【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2020追試【解説・正解・問題】
第3問
正解と解説
ア 1 イ 3 ウ 2 エ 3
オ 4 カ 7 キ 2
ク,ケ,コ 2,2,2
サ 1 シ 3 ス,セ 3,9
ソ,タ 6,3 チ 0 ツ 4
テ 8 ト 9 ナ 5 ニ 1
(1)
①より，$a_4=a_2=1$
・・・ア
②より，$a_5=a_2+a_3=1+2=3$
・・・イ
①より，$a_6=a_3=2$
・・・ウ
②より，$a_7=a_3+a_4=2+1=3$
・・・エ
さらに
①より，$a_8=a_4=1$
②より，$a_9=a_4+a_5=1+3=4$
①より，$a_{10}=a_5=3$
となる。
したがって
①より，$a_{18}=a_{9}=4$
・・・オ
①②より，$a_{38}=a_{19}=a_9+a_{10}$
$=4+3=7$
・・・カ
(2)
$3\cdot2^k=3\cdot2\cdot 2^{k-1}$
$=2(3\cdot2^{k-1})$
となるので，①より
$a_{3\cdot2^k}=a_{3\cdot2^{k-1}}$
となる。さらに
$a_{3\cdot2^{k-1}}=a_{3\cdot2^{k-2}}$
・・・
$=a_3$
$=2$
・・・キ
(3)
$\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1}2^j$ は初項 2，公比 2 の等比数列の和である。公式を用いて
$\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1}2^j=\cfrac{2(2^{k-1}-1)}{2-1}$
$=2^k-2$
・・・クケコ
これは，たとえば $k=3$ とすると，$2^3-2=6$ となり，$\{a_n\}$ の第 6 項目は，第 2 群の末項である。
つまり $2^k-2$ は，第 $k-1$ 群の末項だから，第 $k$ 群の初項は第 $2^k-1$ 項である。
第 1 群の初項が $a_3$ から始まっていることに注意すると，$2^k-1$ に 2 を加えて，第 $k$ 群の初項は数列 $\{a_n\}$ の第 $(2^k+1)$ 項である。
・・・サ
また，第 $k$ 群の末項は $2^{k+1}-2$ 項だから，$\{a_n\}$ の第 $2^{k+1}$ 項である。
・・・シ
さらに
$S_1=a_3+a_4=2+1=3$
・・・ス
$S_2=a_5+a_6+a_7+a_8=3+2+3+1=9$
・・・セ
$T_2=a_5+a_7=3+3=6$
・・・ソ
$U_2=a_6+a_8=2+1=3$
・・・タ
(4)
①より
$U_2=a_6+a_8=a_3+a_4=S_1$
$U_3=a_{10}+a_{12}+a_{14}+a_{16}$
$=a_5+a_6+a_7+a_8$
$=S_2$
となるので，$U_{k+1}=S_k$
・・・チ
また
$T_2=a_5+a_7$
②より
$=a_2+a_3+a_3+a_4$
①より，$a_2=a_4$ だから
$=2(a_3+a_4)=2S_1$
また
$T_3=a_9+a_{11}+a_{13}+a_{15}$
$=a_4+a_5+a_5+a_6+a_6+a_7+a_7+a_8$
①より，$a_4=a_8$ だから
$=2(a_5+a_6+a_7+a_8)$
$=2S_2$
よって
$T_{k+1}=2S_k$
・・・ツ
したがって
$S_{k+1}=T_{k+1}+U_{k+1}$
$=2S_k+S_k=3S_k$
・・・テ
以上より，それぞれの数列を求めると
$S_1=3$ より，$\{S_n\}$ は初項 3，公比 3 の等比数列だから，一般項を求めると
$S_k=3\cdot3^{k-1}=3^k$
・・・ト
また，$T_{k+1}=2S_k$ より
$T_{k+1}=2\cdot3^k$
$T_k=2\cdot3^{k-1}$
・・・ナ
さらに，$U_{k+1}=S_k$ より
$U_{k+1}=3^k$
$U_k=3^{k-1}$
・・・ニ
問題文
初項 $a_1$ が $1$ であり，次の条件①，②によって定まる数列 $\{a_n\}$ を考えよう。
$a_{2n}=a_n\space(n=1,2,3,\cdots)$ ・・・①
$a_{2n+1}=a_n+a_{n+1}\space(n=1,2,3,\cdots)$ ・・・②
(1) ①により $a_2=a_1$ となるので $a_2=1$ であり，②により $a_3=a_1+a_2$ となるので $a_3=2$ である。同様に
$a_4=\boxed{\text{ ア }},a_5=\boxed{\text{ イ }},a_6=\boxed{\text{ ウ }},a_7=\boxed{\text{ エ }}$
である。
