$
$=\cfrac{3}{8}-\cfrac{1}{4}t+\cfrac{3}{4}+t-\cfrac{3}{2}+t-\cfrac{3}{16}-\cfrac{1}{4}t$
$=\cfrac{3}{2}t-\cfrac{9}{16}=0$

よって

$t=\cfrac{3}{8}$

したがって

AH : HB = 3 : 5　（答え）

辺の比を利用して面積を求める

(3)に進みます。

図に戻って考えてみると，方べきの定理が成り立つことに気づきます。

方べきの定理より

AH・BH = CH・PH

(1)から AH と BH の長さは求めることができるので，あとは CH の長さが分かれば，それをもとに PH の長さを求めることもできそうです。

(2)より

$\overrightarrow{\text{CH}}=\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)\overrightarrow{\text{OA}}+\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)\overrightarrow{\text{OB}}$

式に $t=\cfrac{3}{8}$ を代入すると

$\overrightarrow{\text{CH}}=\Big(\cfrac{3}{2}-\cfrac{3}{8}\Big)\overrightarrow{\text{OA}}+\Big(\cfrac{3}{4}+\cfrac{3}{8}\Big)\overrightarrow{\text{OB}}$
$=\cfrac{9}{8}(\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}})$

両辺を 2 乗して

$|\overrightarrow{\text{CH}}|^2=\cfrac{81}{64}(|\overrightarrow{\text{OA}}|^2+2\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+|\overrightarrow{\text{OB}}|^2)$
$=\cfrac{81}{64}\Big(1+\cfrac{1}{2}+1\Big)$
$=\cfrac{81}{64}\cdot\cfrac{5}{2}$

$|\overrightarrow{\text{CH}}|=\cfrac{9}{8}\cdot\cfrac{\sqrt{10}}{2}=\cfrac{9\sqrt{10}}{16}$

CH の長さが分かったので PH の長さを求めてみましょう。

AH・BH = CH・PH
$\cfrac{3}{8}\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot\cfrac{5}{8}\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}=\cfrac{9\sqrt{10}}{16}\cdot\text{PH}$
$\cfrac{5}{8}=\sqrt{10}\cdot\text{PH}$
$\text{PH}=\cfrac{5}{8\sqrt{10}}$
$=\cfrac{\sqrt{10}}{16}$

ここで，辺の比を考えます。

CH : PH = $\cfrac{9\sqrt{10}}{16}:\cfrac{\sqrt{10}}{16}=9:1$

よって，△ABC の面積を $\cfrac{10}{9}$ 倍すれば，四角形 APBC の面積となります。

△ABC の面積は

$\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot\cfrac{9\sqrt{10}}{16}$
$=\cfrac{9\sqrt{15}}{32}$
したがって，四角形 APBC の面積は
$\cfrac{9\sqrt{15}}{32}\cdot\cfrac{10}{9}=\cfrac{5\sqrt{15}}{16}$　（答え）