【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2019本試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

アイ 15　ウ 2　エ,オ,カ 4, 1, 1

キ,ク,ケ,コ,サ 4, 1, 3, 4, 3

シス －5　セ ソ タ 4 3 3

チ ツ 4 6　テト,ナ,ニ －3, 0, 2

ヌ,ネ,ノ,ハ,ヒ －, 9, 8, 8, 3

(1)

初項 3，公比 4 より，等比数列の和の公式 $\cfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ を用いて

$S_n=\cfrac{3(4^n-1)}{4-1}=4^n-1$

よって

$S_2=4^2-1=15$

・・・アイ

また

$T_2=-1+S_1=-1+3=2$

・・・ウ

(2)

$S_n=\cfrac{3(4^n-1)}{4-1}=4^n-1$

・・・エオカ

また，階差数列の一般項の公式 $\displaystyle a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$ を用いて

$\displaystyle T_n=T_1+\sum_{k=1}^{n-1} S_k$

$\displaystyle =-1+\sum_{k=1}^{n-1}(4^k-1)$

ここで，$4^k$ は初項 4，公比 4 の等比数列だから，和の公式を用いて

$=-1+\cfrac{4(4^{n-1}-1)}{4-1}-(n-1)$

$=\cfrac{4^n}{3}-n-\cfrac{4}{3}$

・・・キクケコサ

(3)

$b_1=\cfrac{a_1+2T_1}{1}$

$=-3+2\cdot(-1)=-5$

・・・シス

次に｛$T_n$｝の漸化式を求めると

$T_n=\cfrac{4^n}{3}-n-\cfrac{4}{3}$ より

$3T_n+3n+4=4^n$

また $T_{n+1}=T_n+S_n$ だから

$T_{n+1}=T_n+4^n-1$

$=T_n+3T_n+3n+4-1$

$=4T_n+3n+3$

・・・セソタ

また，｛$b_n$｝の漸化式は

$b_{n+1}=\cfrac{a_{n+1}+2T_{n+1}}{n+1}$

ここで $na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n$ を利用することを考えて，式を $n$ 倍するとよい。

$nb_{n+1}=\cfrac{na_{n+1}+2nT_{n+1}}{n+1}$

$=\cfrac{4(n+1)a_n+8T_n+2n(4T_n+3n+3)}{n+1}$

$=\cfrac{4(n+1)a_n+8T_n+8nT_n+6n^2+6n}{n+1}$

$=\cfrac{4(n+1)a_n+8(n+1)T_n+6n(n+1)}{n+1}$

$=4a_n+8T_n+6n$

よって

$b_{n+1}=4\cdot\cfrac{a_n+2T_n}{n}+6$

$=4b_n+6$

・・・チツ

｛$b_n$｝の一般項を求める。特性方程式を利用して求めるとよい。

$\begin{aligned}&&b_{n+1}&=4b_n+6\\-)&&\alpha&=4\alpha+6\\\hline&&b_{n+1}-\alpha&=4(b_n-\alpha)\end{aligned}$

$\alpha=4\alpha+6$ とおくと，$\alpha=-2$ だから

$b_{n+1}+2=4(b_n+2)$

ここで，$c_n=b_n+2$ とおくと

$c_{n+1}=4c_n$ となる。

$c_1=b_1+2=-5+2=-3$

よって，｛$c_n$｝は初項 －3，公比 4 の等比数列だから，一般項は

$c_n=-3\cdot4^{n-1}$

$b_n+2=-3\cdot4^{n-1}$

$b_n=-3\cdot4^{n-1}-2$

・・・テトナニ

これを $b_n=\cfrac{a_n+2T_n}{n}$ に代入すると

$-3\cdot4^{n-1}-2=\cfrac{a_n+2T_n}{n}$

$a_n=-2T_n-3n\cdot 4^{n-1}-2n$

$=-2\Big(\cfrac{4^n}{3}-n-\cfrac{4}{3}\Big)-3n\cdot 4^{n-1}-2n$

$=\cfrac{-2\cdot4^n+6n+8-9n\cdot 4^{n-1}-6n}{3}$

$=\cfrac{-8\cdot4^{n-1}+8-9n\cdot 4^{n-1}}{3}$

$=\cfrac{-(9n+8)4^{n-1}+8}{3}$

・・・ヌネノハヒ

第3問　問題文

初項が 3, 公比が 4 の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。また, 数列｛$T_n$｝は, 初項が －1 であり, ｛$T_n$｝の階差数列が数列｛$S_n$｝であるような数列とする。

(1) $S_2=\boxed{\text{アイ}}$，$T_2=\boxed{\text{ウ}}$ である。

(2) ｛$S_n$｝と ｛$T_n$｝の一般項は, それぞれ

$S_n=\boxed{\text{エ}}^{\boxed{\text{オ}}}-\boxed{\text{カ}}$

$T_n=\cfrac{\boxed{\text{キ}}^{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}-n-\cfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}$

である。ただし, $\boxed{\text{オ}}$ と $\boxed{\text{ク}}$ については，当てはまるものを，次の⓪~④のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

⓪ $n-1$　① $n$　② $n+1$

③ $n+2$　④ $n+3$

(3) 数列｛$a_n$｝は, 初項が －3 であり, 漸化式

$na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n$ $(n=1,2,3,\cdots)$

を満たすとする。｛$a_n$｝の一般項を求めよう。

そのために, $b_n=\cfrac{a_n+2T_n}{n}$ により定められる数列｛$b_n$｝を考える。｛$b_n$｝の初項は $\boxed{\text{シス}}$ である。

｛$T_n$｝は漸化式

$T_{n+1}=\boxed{\text{セ}}T_n+\boxed{\text{ソ}}n+\boxed{\text{タ}}$ $(n=1,2,3,\cdots)$

を満たすから, ｛$b_n$｝は漸化式

$b_{n+1}=\boxed{\text{チ}}b_n+\boxed{\text{ツ}}$ $(n=1,2,3,\cdots)$

を満たすことがわかる。よって, ｛$b_n$｝の一般項は

$b_n=\boxed{\text{テト}}\cdot\boxed{\text{チ}}^{\boxed{\text{ナ}}}-\boxed{\text{ニ}}$

である。ただし, $\boxed{\text{ナ}}$ については，当てはまるものを，次の⓪~④のうちから一つ選べ。

⓪ $n-1$　① $n$　② $n+1$

③ $n+2$　④ $n+3$

したがって, ｛$T_n$｝, ｛$b_n$｝の一般項から｛$a_n$｝の一般項を求めると

$a_n=\cfrac{\boxed{\text{ヌ}}(\boxed{\text{ネ}}n+\boxed{\text{ノ}})\boxed{\text{チ}}^{\boxed{\text{ナ}}}+\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}$

である。