数III 高校数学の解法

【数Ⅲ複素数平面】Zの表す図形が垂直二等分線、円になる(国公立基本レベル)

2つの複素数 $w,z$ が $\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}$ を満たしているとする。ただし、$i$ は虚数単位とする。次の問いに答えよ。(弘前大)
(1) 複素数平面上で、点 $z$ が原点を中心とする半径2の円周上を動くとき、点 $w$ はどのような図形を描くか。ただし、$z\not =2$ とする。
(2) 複素数平面上で点 $z$ が虚軸上を動くとき、点 $w$ はどのような図形を描くか。
(3) 複素数平面上で点 $w$ が実軸上を動くとき、点 $z$ はどのような図形を描くか。


ここでは、複素数zの描く図形が垂直二等分線になるヤツと円になるヤツを考える。あと、zが実数になる場合と純虚数になる条件をおさらいするよ。

・複素数zが描く図形が垂直二等分線
$|z-\text{〇〇}|=|z-\text{△△}|$  zは〇〇,△△の垂直二等分線。
・複素数zが描く図形が円
$|z-\text{〇〇}|=△$  zは〇〇を中心とする半径△の円。
・zが実数ならば、$\bar z=z$
・zが純虚数ならば、$\bar z=-z$(ただし、$z\not =0$)
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垂直二等分線

(1)を考えます。まず複素数zが円になることから、原点を中心とする半径2の円は$|z|=2$ と表すことができます。

絶対値は原点からの距離を表す、だった。

これを使って式をz=の式に変形していきます。

とりあえず、wが出てきたらzの式に変形するのがセオリー。左辺にzを寄せて、それ以外を右辺に持っていくつもりで。

$\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}\\\displaystyle(z-2)w=iz\\wz-2w-iz=0\\wz-iz=2w\\z(w-i)=2w\\\displaystyle z=\frac{2w}{w-i}$

ここで両辺に絶対値の記号を付ける。たとえば $|-2|=|-2|$ は $2=2$ となるように、両辺に絶対値の記号を付けてもイコール関係がちゃんと成り立つ。

$\displaystyle |z|=\left|\frac{2w}{w-i}\right|$

何で絶対値にするの?

どうせ $|z|=2$ を使うワケじゃない?だったら式をどこかで絶対値にする必要があるよね、っていう発想。あと、絶対値は $\displaystyle\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$ というふうに、上下を分離して大丈夫。

よって
$\displaystyle 2=\frac{|2w|}{|w-i|}\\2|w-i|=|2w|\\2|w-i|=2|w|\\|w-i|=|w|$

複素数平面では絶対の扱いに慣れるのが大事。$|ab|=|a||b|$ として良い。だから、$|2w|=|2||w|=2|w|$ となる。

2の絶対値の記号はずしていいの?

いいよ。絶対値の定義に戻って。-2の絶対値は2だし、2の絶対値はそのまま2でしょ?だから $|2|=2$ でいいのよ。

あー、そういうこと。

こうして出来上がった $|w-i|=|w|$ は $|w-i|=|w-0|$ ということだから、垂直二等分線の形になっています。
よって、$w$ は $ 0,i$ の垂直二等分線(答え)

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zが純虚数

(2)に進みます。zが純虚数であるということは $z+\bar z=0$ の関係が成り立つということです。純虚数とは $2i$ のような数で、実部がなくて虚部だけの数のことです。$2i$ の共役な複素数は $-2i$ だから、$2i-2i=0$ が成り立ちます。

ここで $\bar z$ が登場したので、じゃあいっぺん $\bar z$ を求めてみればいいじゃん、って考える。

$\displaystyle z=\frac{2w}{w-i}(w\not =i)\cdots\text{①}$ より
$\displaystyle \bar z=\left(\overline{\frac{2w}{w-i}}\right)=\frac{2\bar w}{\bar w+i}\cdots\text{②}$

バーの付け方が分からない。

バーは分解して付けることができる。$i$がついていない部分は実数だから、$\bar 2=\overline{2+0i}=2-0i=2$ となって、そのままバーをはずせば良い。そして $i$ が付いている部分は符号を逆にする。$z$ とかは複素数だから$\bar z$ とするしかないね。

①+②より
$\displaystyle z+\bar z=\frac{2w}{w-i}+\frac{2\bar w}{\bar w+i}=0\\\displaystyle \frac{2w}{w-i}=-\frac{2\bar w}{\bar w+i}\\\displaystyle\frac{w}{w-i}=-\frac{\bar w}{\bar w+i}\\w(\bar w+i)=-\bar w(w-i)\\w\bar w+iw=-w\bar w+i\bar w\\2w\bar w+iw-i\bar w=0$

ここから因数分解。

ここで、$(w+a)(\bar w+b)=w\bar w+bw+a\bar w+ab$ より
$(w+a)(\bar w+b)=w\bar w+bw+a\bar w+ab\\w\bar w+bw+a\bar w=(w+a)(\bar w+b)-ab$ が成り立ちます。式を変形すると
$2w\bar w+iw-i\bar w=0\\\displaystyle w\bar w+\frac{1}{2}iw-\frac{1}{2}i\bar w=0\\\displaystyle \left(w-\frac{1}{2}i\right)\left(\bar w+\frac{1}{2}i\right)-\frac{1}{4}=0\\\displaystyle\left(w-\frac{1}{2}i\right)\left(\overline{w-\frac{1}{2}i}\right)=\frac{1}{4}$
ここで公式 $z\bar z=|z|^2$ より
$\displaystyle\left|w-\frac{1}{2}i\right|^2=\frac{1}{4}\\\displaystyle\left|w-\frac{1}{2}i\right|=\frac{1}{2}$
これは円の形です。よって
$\displaystyle\frac{i}{2}$ を中心とする半径$\displaystyle\frac{1}{2}$ の円(ただし、$i$を除く)。(答え)

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wが実数

(3)に進みます。wが実数であるということは $w=\bar w$ の関係が成り立つということです。実数というのは虚部が0ということだから、たとえば $2+0i=2-0i$ とすると、左右でイコール関係が成り立ちます。これを使って式を作っていきましょう。

$\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}$ より
$\displaystyle \frac{iz}{z-2}=\left(\overline{\frac{iz}{z-2}}\right)\\\displaystyle \frac{iz}{z-2}=\frac{-i\bar z}{\bar z-2}\\\displaystyle \frac{z}{z-2}=-\frac{\bar z}{\bar z-2}\\z(\bar z-2)=-\bar z(z-2)\\z\bar z-2z=-z\bar z+2\bar z\\2z\bar z-2z-2\bar z=0\\z\bar z-z-\bar z=0$

ここで、(2)でやった因数分解を思い出して。

$(z-1)(\bar z-1)-1=0$
$(z-1)(\bar z-1)=1$
ここで、公式$z\bar z=|z|^2$ より
$|z-1|^2=1\\|z-1|=1$
これは円の形になります。よって
1を中心とする半径1の円(ただし2を除く)(答え)

2を除くってどこから出てくるの?

これ、(2)でもこういうの書いたけど、もとの式が $\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}$ で、もし z が 2 だとすると分母が $2-2=0$ ってなってしまう。数学では 0 の割り算はできないから、2は除く必要があるの。これも数学のルール。

基本的な問題ですが、実数や純虚数の定義など忘れやすい部分なのでしっかり覚えましょう。

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