置換積分って「とにかくやり方覚えろ」みたいな感じで習ったけど，結局何やってるかよく分かってないです。
まあ，ほとんどの高校生そんなもの。微積は掘り下げると迷宮に入るからね。ぼちぼち掘り下げるくらいの説明はできるから，一緒に考えてみようか。
ルートの置き換え
$\displaystyle\int\cfrac{x}{\sqrt{x+1}}\space dx$
不定積分の問題。ここはパターンで，ルートあったらルートごと置換するとよい。
$\sqrt{x+1}=t$ とおくと，両辺を2乗して
$x+1=t^2$
$x=t^2-1$
両辺を微分して
$dx=2t\space dt$
なんで微分でこれになるの？
dx=2t dt の意味
なぜ $dx=2t\space dt$ のような書き方をするのかというと，「そういう決まりだから」というのが答えです。ただ，もう少し掘り下げて考えみましょう。
例として，$y=x^2$，微分して $dy=2x\space dx$ の場合で考えてみます。
微分した値は接線の傾きを表します。たとえば，$x=4$ なら接線の傾きは $2\times4=8$ です。これは横向きの変位量を 1 とするとタテ向きの変位量が 8 になる，つまり $1:8$ の関係と言えます。また，この横とタテの比は $x$ の値，つまり横方向の位置によって変わります。
これをもう少し別な書き方で表してみましょう。
横向きの微小な変位量を $\Delta x$，タテ向きの微小な変位量を $\Delta y$ とすると
$\Delta y=2x\cdot\Delta x$
となります。
しかしながら，$\Delta x$ は「めちゃくちゃ小さい何らかの値」であって，通常の $x$ のように値を代入することができません。極限で習った $\infty$ と同じ扱いです。
とは言え，代入できないと言っておいて，実は代入する考えもあります。例えば，$x=4$，$\Delta x=0.0001$ とすると，$\Delta y=0.0008$ となり，タテと横の大きさの具体的なイメージを想像する上では役に立つでしょう。
しかし，実際は $\Delta x$ や $\Delta y$ は決まった大きさをもちません。$\Delta y=2x\cdot\Delta x$ という式は $\infty=2x\cdot\infty$ という式を作るのと同じようなものであって，本来は成り立たないのです。
ここで表したいものは接線の傾き，つまり横とタテの比です。
そこで，「横向きの微小な変位量を $2x$ 倍したものがタテ向きの微小な変位量である」というのをいちいち文で書くわけにもいかないので，次のような書くことします。
$dy=2x\space dx$
これは見方を変えれば，$dy$ と $2x\space dx$ は同じだから置き換えてよい，ということです。こうして置換の発想が出てきます。
置換積分で微分を行う仕組み
置換積分で行っている操作とはこういうことです。$dy$ と $dx$ の比から積分することが難しい場合，いったん $dx$ と $dt$ の比を考えることで，$dy$ と $dx$ の比を，$dy$ と $dt$ の比に置き換えようとしているのです。
$t$ の微小な変位量の $2t$ 倍が $x$ の微小な変位量であり
$\sqrt{x+1}=t$，$x=t^2-1$ より， $\cfrac{x}{\sqrt{x+1}}=\cfrac{t^2-1}{t}$
よって，$t$ の微小な変位量の $2t$ 倍の $\cfrac{t^2-1}{t}$ 倍が $y$ の微小な変位量である，ということになります。
これで，$x$ が消え，$t$ の微小な変位量と $y$ の微小な変位量の関係式になりました。 こうして $\displaystyle\int\cfrac{x}{\sqrt{x+1}}\space dx=\int \cfrac{t^2-1}{t}\cdot 2t\space dt$ が成り立つのです。
何となくわかったけど，結構複雑。
だね。
置換が終わればあとは普通に積分の計算をしていきます。
$\displaystyle\int\cfrac{t^2-1}{t}\cdot2t\space dt=2\int t^2-1\space dt$
$=2\Big(\cfrac{t^3}{3}-t\Big)+C=\cfrac{2}{3}t(t^2-3)+C$
$t=\sqrt{x+1}$ より
$=\cfrac{2}{3}\sqrt{x+1}(x+1-3)+C$
$=\cfrac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1}+C$ ($C$は積分定数)・・・(答)
三角関数の置換
基本的な仕組みを理解したところで，これを三角関数の式に利用してみましょう。
$\displaystyle\int\cfrac{\cos^3x}{1-\sin x}\space dx$
この問題は少しテクニックが必要で，いったん式を変形してから置換します。
$=\displaystyle\int\cfrac{\cos^3x(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\space dx$
$\displaystyle=\int\cfrac{\cos^3x(1+\sin x)}{1-\sin^2x}\space dx$
$\displaystyle=\int\cfrac{\cos^3x(1+\sin x)}{\cos^2x}\space dx$
$\displaystyle=\int\cos x(1+\sin x)\space dx$
$\sin x=t$ とすると
$\cos x\space dx=dt$
$dx=\cfrac{dt}{\cos x}$
これでうまいこと $\cos x$ が消去できる。
$\displaystyle=\int\cos x(1+t)\cdot\cfrac{dt}{\cos x}$
$\displaystyle=\int1+t\space dt$
$=t+\cfrac{t^2}{2}+C$
$=t\Big(1+\cfrac{t}{2}\Big)+C$
$=\sin x\Big(1+\cfrac{\sin x}{2}\Big)+C$ ($C$は積分定数) ・・・(答)
何を置換するかってのはひらめきだけど，経験値が必要。とにかく色々問題解いてみてレベルアップすべし。