【数III複素数平面】平均値の定理が成り立つ条件・成り立たない条件(九州大2021理系第4問)

自然数 nn と実数 a0,a1,a2,⋯⋯ ,an(an≠0)a_0,a_1,a_2,\cdots\cdots,a_n(a_n\not=0) に対して，2 つの整式

 f(x)=∑k=0n akxk=anxn+an−1xn−1+⋯⋯+a1x+a0\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots\cdots+a_1x+a_0

 f′(x)=∑k=1n kakxk−1=nanxn−1+(n−1)an−1xn−2+⋯⋯+a1\displaystyle f'(x)=\sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1}=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots\cdots+a_1

を考える。α\alpha，β\beta を異なる複素数とする。複素数平面上の 2 点 α,β\alpha,\beta を結ぶ線分上にある点 γ\gamma で

f(β)−f(α)β−α=f′(γ)\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)

をみたすものが存在するとき，

α,β,f(x)\alpha,\beta,f(x) は平均値の性質を持つ

ということにする。以下の問いに答えよ。ただし，ii は虚数単位とする。(九州大2021)

(1) n=2n=2 のとき，どのような α,β,f(x)\alpha,\beta,f(x) も平均値の性質をもつことを示せ。

(2) α=1−i,β=1+i,f(x)=x3+ax2+bx+c\alpha=1-i,\beta=1+i,f(x)=x^3+ax^2+bx+c が平均値の性質をもつための，実数 a,b,ca,b,c に関する必要十分条件を求めよ。

(3) α=1−i2,β=1+i2,f(x)=x7\alpha=\cfrac{1-i}{\sqrt{2}},\beta=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}},f(x)=x^7 は平均値の性質をもたないことを示せ。

あー，平均値の定理イマイチ覚えてない。
今回の問題って，実は平均値の定理あんまり関係なくて，式を満たす条件を考えれば良い。数列の和とか見た目やっかいそうだけど，実際やってみるとそうでもないから，チャレンジするといいよ。

条件を満たすγを考える

(1)から考えていきます。

n=2n=2 のとき

f(x)=a2x2+a1x+a0f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 ・・・①
f′(x)=2a2x+a1f'(x)=2a_2x+a_1 ・・・②

となるので，①より

f(β)−f(α)β−α\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}
=a2β2+a1β+a0−a2α2−a1α−a0β−α=\cfrac{a_2\beta^2+a_1\beta+a_0-a_2\alpha^2-a_1\alpha-a_0}{\beta-\alpha}
=a2(β2−α2)+a1(β−α)β−α=\cfrac{a_2(\beta^2-\alpha^2)+a_1(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}
=a2(β+α)(β−α)+a1(β−α)β−α=\cfrac{a_2(\beta+\alpha)(\beta-\alpha)+a_1(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}
=a2(α+β)+a1=a_2(\alpha+\beta)+a_1 ・・・③

また，②より

f′(γ)=2a2γ+a1f'(\gamma)=2a_2\gamma+a_1 ・・・④

③＝④が成り立つとき，平均値の性質が成り立ちます。

ということは，α+β=2γ\alpha+\beta=2\gamma が成り立つかどうかを考えなければなりません。

ここで，γ\gamma が α,β\alpha,\beta を結ぶ線分上にあるという条件から γ\gamma のグラフ上の位置を考えてみます。

グラフ上に点 D(α+β)(\alpha+\beta) をおくと，四角形 OADB は平行四辺形となります。

このとき，線分 AB の中点を C(γ)(\gamma) とすると，点 C は線分 OD の中点です。

よって

γ=α+β2\gamma=\cfrac{\alpha+\beta}{2}
α+β=2γ\alpha+\beta=2\gamma

となります。つまり，C(γ\gamma) が AB の中点であれば，平均値の性質が成り立つということです。

よって

f(β)−f(α)β−α=f′(γ)\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)

