第4問 解答・解説
アイ 90 ウ エ 5 2 オカ -1
キ 2 ク 2 ケコサ 120 シス 60
セ 2 ソ タ 2 2 チ ツ テ 3 3 2
ト 0 ナ,ニ ヌ 1,3 5
ネ ノ 5 5 ハ ヒ 1 6
フ 3 ヘ ホ 3 3
(1)
a⋅c=0 だから ∠AOC=90°
・・・アイ
公式 s=21bcsinA より
S=21⋅2⋅5=25
・・・ウエ
(2)
BA⋅BC=(a−b)(c−b)
=a⋅c−a⋅b−b⋅c+∣b∣2
=0-1-3+3=-1
・・・オカ
∣BA∣2=(a−b)2
=∣a∣2−2a⋅b+∣b∣2
=1-2+3=2
よって
∣BA∣=2
・・・キ
また
∣BC∣2=(c−b)2
=∣c∣2−2b⋅c+∣b∣2
=5-6+3=2
よって
∣BC∣=2
・・・ク
また,BA⋅BC は
BA⋅BC=∣BA∣∣BC∣cos∠ABC
と表すことができる。よって
−1=2⋅2cos∠ABC
cos∠ABC=−21
∠ABC = 120°
・・・ケコサ
このことから
∠BAD = ∠ADC = 180°-120° = 60°
・・・シス
AD = 2+2⋅22=22
よって,AD=2BC
・・・セ
また,OA は OD=OA+AD と表せるから
OD=OA+2BC
=a+2(c−b)
=a−2b+2c
・・・ソタ
四角形 ABCD は台形だから,面積を求めると
21(2+22)⋅26
=233
・・・チツテ
(3)
BH ⊥ a だから,OH ⊥ a が成り立つ。
OH⋅a=0
・・・ト
また
OH=sa+tb とおくと
BH⋅a=(OH−OB)⋅a
=a⋅OH−a⋅b
=s∣a∣2−ta⋅c−a⋅b
=s−1
BH ⊥ a だから
s−1=0
s=1
・・・ナ
BH⋅c=(OH−OB)⋅c
=sa⋅c+t∣c∣2−b⋅c
=5t−3
BH ⊥ c だから
5t−3=0
t=53
・・・ニヌ
したがって OH=a+53c
∣BH∣2=(OH−OB)2
=(a−b+53c)2
={(a−b)+53c}2
=(a−b)2+56(a−b)c+259∣c∣2
=∣a∣2−2a⋅b+∣b∣2+56a⋅c−56b⋅c+259∣c∣2
=12−2⋅1+(3)2+56⋅0−56⋅3+259(5)2
=1−2+3−518+59
=51
よって
∣BH∣=55
・・・ネノ
V=31⋅25⋅55=61
・・・ハヒ
(4)
(3)の三角錐を今度は △ABC を底面とする三角錐とすると,四角錐 OABCD と高さが同じだから,体積の比は底面積の比に等しい。
△ABC の底辺を BC とし,△ADC の底辺を AD とすると,AD = 2BC より,面積の比は 1:2 となる。よって,△ABC:四角形ABCD = 1:3 だから,四角錐 OABCD の体積は 3V と表せる。
・・・フ
よって,体積は 61⋅3=21
高さを h とすると
31⋅233h=21
h=33
・・・ヘホ
第4問 問題文
四角形 ABCD を底面とする四角錐 OABCD を考える。四角形 ABCD は, 辺 AD と辺 BC が平行で, AB=CD, ∠ABC=∠BCD を満たすとする。さらに, OA=a, OB=b, OC=c として
∣a∣=1,∣b∣=3,∣c∣=5
a⋅b=1,b⋅c=3,a⋅c=0
であるとする。
(1) ∠AOC=アイ° により, 三角形 OAC の面積は エウ である。
(2) BA⋅BC=オカ,∣BA∣=キ,∣BC∣=ク であるから, ∠ABC=ケコサ° である。さらに, 辺 AD と辺 BC が平行であるから, ∠BAD=∠ADC=シス° である。よって,AD=セBC であり
AD=a−ソb+タc
と表される。また, 四角形 ABCD の面積は テチツ である。
(3) 三角形 OAC を底面とする三角錐 BOAC の体積 V を求めよう。
3 点 O, A, C の定める平面 α 上に, 点 H を BH⊥a と BH⊥c が成り立つようにとる。∣BH∣ は三角錐 BOAC の高さである。H は α 上の点であるから,実数 s, t を用いて OH=sa+tc の形に表される。
BH⋅a=ト,BH⋅c=ト により,s=ナ,t=ヌニ である。よって,∣BH∣=ノネ が得られる。したがって, (1)により, V=ヒハ であることがわかる。
(4) (3)の V を用いると, 四角錐 OABCD の体積は フV と表せる。さらに, 四角形 ABCD を底面とする四角錐 OABCD の高さは ホヘ である。
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