【空間ベクトル・積分】円錐を斜めに切った断面の面積(神戸大2018理系第5問)

座標空間において，O を原点とし，A (2,0,0)(2,0,0)，B (0,2,0)(0,2,0)，C (1,1,0)(1,1,0) とする。△OAB を直線 OC の周りに 1 回転してできる回転体を LL とする。以下の問に答えよ。

(1) 直線 OC 上にない点 P (x,y,z)(x,y,z) から直線 OC におろした垂線を PH とする。 OH→\overrightarrow{\text{OH}} と HP→\overrightarrow{\text{HP}} を x,y,zx,y,z の式で表わせ。

(2) 点 P (x,y,z)(x,y,z) が LL の点であるための条件は

z2≦2xyz^2\leqq2xy かつ 0≦ x+y≦20\leqq x+y\leqq2

であることを示せ。

(3) 1≦ a≦21\leqq a\leqq2 とする。LL を平面 x=ax=a で切った切り口の面積 S(a)S(a) を求めよ。

(4) 立体 {(x,y,z)∣(x,y,z)∈ L,1≦ x≦2}\{(x,y,z)|(x,y,z)\in L,1\leqq x\leqq2\} の体積を求めよ。

内積 0 を利用する

(1)から始めます。

点 H は直線 OC 上の点なので，kk を用いて

OH→=k(1,1,0)\overrightarrow{\text{OH}}=k(1,1,0)
=(k,k,0)=(k,k,0)

と表すことができます。よって

HP→=OP→−OH→\overrightarrow{\text{HP}}=\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OH}}
=(x,y,z)−(k,k,0)=(x,y,z)-(k,k,0)
=(x−k,y−k,z)=(x-k,y-k,z)

また，OH と OC は垂直の関係にあるので，その内積は 0 になります。

OH と HP で内積求めたらダメですか？
そこ注意。k=0k=0 のとき OH→\overrightarrow{\text{OH}} は (0,0,0)(0,0,0) ってなって，いわゆる零ベクトルになる。このとき，点 P がどの座標にあったとしても，OH と PH の内積は 0 になる。
なりますね。
零ベクトルってベクトルの長さが存在しないので，直角の関係が作れない。OC→\overrightarrow{\text{OC}} だったら，ベクトルの長さがちゃんと存在するので直角が作れる。
ですね。
つまり，内積が 0 だからと言ってつねに直角とは限らないということだよね。今回でいうと，OH→\overrightarrow{\text{OH}} みたいに零ベクトルになり得るものは除外して考えたほうがよい。

HP→⋅OC→=x−k+y−k+z⋅0=0\overrightarrow{\text{HP}}\cdot\overrightarrow{\text{OC}}=x-k+y-k+z\cdot0=0
x−k+y−k=0x-k+y-k=0

x−y−2k=0x-y-2k=0

k=x+y2k=\cfrac{x+y}{2}

したがって

OH→=(x+y2,x+y2,0)\overrightarrow{\text{OH}}=\Big(\cfrac{x+y}{2},\cfrac{x+y}{2},0\Big)
HP→=(x−y2,y−x2,z)\overrightarrow{\text{HP}}=\Big(\cfrac{x-y}{2},\cfrac{y-x}{2},z\Big)　（答え）

回転体上の点

図を描いてみると，点 P が回転体の周または内部の点であるための条件がみえてきます。

{x≧0y≧00≦ k≦10≦∣OH→∣≦20≦∣PH→∣≦2∣PH→∣≦∣OH→∣\begin{cases}x\geqq0\\y\geqq0\\0\leqq k\leqq1\\0\leqq|\overrightarrow{\text{OH}}|\leqq\sqrt{2}\\0\leqq|\overrightarrow{\text{PH}}|\leqq\sqrt{2}\\|\overrightarrow{\text{PH}}|\leqq|\overrightarrow{\text{OH}}|\end{cases}

図を見るとわかるけど，PH の長さが OH より長いと点 P が回転体の外に行ってしまう。だから，∣PH→∣≦∣OH→∣|\overrightarrow{\text{PH}}|\leqq|\overrightarrow{\text{OH}}| という条件が必要。

∣OH→∣2=(x+y2)2+(x+y2)2|\overrightarrow{\text{OH}}|^2=\Big(\cfrac{x+y}{2}\Big)^2+\Big(\cfrac{x+y}{2}\Big)^2
=(x+y)22≦2=\cfrac{(x+y)^2}{2}\leqq2
(x+y)2≦4(x+y)^2\leqq4

よって

0≦ x+y≦20\leqq x+y\leqq2

さらに

∣PH→∣2=(x−y2)2+(y−x2)2+z2|\overrightarrow{\text{PH}}|^2=\Big(\cfrac{x-y}{2}\Big)^2+\Big(\cfrac{y-x}{2}\Big)^2+z^2
=x2−2xy+y2+y2−2xy+x24+z2=\cfrac{x^2-2xy+y^2+y^2-2xy+x^2}{4}+z^2
=2(x2−2xy+y2)4+z2=\cfrac{2(x^2-2xy+y^2)}{4}+z^2
=(x−y)22+z2≦2=\cfrac{(x-y)^2}{2}+z^2\leqq2

よって

∣PH→∣≦∣OH→∣|\overrightarrow{\text{PH}}|\leqq|\overrightarrow{\text{OH}}| より

∣PH→∣2≦∣OH→∣2|\overrightarrow{\text{PH}}|^2\leqq|\overrightarrow{\text{OH}}|^2

(x−y)22+z2≦(x+y)22\cfrac{(x-y)^2}{2}+z^2\leqq\cfrac{(x+y)^2}{2}
z2≦(x+y)2−(x−y)22z^2\leqq\cfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{2}
z2≦x2+2xy+y2−x2+2xy−y22z^2\leqq\cfrac{x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2}{2}
z2≦4xy2z^2\leqq\cfrac{4xy}{2}
z2≦2xyz^2\leqq2xy　（証明終わり）

