【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2019本試【解説・正解・問題】

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第4問 解答・解説

アイ 90 ウ エ 5 2 オカ -1

キ 2 ク 2 ケコサ 120 シス 60

セ 2 ソ タ 2 2 チ ツ テ 3 3 2

ト 0 ナ,ニ ヌ 1,3 5

ネ ノ 5 5 ハ ヒ 1 6

フ 3 ヘ ホ 3 3

(1)

ac=0\vec{a}\cdot\vec{c}=0 だから ∠AOC=90°

・・・アイ

公式 s=12bcsinAs=\cfrac{1}{2}bc\sin A より

S=1225=52S=\cfrac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{5}=\cfrac{\sqrt{5}}{2}

・・・ウエ

(2)

BABC=(ab)(cb)\overrightarrow{\text{BA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=(\vec{a}-\vec{b})(\vec{c}-\vec{b})

=acabbc+b2=\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{b}|^2

=0-1-3+3=-1

・・・オカ

BA2=(ab)2|\overrightarrow{\text{BA}}|^2=(\vec{a}-\vec{b})^2

=a22ab+b2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2

=1-2+3=2

よって

BA=2|\overrightarrow{\text{BA}}|=\sqrt{2}

・・・キ

また

BC2=(cb)2|\overrightarrow{\text{BC}}|^2=(\vec{c}-\vec{b})^2

=c22bc+b2=|\vec{c}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{b}|^2

=5-6+3=2

よって

BC=2|\overrightarrow{\text{BC}}|=\sqrt{2}

・・・ク

また,BABC\overrightarrow{\text{BA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}

BABC=BABCcos\overrightarrow{\text{BA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=|\overrightarrow{\text{BA}}||\overrightarrow{\text{BC}}|\cos∠ABC

と表すことができる。よって

1=22cos-1=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cos∠ABC

cos\cos∠ABC=12-\cfrac{1}{2}

∠ABC = 120°

・・・ケコサ

このことから

∠BAD = ∠ADC = 180°-120° = 60°

・・・シス

AD = 2+222=22\sqrt{2}+2\cdot\cfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}

よって,AD=2BC\overrightarrow{\text{AD}}=2\overrightarrow{\text{BC}}

・・・セ

また,OA\overrightarrow{\text{OA}}OD=OA+AD\overrightarrow{\text{OD}}=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AD}} と表せるから

OD=OA+2BC\overrightarrow{\text{OD}}=\overrightarrow{\text{OA}}+2\overrightarrow{\text{BC}}

=a+2(cb)=\vec{a}+2(\vec{c}-\vec{b})

=a2b+2c=\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}

・・・ソタ

四角形 ABCD は台形だから,面積を求めると

12(2+22)62\cfrac{1}{2}(\sqrt{2}+2\sqrt{2})\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}

=332=\cfrac{3\sqrt{3}}{2}

・・・チツテ

(3)

BH\overrightarrow{\text{BH}}a\vec{a} だから,OH\overrightarrow{\text{OH}}a\vec{a} が成り立つ。

OHa=0\overrightarrow{\text{OH}}\cdot\vec{a}=0

・・・ト

また

OH=sa+tb\overrightarrow{\text{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b} とおくと

BHa=(OHOB)a\overrightarrow{\text{BH}}\cdot\vec{a}=(\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OB}})\cdot\vec{a}

=aOHab=\vec{a}\cdot\overrightarrow{\text{OH}}-\vec{a}\cdot\vec{b}

=sa2tacab=s|\vec{a}|^2-t\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{a}\cdot\vec{b}

=s1=s-1

BH\overrightarrow{\text{BH}}a\vec{a} だから

s1=0s-1=0

s=1s=1

・・・ナ

BHc=(OHOB)c\overrightarrow{\text{BH}}\cdot\vec{c}=(\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OB}})\cdot\vec{c}

=sac+tc2bc=s\vec{a}\cdot\vec{c}+t|\vec{c}|^2-\vec{b}\cdot\vec{c}

=5t3=5t-3

BH\overrightarrow{\text{BH}}c\vec{c} だから

5t3=05t-3=0

t=35t=\cfrac{3}{5}

・・・ニヌ

したがって OH=a+35c\overrightarrow{\text{OH}}=\vec{a}+\cfrac{3}{5}\vec{c}

BH2=(OHOB)2|\overrightarrow{\text{BH}}|^2=(\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OB}})^2

=(ab+35c)2=(\vec{a}-\vec{b}+\cfrac{3}{5}c)^2

={(ab)+35c}2=\Big\{(\vec{a}-\vec{b})+\cfrac{3}{5}\vec{c}\Big\}^2

=(ab)2+65(ab)c+925c2=(\vec{a}-\vec{b})^2+\cfrac{6}{5}(\vec{a}-\vec{b})\vec{c}+\cfrac{9}{25}|\vec{c}|^2