また，$a_{18}$ にといては，$a_{18}=a_9$ により $a_{18}=\boxed{\text{ オ }}$ であり，$a_{38}$ については，$a_{38}=a_{19}=a_{9}+a_{10}$ により $a_{38}=\boxed{\text{ カ }}$ である。
(2) $k$ を自然数とする。①により $\{a_n\}$ の第 $3\cdot2^k$ 項は $\boxed{\text{ キ }}$ である。
(3) 数列 $\{a_n\}$ の第 3 項以降を次のように群に分ける。ただし，第 $k$ 群は $2^k$ 個の項からなるものとする。
$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccccccc}a_3,a_4&|&a_5,a_6,a_7,a_8&|&a_9,\cdots,c_{16}&|&a_{17},\cdots\\\text{第1群}&&\text{第2群}&&\text{第3群}\end{array}$
2 以上の自然数 $k$ に対して，$\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1} 2^j=\boxed{\text{ ク }}^{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{ コ }}$ なので，第 $k$ 群の最初の項は，$\{a_n\}$ の第 $\Big(\boxed{\text{ ク }}^{\boxed{\text{ケ}}}+\boxed{\text{ サ }}\Big)$ 項であり，第 $k$ 群の最後の項は，$\{a_n\}$ の第 $\boxed{\text{ ク }}^{\boxed{\text{シ}}}$ 項である。ただし，$\boxed{\text{ ケ }}$，$\boxed{\text{ シ }}$ については，当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
⓪ $k-2$ ① $k-1$
② $k$ ③ $k+1$
④ $k+2$
第 $k$ 群に含まれるすべての項の和を $S_k$，第 $k$ 群に含まれるすべての奇数番目の項の和を $T_k$，第 $k$ 群に含まれるすべての偶数番目の項の和を $U_k$ とする。たとえば
$S_1=a_3+a_4,T_1=a_3,U_1=a_4$
$S_2=a_5+a_6+a_7+a_8,T_2=a_5+a_7,U_2=a_6+a_8$ であり
$S_1=\boxed{\text{ ス }},S_2=\boxed{\text{ セ }},T_2=\boxed{\text{ ソ }},U_2=\boxed{\text{ タ }}$である。
(4) (3)で定めた数列 $\{S_k\},\{T_k\},\{U_k\}$ の一般項をそれぞれ求めよう。 ①により $U_{k+1}=\boxed{\text{ チ }}$ となる。また，$\{a_n\}$ の第 $2^k$ 項と第 $2^{k+1}$ 項が等しいことを用いると，②により $T_{k+1}=\boxed{\text{ ツ }}$ となる。したがって，$S_{k+1}=T_{k+1}+U_{k+1}$ を用いると，$S_{k+1}=\boxed{\text{ テ }}$ となる。$\boxed{\text{ チ }},\boxed{\text{ ツ }},\boxed{\text{ テ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑨のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪ $S_k$ ① $S_k+3k$ ② $T_k$
③ $U_k$ ④ $2S_k$ ⑤ $2T_k$
⑥ $2T_k+2k-1$ ⑦ $2T_k+k(k+1)$
⑧ $3S_k$ ⑨ $3S_k+(k-1)(k-2)$
以上のことから$S_k=\boxed{\text{ ト }},T_k=\boxed{\text{ ナ }},U_k\boxed{\text{ ニ }}$である。$\boxed{\text{ ト }},\boxed{\text{ ナ }},\boxed{\text{ ニ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑨のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪ $2k^2-4k+3$ ① $3^{k-1}$
② $2^{k+1}-2k-1$ ③ $2^{k+2}-2k^2-5$
④ $4k^2-8k+6$ ⑤ $2\cdot3^{k-1}$
⑥ $2^{k+2}-4k-2$ ⑦ $2^{k+3}-4k^2-10$
⑧ $6k^2-12k+9$ ⑨ $3^k$
a $3\cdot2^{k+1}-6k-3$
b $3\cdot2^{k+2}-6k^2-15$
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