共テ・センター数学

【センター過去問】数学IIB2019本試【問題・解答・解説】

第1問 解答・解説

アイ -1 ウ エ 2 3 オ カ 1 2

キ,ク,ケ 2, 2, 1 コ,サ,シ 2, 2, 4

ス 3 セ,ソ 4, 2 タ 2 チ 2

ツ テ 2 1 トナ ニヌ 11 18

ネ 0 ノ 9 ハ 2 ヒ フ 1 2 ヘ ホ 3 4

〔1〕

ad

(1)

$f(0)=3\cdot0+4\cdot0\cdot1-1^2=-1$

・・・アイ

$f\Big(\cfrac{\pi}{3}\Big)=3\cdot\Big(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2+4\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\cfrac{1}{2}-\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2$

$=2+\sqrt{3}$

・・・ウエ

ad

(2)

2 倍角の公式(半角の公式)より

$\cos^2\theta=\cfrac{\cos2\theta+1}{2}$

・・・オカ

また

$\sin2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$

$=1-\sin^2\theta-\sin^2\theta$

$=1-2\sin^2\theta$

移項して

$2\sin^2\theta=1-\cos2\theta$

これらを用いると

$f(\theta)=2\sin^2\theta+\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta$

$=2\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta-\cos^2\theta$

$=1-\cos2\theta+2\sin2\theta-\cos2\theta$

$=2\sin2\theta-2\cos2\theta+1\cdots\cdots$①

・・・キクケ

(3)

三角関数の合成 $a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)$ より

$f(\theta)=2\sqrt{2}\sin\Big(2\theta-\cfrac{\pi}{4}\Big)+1$

・・・コサシ

$f(\theta)$ の最大値を求めると

$0$ ≦ $\theta$ ≦ $\pi$ より

$0$ ≦ $2\theta$ ≦ $2\pi$

$-\cfrac{\pi}{4}$ ≦ $2\theta-\cfrac{\pi}{4}$ ≦ $\cfrac{7}{4}\pi$

よって,$f(\theta)$ の最大値は

$\sin\Big(2\theta-\cfrac{\pi}{4}\Big)=1$ のとき

これを代入すると

$f(\theta)=2\sqrt{2}\cdot1+1=2\sqrt{2}+1$

となる。

ここで,$2\sqrt{2}+1$ 以下の最大の整数を求めるためには,$\sqrt{2}$ の値について考える必要がある。$\sqrt{2}$ が 1.5 以下の数であることを示すことで,最大の整数を求めることができる。

2 < $\cfrac{9}{4}$ より

$\sqrt{2}$ < $\cfrac{3}{2}$

$2\sqrt{2}$ < 3

$2\sqrt{2}+1$ < 4

したがって,最大の整数は $m=3$

・・・ス

また,0 ≦ $\theta$ ≦ $\pi$ において $f(\theta)=3$ となるとき

$2\sqrt{3}\sin\Big(2\theta-\cfrac{\pi}{4}\Big)+1=3$

$2\sqrt{2}\sin\Big(2\theta-\cfrac{\pi}{4}\Big)=2$

$\sin\Big(2\theta-\cfrac{\pi}{4}\Big)=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$

$2\theta-\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{\pi}{4}$,$\cfrac{3}{4}\pi$

$2\theta=\cfrac{\pi}{2}$,$\pi$

$\theta=\cfrac{\pi}{4}$,$\cfrac{\pi}{2}$

・・・セソ

〔2〕

真数条件より

$x+2$ > 0

$x$ > -2

また

$y+3$ > 0

$y$ > -3

・・・タ

底の変換公式 $\log_a b=\cfrac{\log_c b}{\log_c a}$ より

$\log_4 (y+3)=\cfrac{\log_2(y+3)}{\log_24}$

$=\cfrac{\log_2(y+3)}{2}$

・・・ツテ

よって,②は

$\log_2(x+2)-\log_2(y+3)=-1$

$\log_2\cfrac{x+2}{y+3}=\log_2\cfrac{1}{2}$

$\cfrac{x+2}{y+3}=\cfrac{1}{2}$

$y+3=2(x+2)$

$y+3=2x+4$

$y=2x+1\cdots\cdots$④

・・・ツテ

$t=\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x$ とおき,③に④を代入すると

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x+1}-11\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{x+1}+6=0$

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x}\cdot\cfrac{1}{3}-11\Big\{\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\cdot\cfrac{1}{3}\Big\}+6=0$

