「その文字は何番目に来るのか」で考える―C の意味を超基本に戻っておさらい(東京都立大2017文系第2問)

C を使って場合の数を求めるよ。
C ってどう使うといいのかときどき分からなくなります。

あとの実戦問題に合わせて,例を考えてみましょう。

[問題] A か B の文字を 2 個並べるとする。このとき,AA となるのは何通りか。

これは簡単。全体としては AA,AB,BA,BB の 4 通りだから,AA は 1 通り。

[問題] A か B の文字を 3 個並べるとする。このとき,A が 2 個となるのは何通りか。

これは,AAB,ABA,BAA の 3 通りとなります。

このように数が少ないときには単に数えればよいのですが,文字数が増えると大変です。

ここから発想を切り替えましょう。

1 番目に A が来るか B が来るかではなく,2 つの A が何番目と何番目に来るかを考えることにします。これは樹形図で考えることができます。

このとき,1 → 2 番目と 2 → 1 番目は同じことなので,1 通りとして数えます。同じように 1 → 3 と 3 → 1 ,2 → 3 と 3 → 2 も 1 通りとして数えるので,結局 3 通りになります。

このように,1 → 2 があるときには必ず 2 → 1 もあるので,2 で割ればよいことになります。
3×22=3C2\cfrac{3\times2}{2}=_3C_2
これは,3C2_3C_2 として表すことができます。

文字を並べる問題では,A が何番目と何番目に来るかを考えます。つまり,1 ~ 3 番目から 2 つを選ぶ問題と考えることで答えを出せるのです。

実戦問題

2 個の文字 A,B を重複を許して左から並べて 7 文字の順列を作る。次の条件をみたす順列はそれぞれいくつあるか答えなさい。(東京都立大2017)
(1) A が 5 個以上現れる。
(2) AABB がこの順に連続して現れる。
(3) A が 3 個以上連続して現れる。

場合分けをする

(1)から始めます。
(i) A が 5 個のとき
上でやったように,A が何番目と何番目に来るかを考えます。つまり「1 ~ 7 番目から 5 つを選ぶ問題」として考えれば良いことになります。
7C5=7C2=762=21_7C_5=_7C_2=\cfrac{7\cdot6}{2}=21
(ii) A が 6 個のとき
7C6=7C1=7_7C_6=_7C_1=7
(iii) A が 7 個のとき
7C7=1_7C_7=1
したがって
21+7+1=2921+7+1=29 (答え)

かたまりを 1 つとして考える

(2)に進みます。

○ (AABB) ○ ○

AABBを一つのかたまりとして考えましょう。AABB を 1 つの文字とすると,全体が 4 文字の並べかえとして見ることができます。
(AABB)のかたまりは 1 ~ 4 番目のいずれかだから 4 通りです。そして,残りの 3 文字は A か B のいずれかだから,2×2×22\times2\times2 通りの組み合わせを作ることができます。
4×23=324\times2^3=32 (答え)

複雑な場合分け

(3)に進みます。これも場合分けをしていきます。
(i) A が 3 個連続
AAAB○○○ 8 通り
BAAAB○○ 4 通り
○BAAAB○ 4 通り
○○BAAAB 4 通り
○○○BAAA 8 通り
AAAが3個連続するとき,その隣はBでなければ3個だけ連続になりません。

AAAの隣もAだと4個連続Aになってしまう。
だから隣にBを置くのか。

○の部分はAのときとBのときがあるので,○が2つなら 22=42^2=4 通り,○が3つなら 23=82^3=8 通りとなります。

ただし,これトラップがある。

ここは注意深さの問題です。AAAB○○○ には AAABAAA が含まれますが,○○○BAAA にも AAABAAA が含まれます。つまり,これだけが重複するのです。よって
8+4+4+4+81=278+4+4+4+8-1=27 通り
となります。
(ii) A が 4 個連続
AAAAB○○ 4 通り
BAAAAB○ 2 通り
○BAAAAB 2 通り
○○BAAAA 4 通り
4+2+2+4=124+2+2+4=12 通り
(iii) A が 5 個連続
AAAAAB○ 2 通り
BAAAAAB 1 通り
○BAAAAA 2 通り
2+1+2=52+1+2=5 通り
(iv) A が 6 個連続
AAAAAAB
BAAAAAA
2 通り
(v) A が 7 個連続
AAAAAAA
1 通り
したがって
27+12+5+2+1=4727+12+5+2+1=47 (答え)
一か所だけトラップがありますが,それ以外はスムーズに組み合わせを作ることができるはずです。○に入る文字を具体的にイメージして,見逃しがないようにしましょう。