数III神戸大高校数学の解法

神戸大2015理系第2問 楕円上の座標をsin, cosで媒介変数表示する,商の微分

座標平面上の楕円 $\cfrac{x^2}{4}+y^2=1$ を $C$ とする。$a>2$,$0<\theta<\pi$ とし,$x$ 軸上の点 A$(a,0)$ と楕円 $C$ 上の点 P$(2\cos\theta,\sin\theta)$ をとる。原点を O とし,直線 AP と $y$ 軸との交点を Q とする。点 Q を通り $x$ 軸に平行な直線と,直線 OP との交点を R とする。以下の問に答えよ。

(1) 点 R の座標を求めよ。

(2) (1)で求めた点 R の $y$ 座標を $f(\theta)$ とする。このとき,$0<\theta<\pi$ における $f(\theta)$ の最大値を求めよ。

(3) 原点 O と点 R の距離の 2 乗を $g(\theta)$ とする。このとき,$0<\theta<\pi$ における $g(\theta)$ の最小値を求めよ。

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点Q,Rの座標を順番に求める

(1)から始めます。

点 Q の座標を求め,それをもとに点 R の座標を求めましょう。

直線 PA の式を作ります。

$y=-\cfrac{\sin\theta}{a-2\cos\theta}(x-a)$

$x=0$ のとき

$y=\cfrac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}$

よって,点 Q の座標は

Q $\Big(0,\space\cfrac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\Big)$

また,直線 PO は

$y=\cfrac{\sin\theta}{2\cos\theta}\space x$

点 Q の $y$ 座標を代入すると

$\cfrac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}=\cfrac{\sin\theta}{2\cos\theta}x$
$x=\cfrac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta}$

したがって,点 R の座標は
R $\Big(\cfrac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta},\space\cfrac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\Big)$ (答え)

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商の微分

(2)に進みます。

商の微分$\Big\{\cfrac{f(x)}{g(x)}\Big\}’=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

$f(\theta)=\cfrac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}$ とすると

$f'(\theta)=\cfrac{(a\sin\theta)'(a-2\cos\theta)-a\sin\theta(a-2\cos\theta)’}{(a-2\cos\theta)^2}$

符号ミスしやすいので注意して計算する。

$=\cfrac{a\cos\theta(a-2\cos\theta)-a\sin\theta(2\sin\theta)}{(a-2\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{a^2\cos\theta-2a\cos^2\theta-2a\sin^2\theta}{(a-2\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{a^2\cos\theta-2a(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}{(a-2\cos\theta)^2}$

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ だから

$=\cfrac{a^2\cos\theta-2a}{(a-2\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{a(a\cos\theta-2)}{(a-2\cos\theta)^2}$

分母は 2 乗しているのでつねに正の数です。したがって,分子について考えます。

$a\cos\theta-2=0$ とすると
$\cos\theta=\cfrac{2}{a}$

このときの $\theta$ の値を $\alpha$ とすると,増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\theta&(0)&\cdots&\alpha&\cdots&(\pi)\\\hline f'(\theta)&&+&0&-\\\hline f(\theta)&&\nearrow&&\searrow\\\hline\end{array}$

$\cos\theta=\cfrac{2}{a}$ のとき

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より

$\sin^2\theta+\cfrac{4}{a^2}=1$
$\sin\theta=\sqrt{1-\cfrac{4}{a^2}}$
$=\sqrt{\cfrac{a^2-4}{a^2}}$
$=\cfrac{\sqrt{a^2-4}}{a}$

したがって,$f(\theta)$ の最大値は

$f(\theta)=\cfrac{a\cdot\cfrac{\sqrt{a^2-4}}{a}}{a-2\cdot\cfrac{2}{a}}$
$=\cfrac{\sqrt{a^2-4}}{a-\cfrac{4}{a}}$
$=\cfrac{a\sqrt{a^2-4}}{a^2-4}$
$=a\sqrt{\cfrac{a^2-4}{(a^2-4)^2}}$
$=\cfrac{a}{\sqrt{a^2-4}}$ (答え)

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複雑な商の微分

(3)に進みます。微分して増減表をつくるところは(2)と同じなのですが,計算の難易度が上がります。計算ミスに十分注意しながら丁寧に進めていきましょう。

三平方の定理より

$g(\theta)=\Big(\cfrac{2a\cos\theta}{a-2\cos\theta}\Big)^2+\Big(\space\cfrac{a\sin\theta}{a-2\cos\theta}\Big)^2$
$=\cfrac{4a^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}{(a-2\cos\theta)^2}$

このまま微分しないで,もう少し整理する。

$=\cfrac{a^2(3\cos^2\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta)}{(a-2\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{a^2(3\cos^2\theta+1)}{(a-2\cos\theta)^2}$
$g'(\theta)=\cfrac{a^2(3\cos^2\theta+1)'(a-2\cos\theta)^2-a^2(3\cos^2\theta+1)\{(a-2\cos\theta)^2\}’}{(a-2\cos\theta)^4}$

ここで,$3\cos^2\theta+1$ は合成関数なので,微分するときに $\cos$ を微分した $(-\sin\theta)$ をかけるのを忘れないようにしましょう。$(a-2\cos\theta)^2$ も同様です。

$=\cfrac{a^2\cdot6\cos\theta(-\sin\theta)(a-2\cos\theta)^2-a^2(3\cos^2\theta+1)\cdot2(a-2\cos\theta)(2\sin\theta)}{(a-2\cos\theta)^4}$

分母と分子のどちらにも $a-2\cos\theta$ があるのを見逃さずに約分する。

$=\cfrac{-6a^2\sin\theta\cos\theta(a-2\cos\theta)-4a^2\sin\theta(3\cos^2\theta+1)}{(a-2\cos\theta)^3}$
$=\cfrac{-6a^3\sin\theta\cos\theta+12a^2\sin\theta\cos^2\theta-12a^2\sin\theta\cos^2\theta-4a^2\sin\theta}{(a-2\cos\theta)^3}$
$=\cfrac{-2a^2\sin\theta(3a\cos\theta+2)}{(a-2\cos\theta)^3}$

ここで分母について考えます。問題文の条件に戻りましょう。

$0<\theta<\pi$ より

$-1<\cos\theta<1$
$-2<2\cos\theta<2$

また,$a>2$ だから

$a-2\cos\theta>0$

よって,分母はつねに正の数です。

$0<\theta<\pi$ より $\sin\theta\not=0$ だから

$3a\cos\theta+2=0$ とすると

$\cos\theta=-\cfrac{2}{3a}$

このときの $\theta$ の値を $\beta$ とすると,増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\theta&(0)&\cdots&\beta&\cdots&(\pi)\\\hline f'(\theta)&&-&0&+\\\hline f(\theta)&&\searrow&&\nearrow\\\hline\end{array}$

したがって,$g(\theta)$ の最小値は

$\cos\theta=-\cfrac{2}{3a}$ のとき

$g(\theta)=\cfrac{a^2\Big(3\cdot\cfrac{4}{9a^2}+1\Big)}{\Big(a+2\cdot\cfrac{2}{3a}\Big)^2}$
$=\cfrac{a^2\Big(\cfrac{4}{3a^2}+1\Big)}{\Big(a+\cfrac{4}{3a}\Big)^2}$
$=\cfrac{a^2\cdot\cfrac{4+3a^2}{3a^2}}{\Big(\cfrac{3a^2+4}{3a}\Big)^2}$
$=\cfrac{a^2}{\cfrac{3a^2+4}{3a}}$
$=\cfrac{3a^2}{3a^2+4}$ (答え)

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