$\cfrac{1}{3}t^2-\cfrac{11}{3}t+6=0$

$t^2-11t+18=0\cdots\cdots$⑤

・・・トナニヌ

次に,$x$ > -2 の範囲において,$t$ のとり得る値の範囲を求める。$x=-2$ とすると $t$ は

$t=\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{-2}=3^2=9$

となる。$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x$ は $x$ の値が大きくなるほど小さくなり,0 に近づいていくので

0 < $t$ < 9 $\cdots\cdots$⑥

・・・ネノ

が成り立つ。

また,⑤は

$t^2-11t+18=0$

$(t-2)(t-2)=0$

$t$ = 2,9

0 < $t$ < 9 より,$t$ = 2

・・・ハ

$t=2$ のとき,$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x=2$ だから

$x=\log_{\small{\frac{1}{3}}}2$

これを変形して

$=\cfrac{\log_32}{\log_3\cfrac{1}{3}}=\cfrac{\log_32}{-1}$

$=-\log_32$

$=\log_32^{-1}$

$=\log_3\cfrac{1}{2}$

・・・ヒフ

また,④より

$y=2\log_3\cfrac{1}{2}+1$

$=\log_3\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2+\log_33$

$=\log_3\cfrac{3}{4}$

・・・ヘホ

第1問 問題文

〔1〕関数 $f(\theta)=3\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta$ を考える。

(1) $f(0)=\boxed{\text{アイ}}$,$f\Big(\cfrac{\pi}{3}\Big)=\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$ である。

(2) 2倍角の公式を用いて計算すると, $\cos^2 \theta=\cfrac{\cos 2\theta+\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ となる。さらに, $\sin 2\theta$,$\cos 2\theta$ を用いて $f(\theta)$ を表すと

$f(\theta)=\boxed{\text{キ}}\sin2\theta-\boxed{\text{ク}}\cos2\theta+\boxed{\text{ケ}}\cdots\cdots$①

となる。

(3) $\theta$ が 0 ≦ $\theta$ ≦ $\pi$ の範囲を動くとき, 関数 $f(\theta)$ のとり得る最大の整数の値 $m$ とそのときの $\theta$ の値を求めよう。 三角関数の合成を用いると,①は

$f(\theta)=\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}\sin\Big(2\theta-\cfrac{\pi}{\boxed{\text{シ}}}\Big)+\boxed{\text{ケ}}$

と変形できる。したがって, $m$=$\boxed{\text{ス}}$ である。

また, 0 ≦ $\theta$ ≦ $\pi$ において, $f(\theta)=\boxed{\text{ス}}$ となる $\theta$ の値は, 小さい順に,$\cfrac{\pi}{\boxed{\text{セ}}}$,$\cfrac{\pi}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。

〔2〕 連立方程式

$\begin{cases}\log_2(x+2)-2\log_4(y+3)=-1\cdots\cdots\text{②}\\\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^y-11\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{x+1}+6=0\cdots\cdots\text{③}\end{cases}$

を満たす実数 $x$,$y$ を求めよう。

真数の条件により, $x$,$y$ のとり得る値の範囲は $\boxed{\text{タ}}$ である。$\boxed{\text{タ}}$ に当てはまるものを, 次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。ただし, 対数 $\log_a b$ に対し, $a$ を底といい, $b$ を真数という。

⓪ $x$ > 0,$y$ > 0 ① $x$ > 2,$y$ > 3

② $x$ > -2,$y$ > -3 ③ $x$ < 0,$y$ < 0

④ $x$ < 2,$y$ < 3 ⑤ $x$ < -2,$y$ < -3

底の変換公式により

$\log_4(y+3)=\cfrac{\log_2(y+3)}{\boxed{\text{チ}}}$

である。よって,②から

$y=\boxed{\text{ツ}}x+\boxed{\text{テ}}\cdots\cdots$①

が得られる。

次に, $t=\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x$ とおき,④を用いて③を $t$ の方程式に書き直すと

$t^2-\boxed{\text{トナ}}t+\boxed{\text{ニヌ}}=0\cdots\cdots$⑤

が得られる。また, $x$ が $\boxed{\text{タ}}$ における $x$ の範囲を動くとき, $t$ のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ネ}}$ < $t$ < $\boxed{\text{ノ}}\cdots\cdots$⑥

である。

⑥の範囲で方程式⑤を解くと, $t=\boxed{\text{ハ}}$ となる。したがって, 連立方程式②, ③を満たす実数 $x$, $y$ の値は

$x=\log_3\cfrac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}$,$y=\log_2\cfrac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}$

であることがわかる。

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