が成り立つ。

したがって，n=2n=2 のとき，どのような α,β,f(x)\alpha,\beta,f(x) も平均値の性質を持つ。（証明終わり）

平均値の性質が成り立つ関数の条件

(2)に進みます。

α=1−i,β=1+i,f(x)=x3+ax2+bx+c\alpha=1-i,\beta=1+i,f(x)=x^3+ax^2+bx+c として

f(β)−f(α)β−α\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}
=β3+aβ2+bβ+c−α3−aα2−bα−cβ−α=\cfrac{\beta^3+a\beta^2+b\beta+c-\alpha^3-a\alpha^2-b\alpha-c}{\beta-\alpha}
=β3−α3+a(β2−α2)+b(β−α)β−α=\cfrac{\beta^3-\alpha^3+a(\beta^2-\alpha^2)+b(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}
=(β−α)(β2+αβ+α2)+a(β+α)(β−α)+b(β−α)β−α=\cfrac{(\beta-\alpha)(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)+a(\beta+\alpha)(\beta-\alpha)+b(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}
=β2+αβ+α2+a(β+α)+b=\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2+a(\beta+\alpha)+b
=(1+i)2+(1−i)(1+i)+(1−i)2+a(1+i+1−i)+b=(1+i)^2+(1-i)(1+i)+(1-i)^2+a(1+i+1-i)+b
=1+2i−1+1+1+1−2i−1+2a+b=1+2i-1+1+1+1-2i-1+2a+b
=2+2a+b=2+2a+b

また，f′(x)=3x2+ax+bf'(x)=3x^2+ax+b より

f′(γ)=3γ2+aγ+bf'(\gamma)=3\gamma^2+a\gamma+b


γ\gamma は線分 AB 上の点だから，γ=1+ti\gamma=1+ti (−1≦ t≦1)(-1\leqq t\leqq1) とすると

=3(1+ti)2+a(1+ti)+b=3(1+ti)^2+a(1+ti)+b
=3+6ti−3t2+2a+2ati+b=3+6ti-3t^2+2a+2ati+b

このようになったら，いったん式を実部と虚部でまとめましょう。

=3−3t2+2a+b+(6t+2at)i=3-3t^2+2a+b+(6t+2at)i

ここで，f(β)−f(α)β−α=f′(γ)\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma) が成り立つと仮定すると

2+2a+b=3−3t2+2a+b+(6t+2at)i2+2a+b=3-3t^2+2a+b+(6t+2at)i ・・・⑤

左辺は実数だから，恒等式が成り立つのは

6t+2at=06t+2at=0

のときである。

t(3+a)=0t(3+a)=0

よって，恒等式が成り立つ条件は t=0t=0 または a=−3a=-3 のときである。

(i) t=0t=0 のとき，⑤は

2+2a+b=3+2a+b2+2a+b=3+2a+b

式は成り立たない。よって，不適。

(ii) a=−3a=-3 のとき，⑤は

2−6+b=3−3t2−6+b2-6+b=3-3t^2-6+b
3t2=13t^2=1
t2=13t^2=\cfrac{1}{3}
t=±13=±33t=\pm\sqrt{\cfrac{1}{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{3}

よって，恒等式が成り立つ tt が存在する。

したがって，α,β,f(x)\alpha,\beta,f(x) が平均値の性質をもつための必要十分条件は
a=−3a=-3，bb，cc は任意の実数（証明終わり）

平均値の性質が成り立たないことを示す

(3)に進みます。

α=1−i2,β=1+i2,f(x)=x7\alpha=\cfrac{1-i}{\sqrt{2}},\beta=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}},f(x)=x^7

α\alpha と β\beta はそれぞれ共役な複素数です。

α,β\alpha,\beta を有利化すると

α=22−22i\alpha=\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2}i
β=22+22i\beta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}i

f′(x)=7x6f'(x)=7x^6 より
f′(γ)=7γ6f'(\gamma)=7\gamma^6

複素数平面習ったときに，ZZ の 3 乗根を習ったと思う。あの考え方を使うと良さそう。
じゃあ，極形式か。

α\alpha を極形式で表すと

α=cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4)\alpha=\cos\Big(-\cfrac{\pi}{4}\Big)+i\sin\Big(-\cfrac{\pi}{4}\Big)
α7={cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4)}7\alpha^7=\Big\{\cos\Big(-\cfrac{\pi}{4}\Big)+i\sin\Big(-\cfrac{\pi}{4}\Big)\Big\}^7

