【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2020追試【解説・正解・問題】
第４問
正解と解説
ア,イ 2,2 ウエ,オ －2,1
カ,キ,ク 1,5,4 ケ,コ,サ 1,5,2
シ,ス,セ 1,5,2
ソタ,チ,ツ －1,5,2
テ,ト,ナ 1,5,2 ニ 1
ヌ,ネ,ノハ 5,5,10
(1)
$\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}-\overrightarrow{\text{AB}}$ より
$|\overrightarrow{\text{BD}}|^2=|\overrightarrow{\text{AD}}-\overrightarrow{\text{AB}}|^2$
$=|\vec{q}-\vec{p}|^2$
$=|\vec{q}|^2-2\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{p}|^2$
$|\vec{p}|=1,|\vec{q}|=1$ だから
$=1-2\vec{p}\cdot\vec{q}+1$
$\vec{p}\cdot\vec{q}=x$ より
$=2-2x$
・・・アイ
(2)
$\overrightarrow{\text{DE}}=\overrightarrow{\text{AE}}-\overrightarrow{\text{AD}}$ だから
$|\overrightarrow{\text{DE}}|=1$ より
$|\overrightarrow{\text{AE}}-\overrightarrow{\text{AD}}|=1$
$|\vec{p}+s\vec{q}-\vec{q}|=1$
$|\vec{p}+\vec{q}(s-1)|=1$
両辺を２乗して
$|\vec{p}|^2+2(s-1)\vec{p}\cdot\vec{q}+(s-1)^2|\vec{q}|^2=1$
$1+2(s-1)x+(s-1)^2=1$
$(s-1)^2=-2(s-1)x$
両辺を $(s-1)$ で割ると
$s=1=-2x$
$s=-2x+1$
・・・ウエオ
(3)
$|\overrightarrow{\text{BD}}|=|\overrightarrow{\text{BE}}|$ より
$|\overrightarrow{\text{BD}}|^2=|\overrightarrow{\text{BE}}|^2$
$2-2x=|\overrightarrow{\text{AE}}-\overrightarrow{\text{AB}}|^2$
$=|\overrightarrow{\text{AE}}-\vec{p}|^2$
$=|\vec{p}+(-2x+1)\vec{q}-\vec{p}|^2$
$=|(-2x+1)\vec{q}|^2$
$=(2x+1)^2|\vec{q}|^2$
$=(-2x+1)^2$
$=4x^2-4x+1$
$4x^2-4x+1=0$
$x=\cfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{4}$
$=\cfrac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
ここで，$\vec{p}\cdot\vec{q}=x$ より，$x$ は $\vec{p}$ と $\vec{q}$ の内積である。
$\vec{p}\cdot\vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|\cos\angle\text{BAD}$ だから，∠BAD > 90° のとき，$\cos$ は負の値をとる。よって，$x$ も負の値をとる。
したがって
$x=\cfrac{1+\sqrt{5}}{4}$
・・・カキク
また，$\overrightarrow{\text{AE}}$ は
$\overrightarrow{\text{AE}}=\vec{p}+\Big(-2\cdot\cfrac{1-\sqrt{5}}{4}+1\Big)\vec{q}$
$=\vec{p}+\Big\{\cfrac{-(1-\sqrt{5})+2}{2}\Big\}\vec{q}$
$=\vec{p}+\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\vec{q}$ ・・・①
・・・ケコサ
(4)
①の $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を入れ替えたものが $\overrightarrow{\text{AF}}$ となる。
$\overrightarrow{\text{AF}}=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\vec{p}+\vec{q}$
・・・シスセ
次に，$\overrightarrow{\text{EF}}$ を求めると
$\overrightarrow{\text{EF}}=\overrightarrow{\text{AF}}-\overrightarrow{\text{AE}}$
$=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\vec{p}+\vec{q}-\vec{p}-\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\vec{q}$
$=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\vec{p}-\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\vec{q}$
$=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}(\vec{p}-\vec{q})$
$\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AD}}=\vec{p}-\vec{q}$ だから
$\overrightarrow{\text{EF}}=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\overrightarrow{\text{DB}}$
・・・ソタチツ
次に，$|\overrightarrow{\text{BD}}|$ を求める。
$\overrightarrow{\text{BE}}=(-2x+1)\vec{q}$ より
$|\overrightarrow{\text{BE}}|^2=(-2x+1)^2|\vec{q}|^2$
$=(-2x+1)^2\cdot1$
$=\Big(-2\cdot\cfrac{1-\sqrt{5}}{4}+1\Big)^2$
$=\Big(-\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1\Big)^2$
$=\Big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^2$
$|\overrightarrow{\text{BE}}|=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
$|\overrightarrow{\text{BD}}|=|\overrightarrow{\text{BE}}|$ より
$|\overrightarrow{\text{BD}}|=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
・・・テトナ
ゆえに
$\overrightarrow{\text{EF}}=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\overrightarrow{\text{DB}}$ より
$|\overrightarrow{\text{EF}}|=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}|\overrightarrow{\text{DB}}|$
$|\overrightarrow{\text{EF}}|=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\cdot\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