=a22ab+b2+65ac65bc+925c2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2+\cfrac{6}{5}\vec{a}\cdot\vec{c}-\cfrac{6}{5}\vec{b}\cdot\vec{c}+\cfrac{9}{25}|\vec{c}|^2

=1221+(3)2+650653+925(5)2=1^2-2\cdot1+(\sqrt{3})^2+\cfrac{6}{5}\cdot0-\cfrac{6}{5}\cdot3+\cfrac{9}{25}(\sqrt{5})^2

=12+3185+95=1-2+3-\cfrac{18}{5}+\cfrac{9}{5}

=15=\cfrac{1}{5}

よって

BH=55|\overrightarrow{\text{BH}}|=\cfrac{\sqrt{5}}{5}

・・・ネノ

V=135255=16V=\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{5}}{5}=\cfrac{1}{6}

・・・ハヒ

(4)

(3)の三角錐を今度は △ABC を底面とする三角錐とすると,四角錐 OABCD と高さが同じだから,体積の比は底面積の比に等しい。

△ABC の底辺を BC とし,△ADC の底辺を AD とすると,AD = 2BC より,面積の比は 1:2 となる。よって,△ABC:四角形ABCD = 1:3 だから,四角錐 OABCD の体積は 3V3V と表せる。

・・・フ

よって,体積は 163=12\cfrac{1}{6}\cdot 3=\cfrac{1}{2}

高さを hh とすると

13332h=12\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{3\sqrt{3}}{2}h=\cfrac{1}{2}

h=33h=\cfrac{\sqrt{3}}{3}

・・・ヘホ

第4問 問題文

四角形 ABCD を底面とする四角錐 OABCD を考える。四角形 ABCD は, 辺 AD と辺 BC が平行で, AB=CD, ∠ABC=∠BCD を満たすとする。さらに, OA=a\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}, OB=b\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}, OC=c\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c} として

a=1|\vec{a}|=1b=3|\vec{b}|=\sqrt{3}c=5|\vec{c}|=\sqrt{5}

ab=1\vec{a}\cdot\vec{b}=1bc=3\vec{b}\cdot\vec{c}=3ac=0\vec{a}\cdot\vec{c}=0

であるとする。

(1) ∠AOC=アイ\boxed{\text{アイ}}° により, 三角形 OAC の面積は \cfrac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}} である。

(2) BABC=オカ\overrightarrow{\text{BA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=\boxed{\text{オカ}}BA=|\overrightarrow{\text{BA}}|=\sqrt{\boxed{\text{キ}}}BC=|\overrightarrow{\text{BC}}|=\sqrt{\boxed{\text{ク}}} であるから, ∠ABC=ケコサ\boxed{\text{ケコサ}}° である。さらに, 辺 AD と辺 BC が平行であるから, ∠BAD=∠ADC=シス\boxed{\text{シス}}° である。よって,AD=BC\overrightarrow{\text{AD}}=\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{\text{BC}} であり

AD=ab+c\overrightarrow{\text{AD}}=\vec{a}-\boxed{\text{ソ}}\vec{b}+\boxed{\text{タ}}\vec{c}

と表される。また, 四角形 ABCD の面積は \cfrac{\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}} である。

(3) 三角形 OAC を底面とする三角錐 BOAC の体積 VV を求めよう。

3 点 O, A, C の定める平面 α\alpha 上に, 点 H を BH\overrightarrow{\text{BH}}a\vec{a}BH\overrightarrow{\text{BH}}c\vec{c} が成り立つようにとる。BH|\overrightarrow{\text{BH}}| は三角錐 BOAC の高さである。H は α\alpha 上の点であるから,実数 ss, tt を用いて OH=sa+tc\overrightarrow{\text{OH}}=s\vec{a}+t\vec{c} の形に表される。

BHa=\overrightarrow{\text{BH}}\cdot\vec{a}=\boxed{\text{ト}}BHc=\overrightarrow{\text{BH}}\cdot\vec{c}=\boxed{\text{ト}} により,s=s=\boxed{\text{ナ}}t=t=\cfrac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}} である。よって,BH=|\overrightarrow{\text{BH}}|=\cfrac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}} が得られる。したがって, (1)により, V=V=\cfrac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}} であることがわかる。

(4) (3)の VV を用いると, 四角錐 OABCD の体積は V\boxed{\text{フ}}V と表せる。さらに, 四角形 ABCD を底面とする四角錐 OABCD の高さは \cfrac{\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}} である。

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