切断面の面積

(3)に進みます。

平面で切った切り口は回転体の周または内部の点です。そこで(2)で証明した不等式を利用します。

x=ax=a とすると

z2≦2ayz^2\leqq2ay
z22a≦ y\cfrac{z^2}{2a}\leqq y ・・・①

aa は定数だから，yy と zz の関係を表すことができました。

また

0≦ a+y≦20\leqq a+y\leqq2
0≦ y≦2−a0\leqq y\leqq2-a ・・・②

①，②より

z22a≦ y≦2−a\cfrac{z^2}{2a}\leqq y\leqq2-a

これ，断面の形になってるんですか？
なってる。円錐ナナメに切断して半月の形になるのは想像つくと思うけど，曲線の部分が 2 次関数の曲線になるってのはちょっと意外かもね。

y=2−ay=2-a と y=z22ay=\cfrac{z^2}{2a} の交点の zz 座標を α,−α\alpha,-\alpha としておきます。

面積は 6 分の 1 公式を使って求めましょう。

S(a)=∣12a∣{α−(−α)}36S(a)=\cfrac{\Big|\cfrac{1}{2a}\Big|\{\alpha-(-\alpha)\}^3}{6}
=8α312a=\cfrac{8\alpha^3}{12a}
=23aα3=\cfrac{2}{3a}\alpha^3

ここで，α\alpha を求めると

2−a=z22a2-a=\cfrac{z^2}{2a}
z2=2a(2−a)z^2=2a(2-a)
z=±2a(2−a)z=\pm\sqrt{2a(2-a)}

よって，α=2a(2−a)\alpha=\sqrt{2a(2-a)} です。

S(a)=23a⋅2a(2−a)2a(2−a)S(a)=\cfrac{2}{3a}\cdot2a(2-a)\sqrt{2a(2-a)}
=4(2−a)32a(2−a)=\cfrac{4(2-a)}{3}\sqrt{2a(2-a)}　（答え）

体積を求める

(4)に進みます。

聞かれてることが分からない。
ようするに，(3)で求めた切断面の面積を 1≦ x≦21\leqq x\leqq2 の区間で積分して体積求めろってこと。

 V=∫124(2−a)32a(2−a)  da\displaystyle V=\int_1^2\cfrac{4(2-a)}{3}\sqrt{2a(2-a)}\space da

定数を前に出しておきます。

=423∫12(2−a)a(2−a)  da\displaystyle=\cfrac{4\sqrt{2}}{3}\int_1^2(2-a)\sqrt{a(2-a)}\space da

全然解けませんが。
難易度高いかもね。何やっていいか分からないカンジかも。

ルートの中を展開すると 2a−a22a-a^2 となります。方針としては，ルートの中に 2 次関数が出てきたらいったん平方完成してみると良いでしょう。

平方完成して

=423∫12(2−a)1−(a−1)2  da\displaystyle=\cfrac{4\sqrt{2}}{3}\int_1^2(2-a)\sqrt{1-(a-1)^2}\space da

ここで，a−1=sin⁡θa-1=\sin\theta とすると

da=cos⁡θ  dθda=\cos\theta\space d\theta

a1→2θ0→π2\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c}a&1\rightarrow2\\\hline\theta&0\rightarrow\frac{\pi}{2}\end{array}

また，a=1+sin⁡θa=1+\sin\theta だから

=423∫0π2(2−1−sin⁡θ)1−sin⁡2θ⋅cos⁡θ  dθ\displaystyle=\cfrac{4\sqrt{2}}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}(2-1-\sin\theta)\sqrt{1-\sin^2\theta}\cdot\cos\theta\space d\theta

=423∫0π2(1−sin⁡θ)cos⁡2θ  dθ\displaystyle=\cfrac{4\sqrt{2}}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}(1-\sin\theta)\cos^2\theta\space d\theta

=423∫0π2cos⁡2θ−sin⁡θcos⁡2θ  dθ\displaystyle=\cfrac{4\sqrt{2}}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^2\theta-\sin\theta\cos^2\theta\space d\theta

積分の中に cos⁡2θ\cos^2\theta がきたら半角の公式。ここはお約束。

=423∫0π21+cos⁡2θ2−sin⁡θcos⁡2θ  dθ\displaystyle=\cfrac{4\sqrt{2}}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\cfrac{1+\cos2\theta}{2}-\sin\theta\cos^2\theta\space d\theta

sin⁡θcos⁡2θ\sin\theta\cos^2\theta は？
cos⁡3θ\cos^3\theta を微分すると，3cos⁡2θ⋅(−sin⁡θ)3\cos^2\theta\cdot(-\sin\theta) ってなる。cos⁡3θ\cos^3\theta は合成関数だから cos⁡θ\cos\theta を微分した −sin⁡θ-\sin\theta をかけるのを忘れずに。これを利用する。

=223[θ−12sin⁡2θ]0π2+423[13cos⁡3θ]0π2=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\Big[\theta-\cfrac{1}{2}\sin2\theta\Big]_0^\frac{\pi}{2}+\cfrac{4\sqrt{2}}{3}\Big[\cfrac{1}{3}\cos^3\theta\Big]_0^\frac{\pi}{2}
=223⋅π2−429=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{4\sqrt{2}}{9}
=2π3−429=\cfrac{\sqrt{2}\pi}{3}-\cfrac{4\sqrt{2}}{9}　（答え）

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