$=\cfrac{-1-\sqrt{5}+\sqrt{5}+5}{4}=1$
・・・ニ
(5)
$\overrightarrow{\text{AR}}=t\overrightarrow{\text{AF}}+(1-t)\overrightarrow{\text{AM}}$
$=t\Big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\vec{p}+\vec{q}\Big)+(1-t)\cdot\cfrac{1}{2}\vec{q}$
$=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}t\vec{p}+t\vec{q}+\cfrac{1}{2}\vec{q}-\cfrac{t}{2}\vec{q}$
$=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}t+\cfrac{t+1}{2}\vec{q}$
また，$\overrightarrow{\text{AR}}=k\overrightarrow{\text{AC}}$ とおくと
$\overrightarrow{\text{AR}}=k(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}})$
$=k\vec{p}+k\vec{q}$
式どうしを比べると
$\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}t=k$
$\cfrac{1+t}{2}=k$
よって
$\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}t=\cfrac{1+t}{2}$
$(1+\sqrt{5})t=1+t$
$t+\sqrt{5}t-t=1$
$\sqrt{5}t=1$
$t=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$
$k=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}t$ に代入して
$k=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{5}}{5}$
$=\cfrac{5+\sqrt{5}}{10}$
したがって
$\overrightarrow{\text{AR}}=\cfrac{5+\sqrt{5}}{10}(\vec{p}+\vec{q})$
・・・ヌネノハ
問題文
1 辺の長さが 1 のひし形 ABCD において，∠BAD > 90°とする。直線 BC 上に，点 C と異なる点 E を，$|\overrightarrow{\text{DE}}|=1$ を満たすようにとる。以下，$\overrightarrow{\text{AB}}=\vec{p},\overrightarrow{\text{AD}}=\vec{q}$ とし，$\vec{p}\cdot\vec{q}=x$ とおく。
(1) $|\overrightarrow{\text{BD}}|^2=\boxed{\text{ ア }}-\boxed{\text{ イ }}\space x$ である。
(2) $\overrightarrow{\text{AD}}$ と $\overrightarrow{\text{BE}}$ は平行なので，実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{\text{AE}}=\vec{p}+s\vec{q}$ と表すことができる。$|\overrightarrow{\text{DE}}|=1$ であることと，点 E は点 C と異なる点であることにより，$s=\boxed{\text{ ウエ }}\space x+\boxed{\text{ オ }}$ である。
(3) $|\overrightarrow{\text{BD}}|=|\overrightarrow{\text{BE}}|$ を満たす $x$ の値を求めよう。 (2)により，$\overrightarrow{\text{AE}}=\vec{p}+(\boxed{\text{ ウエ }}\space x+\boxed{\text{ オ }})\space\vec{q}$ である。$|\overrightarrow{\text{BD}}|=|\overrightarrow{\text{BE}}|$ と $\angle\text{BAD}>90\degree$ により，$x=\cfrac{\boxed{\text{ カ }}-\sqrt{\boxed{\text{ キ }}}}{\boxed{\text{ ク }}}$ が得られる。
したがって
$\overrightarrow{\text{AE}}=\vec{p}+\cfrac{\boxed{\text{ ケ }}+\sqrt{\boxed{\text{ コ }}}}{\boxed{\text{ サ }}}\space\vec{q}$ ・・・・・・①
である。
(4) $x$ を(3)で求めた値とし，点 F を直線 AC に関して点 E と対称な点とする。$|\overrightarrow{\text{EF}}|$ を求めよう。
点 B と点 D が直線 AC に関して対称な点であることに注意すると，①により，$\overrightarrow{\text{AF}}=\cfrac{\boxed{\text{ シ }}+\sqrt{\boxed{\text{ ス }}}}{\boxed{\text{ セ }}}\space\vec{p}+\vec{q}$ と表せる。したがって，$\overrightarrow{\text{EF}}=\cfrac{\boxed{\text{ ソタ }}+\sqrt{\boxed{\text{ チ }}}}{\boxed{\text{ ツ }}}\space\overrightarrow{\text{DB}}$
また，$|\overrightarrow{\text{BD}}|=|\overrightarrow{\text{BE}}|$ であり，(2)により $\overrightarrow{\text{BE}}=(\boxed{\text{ ウエ }}\space x+\boxed{\text{ オ }})\space\vec{q}$ となるので，$|\overrightarrow{\text{BD}}|=\cfrac{\boxed{\text{ テ }}+\sqrt{\boxed{\text{ ト }}}}{\boxed{\text{ ナ }}}$ を得る。ゆえに，$|\overrightarrow{\text{EF}}|=\boxed{\text{ ニ }}$ である。
(5) $x$ を(3)で求めた値とし，点 R を △ABD の外接円の中心とする。$\overrightarrow{\text{AR}}$ を $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を用いて表そう。 △ABD は AB = AD を満たす二等辺三角形であるから，点 R は直線 AC 上にある。点 F を(4)で定めた点とし，線分 AD の中点を M とする。(4)の結果を用いることにより，$\overrightarrow{\text{AD}}$ と $\overrightarrow{\text{FM}}$ は垂直であることが確かめられる。よって，点 R は直線 AC と直線 FM の交点であり，実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\text{AR}}=t\overrightarrow{\text{AF}}+(1-t)\overrightarrow{\text{AM}}$ と表すことができる。$t$ を求めることにより，$\overrightarrow{\text{AR}}=\cfrac{\boxed{\text{ ヌ }}+\sqrt{\boxed{\text{ ネ }}}}{\boxed{\text{ ノハ }}}(\vec{p}+\vec{q})$ が得られる。
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