【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2020本試【解説・正解・問題】

第2問　解答・解説

ア イ 2 2　ウ 1　エ オ カ 2 4 2

キ ク 4 1　ケ,コ 0,2

サ シ 2 1　ス a　セ ソ 3 3

タ 1　チ ツ 1 3

テ,ト,ナ,ニ ヌ 2,4,2,1 3

ネ ノ 2 3　ハ ヒフ 2 27

(1)

$C:y=x^2+2x+1$ を $x$ で微分すると

$y’=2x+2=2(x+1)$

$x=t$ における接線の傾きは $2t+2$ となる。

これが点$(t,t^2+2t+1)$ を通るので，$\ell$ の方程式は

$y-t^2-2t-1=(2t+2)(x-t)$

$y=(2t+2)x-t(2t+2)+t^2+2t+1$

$y=(2t+2)x-t^2+1\cdots\cdots$①

…アイウ

また $f(x)$ を $x$ で微分すると

$f'(x)=2x-4a+2$

$x=s$ における接線の傾きは $2s-4a+2$ となる。

これが点$(s,f(s))$ を通るので，$\ell$ の方程式は

$y-f(s)=(2s-4a+2)(x-s)$

$y=(2s-4a+2)x-s(2s-4a+2)+f(s)$

$=(2s-4a+2)x-2s^2+4as-2s+s^2-(4a-2)s+4a^2+1$

$=(2s-4a+2)x-s^2+4a^2+1\cdots\cdots$②

…エオカキク

①，② を比べると

$2t+2=2s-4a+2$

$2t=2s-4a$

$t=s-2a$

また

$-t^2+1=-s^2+4a^2+1$

$t^2=s^2-4a^2$

これに $t=s-2a$ を代入して

$(s-2a)^2=s^2-4a^2$

$s^2-4as+4a^2=s^2-4a^2$

$4as=8a^2$

$s=2a$

…コ

よって

$t=s-2a=2a-2a$

$t=0$

…ケ

これを ① に代入して

$\ell : y=2x+1$

…サシ

(2)

$C,D$ を連立すると

$x^2-(4a-2)x+4a^2+1=x^2+2x+1$

$-(4a-2)x+4a^2=2x$

$4ax=4a^2$

$x=a$

…ス

また，

$\displaystyle S=\int_{\small{0}}^{\small{a}}x^2+2x+1-2x-1\space dx$

$\displaystyle=\int_{\small{0}}^{\small{a}}x^2\space dx$

$=\bigg[\cfrac{x^3}{3}\bigg]_{\small{0}}^{\small{a}}=\cfrac{a^3}{3}$

…セソ

(3)

図より，$a$ ＞ 1 のとき，求める面積は一定であることが分かる。このとき，

$\displaystyle T=\int_{\small{0}}^{\small{1}}x^2+2x+1-2x-1\space dx$

$=\bigg[\cfrac{x^3}{3}\bigg]_{\small{0}}^{\small{1}}=\cfrac{1}{3}$

…チツ

また，$\cfrac{1}{2}\leqq a\leqq 1$ のとき

$\displaystyle T=S+\int_{\small{a}}^{\small{1}} x^2-(4a-2)x+4a^2+1-2x-1\space dx$

$\displaystyle T=\cfrac{a^3}{3}+\int_{\small{a}}^{\small{1}} x^2-4ax+4a^2\space dx$

$=\cfrac{a^3}{3}+\bigg[\cfrac{x^3}{3}-2ax^2+4a^2x\bigg]_{\small{a}}^{\small{1}}$

$=\cfrac{a^3}{3}+\bigg(\cfrac{1}{3}-2a+4a^2\bigg)-\bigg(\cfrac{a^3}{3}-2a^3+4a^3\bigg)$

$=-2a^3+4a^2-2a+\cfrac{1}{3}$

…チツ

(4)