ド・モアブルの定理より

α7=cos⁡(−74π)+isin⁡(−74π)\alpha^7=\cos\Big(-\cfrac{7}{4}\pi\Big)+i\sin\Big(-\cfrac{7}{4}\pi\Big)

同様にして

β=cos⁡π4+isin⁡π4\beta=\cos\cfrac{\pi}{4}+i\sin\cfrac{\pi}{4}
β7=cos⁡74π+isin⁡74π\beta^7=\cos\cfrac{7}{4}\pi+i\sin\cfrac{7}{4}\pi

θ=π4\theta=\cfrac{\pi}{4} と −74π-\cfrac{7}{4}\pi において，sin⁡\sin と cos⁡\cos の値は一致するので，α=β7\alpha=\beta^7 と β=α7\beta=\alpha^7 が成り立ちます。

よって

f(β)−f(α)β−α=β7−α7β−α\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\cfrac{\beta^7-\alpha^7}{\beta-\alpha}
=α−ββ−α=\cfrac{\alpha-\beta}{\beta-\alpha}
=1−i2−1+i21+i2−1−i2=\cfrac{\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}-\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}}{\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}-\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}}
=1−i−(1+i)1+i−(1−i)=\cfrac{1-i-(1+i)}{1+i-(1-i)}
=−2i2i=\cfrac{-2i}{2i}
=−1=-1

f(β)−f(α)β−α=f′(γ)\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma) より

−1=7γ6-1=7\gamma^6 と仮定すると

γ6=−17\gamma^6=-\cfrac{1}{7}

ここで，γ\gamma を極形式で表してみましょう。

γ=∣γ∣(cos⁡θ+isin⁡θ)\gamma=|\gamma|(\cos\theta+i\sin\theta) (−π4≦θ≦π4)\Big(-\cfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\cfrac{\pi}{4}\Big) ・・・⑥

γ6=∣γ∣6(cos⁡θ+isin⁡θ)6\gamma^6=|\gamma|^6(\cos\theta+i\sin\theta)^6

ド・モアブルの定理より

γ6=∣γ∣6(cos⁡6θ+isin⁡6θ)\gamma^6=|\gamma|^6(\cos6\theta+i\sin6\theta)

よって，6θ6\theta の範囲は

−32π≦6θ≦32π-\cfrac{3}{2}\pi\leqq6\theta\leqq\cfrac{3}{2}\pi

となります。

γ6=−17\gamma^6=-\cfrac{1}{7} だから，γ6\gamma^6 は実数です。つまり，極形式の isin⁡6θi\sin6\theta が 00 となる場合を考えます。

(i) 6θ=06\theta=0 のとき

γ6=∣γ∣6\gamma^6=|\gamma|^6

ここで，γ\gamma は線分 AB 上の点であることを思い出しましょう。

−π4≦θ≦π4-\cfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\cfrac{\pi}{4} の範囲において

22≦∣γ∣≦1\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq|\gamma|\leqq1
18≦∣γ∣6≦1\cfrac{1}{8}\leqq|\gamma|^6\leqq1

となり，γ6=−17\gamma^6=-\cfrac{1}{7} と矛盾する。

(ii) 6θ=π6\theta=\pi のとき

θ=π6\theta=\cfrac{\pi}{6}
γ6=−∣γ∣6\gamma^6=-|\gamma|^6

このとき

−1≦−∣γ∣6≦−18-1\leqq-|\gamma|^6\leqq-\cfrac{1}{8}

となり，γ6=−17\gamma^6=-\cfrac{1}{7} と矛盾する。

したがって，α=1−i2,β=1+i2,f(x)=x7\alpha=\cfrac{1-i}{\sqrt{2}},\beta=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}},f(x)=x^7 は平均値の性質をもたない。（証明終わり）

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