$U=2T-3S$

$=-4a^3+8a^2-4a+\cfrac{2}{3}-a^3$

$=-5a^3+8a^2-4a+\cfrac{2}{3}$

$g(a)=-5a^3+8a^2-4a+\cfrac{2}{3}$ として

$g'(a)=-15a^2+16a-4$

$-15a^2+16a-4=0$ とおくと

$15a^2-16a+4=0$

$(3a-2)(5a-2)=0$

$a=\cfrac{2}{3},\cfrac{2}{5}$

$\begin{aligned}a&&\cdots&&\cfrac{2}{5}&&\cdots&&\cfrac{1}{2}&&\cdots&&\cfrac{2}{3}&&\cdots&&1\\f'(a)&&-&&0&&+&&+&&+&&0&&-&&-\\f(a)&&\searrow&&&&\nearrow&&\cfrac{1}{24}&&\nearrow&&\cfrac{2}{27}&&\searrow&&-\cfrac{1}{3}\end{aligned}$

$g\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)=-5\cdot\cfrac{1}{8}+8\cdot\cfrac{1}{4}-4\cdot\cfrac{1}{2}+\cfrac{2}{3}=\cfrac{1}{24}$

$g\bigg(\cfrac{2}{3}\bigg)=-5\cdot\cfrac{8}{27}+8\cdot\cfrac{4}{9}-4\cdot\cfrac{2}{3}+\cfrac{2}{3}=\cfrac{2}{27}$

$g(1)=-5+8-4+\cfrac{2}{3}=-\cfrac{1}{3}$

したがって，$U$ は $a=\cfrac{2}{3}$ で最大値 $\cfrac{2}{27}$ をとる。

…ネノハヒフ

第2問　問題文

$a$ ＞ 0 とし, $f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ とおく。座標平面上で, 放物線 $y=x^2+2x+1$ を $C$, 放物線 $y=f(x)$ を $D$ とする。また, $\ell$ を $C$ と $D$ の両方に接する直線とする。

(1) $\ell$ の方程式を求めよう。

$\ell$ と $C$ は点 $(t,t^2+2t+1)$ において接するとすると, $\ell$ の方程式は

$y=(\boxed{\text{ア}}t+\boxed{\text{イ}})x-t^2+\boxed{\text{ウ}}\cdots\cdots$①

である。また,$\ell$ と $D$ は点 $(s,f(s))$ において接するとすると, $\ell$ の方程式は

$y=(\boxed{\text{エ}}s-\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}})x-s^2+\boxed{\text{キ}}a^2+\boxed{\text{ク}}\cdots\cdots$②

である。ここで, ① と ② は同じ直線を表しているので, $t=\boxed{\text{ケ}}$, $s=\boxed{\text{コ}}a$ が成り立つ。

したがって, $\ell$ の方程式は $y=\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}$ である。

(2) 二つの放物線 $C,D$ の交点の $x$ 座標は $\boxed{\text{ス}}$ である。

$C$ と直線 $\ell$, および直線 $x=\boxed{\text{ス}}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると, $S=\cfrac{a^{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。

(3) $a\geqq\cfrac{1}{2}$ とする。二つの放物線 $C,D$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の中で $0\leqq x\leqq1$ を満たす部分の面積 $T$ は, $a\gt\boxed{\text{タ}}$ のとき, $a$ の値によらず

$T=\cfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$

であり, $\cfrac{1}{2}\leqq a\leqq\boxed{\text{タ}}$ のとき

$T=-\boxed{\text{テ}}a^3+\boxed{\text{ト}}a^2-\boxed{\text{ナ}}a+\cfrac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$

である。

(4) 次に, (2), (3) で定めた $S, T$ に対して, $U=2T-3S$ とおく。 $a$ が $\cfrac{1}{2}\leqq a\leqq\boxed{\text{タ}}$ の範囲を動くとき, $U$ は $a=\cfrac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}$ で最大値 $\cfrac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒフ}}}$ をとる。