【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2018追試【解説・正解・問題】

解答・解説

ア 6　イ 2　ウエ 90　オ,カ 1,1　キ 6

ク 3　ケ 2　コ 2　サシ －1　ス 3

セ,ソタ,チツ 2,－5,－3　テ 2

ト ナ,ニヌ ネ,ノハ 8 5,－3 5,－1

(1)

三平方の定理より

$|\vec{p}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{6}$

・・・ア

$|\vec{q}|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

・・・イ

$\vec{p}\cdot\vec{q}=2\cdot0+(-1)\cdot1+(-1)(-1)=0$

したがって，$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角は 90°

・・・ウエ

(2)

$\vec{n}=(1,y,z)$ とおくと，$\vec{p}$ および $\vec{q}$ と $\vec{n}$ は垂直だから

$\vec{p}\cdot\vec{n}=0$，$\vec{q}\cdot\vec{n}=0$ が成り立つ。

$\vec{p}\cdot\vec{n}=2\cdot1+(-1)y+(-1)z=0$

$2-y-z=0$

$z=2-y$

また

$\vec{q}\cdot\vec{n}=0\cdot1+1\cdot y+(-1)z=0$

$y-z=0$

$y=z$

式に代入して

$y=2-y$

$y=1$

よって，$z=1$

$\vec{n}=(1,1,1)$

・・・オカ

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{n}=6\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot1=6$

・・・キ

$\vec{n}\cdot\vec{n}=1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1=3$

・・・ク

$\vec{p}\cdot\vec{n}=0$，$\vec{q}\cdot\vec{n}=0$ だから，これらを代入して

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{n}=r\vec{n}\cdot\vec{n}+s\vec{n}\cdot\vec{p}+t\cdot\vec{n}\cdot\vec{q}$

$6=3r$

$r=2$

・・・ケ

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{p}$ を求めると

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{p}=2\vec{n}\cdot\vec{p}+s|\vec{p}|^2+t\vec{p}\cdot\vec{q}$

$=2\cdot0+s\cdot6+t\cdot0=6s$

成分表示による内積を求めると

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{p}=6\cdot2+(-1)(-1)+1\cdot(-1)=12$

よって

$6s=12$

$s=2$

・・・コ

同様にして

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{q}=2\vec{n}\cdot\vec{q}+2\vec{p}\cdot\vec{q}+t|\vec{q}|^2$

$=2\cdot0+2\cdot0+t\cdot2=2t$

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{q}=6\cdot0+(-1)\cdot1+1\cdot(-1)=-2$

よって

$2t=-2$

$t=-1$

・・・サシ

$\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\vec{n}=u\vec{n}\cdot\vec{n}+v\vec{n}\cdot\vec{p}+w\vec{n}\cdot\vec{q}$

$=u\cdot3+v\cdot0+w\cdot0=3u$

$\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\vec{n}=1\cdot1+6\cdot1+2\cdot1=9$

よって

$3u=9$

$u=3$

・・・ス

(3)

(2) より $r=2$，$s=2$，$t=-1$ として

$\overrightarrow{\text{OC}}=-2\vec{n}+2\vec{p}-\vec{q}$

$=-2(1,1,1)+2(2,-1,-1)-(0,1,-1)$

$=(2,-5,-3)$

・・・セソタチツ

ここで，BC と $\alpha$ の交点を D とおき，実数 $k$ を用いて D が BC を $k$：$1-k$ に内分するとき

$\overrightarrow{\text{OD}}=(1-k)\overrightarrow{\text{OB}}+k\overrightarrow{\text{OC}}$

$=(1-k)(1,6,2)+k(2,-5,-3)$

$=(1-k+2k,6-6k-5k,2-2k-3k)$

$=(1+k,6-11k,2-5k)$

また，D は $\alpha$ 上の点だから，$\overrightarrow{\text{OD}}=s\vec{p}+t\vec{q}$ とおくと

$\overrightarrow{\text{OD}}=s(2,-1,-1)+t(0,1,-1)$

$=(2s,-s+t,-s-t)$

成分をそれぞれ比べると

$\begin{cases}1+k=2s\\6-11k=-s+t\\2-5k=-s-t\end{cases}$

連立して $k$ を求めると

$8-16k=-2s$

$2s=16k-8$

代入して

$1+k=16k-8$

$15k=9$

$k=\cfrac{3}{5}$

よって

$\overrightarrow{\text{OD}}=\Big(1-\cfrac{3}{5}\Big)\overrightarrow{\text{OB}}+\cfrac{3}{5}\overrightarrow{\text{OC}}$

$=\cfrac{2}{5}\overrightarrow{\text{OB}}+\cfrac{3}{5}\overrightarrow{\text{OC}}$

したがって，D は BC を 3：2 に内分する。

・・・テ

また，$|\overrightarrow{\text{AM}}|+|\overrightarrow{\text{MB}}|$ が最小となる $\alpha$ 上の点 M は BC 上にあることから，上で求めた D と M は同じものである。よって

$\overrightarrow{\text{OM}}=\cfrac{2}{5}\overrightarrow{\text{OB}}+\cfrac{3}{5}\overrightarrow{\text{OC}}$

$=\cfrac{2}{5}(1,6,2)+\cfrac{3}{5}(2,-5,-3)$

$=\Big(\cfrac{8}{5},\cfrac{-3}{5},-1\Big)$

・・・トナニヌネノハ

第４問

点 O を原点とする座標空間に 4 点A$(6,-1,1)$，B$(1,6,2)$，P$(2,-1,-1)$，Q$(0,1,-1)$ がある。3点 O，P，Q を通る平面を $\alpha$ とし，$\overrightarrow{\text{OP}}$ ＝ $\vec{p}$，$\overrightarrow{\text{OQ}}$ ＝ $\vec{q}$ とおく。平面 $\alpha$ 上に点 M をとり，$|\overrightarrow{\text{AM}}|+|\overrightarrow{\text{MB}}|$ が最小となるときの点 M の座標を求めよう。

(1) $|\vec{p}|=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$，$|\vec{q}|=\boxed{\text{イ}}$ である。また，$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角は $\boxed{\text{ウエ}}$° である。

(2) $p$ および $q$ と垂直であるベクトルの一つとして

$\vec{n}=(1,\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$

をとる。

$\overrightarrow{\text{OA}}$ を実数 $r$，$s$，$t$ を用いて $\overrightarrow{\text{OA}}=r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$ の形に表したときの $r$，$s$，$t$ を求めよう。

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{n}=\boxed{\text{キ}}$，$\vec{n}\cdot\vec{n}=\boxed{\text{ク}}$，$\vec{n}$ ⊥ $\vec{p}$，$\vec{n}$ ⊥ $\vec{q}$ であることから，$r$ ＝ $\boxed{\text{ケ}}$ となる。また，$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{p}$，$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\vec{q}$ を考えることにより，$s$ ＝ $\boxed{\text{コ}}$，$t$ ＝ $\boxed{\text{サシ}}$ であることがわかる。

同様に，$\overrightarrow{\text{OB}}$ を実数 $u$，$v$，$w$ を用いて $\overrightarrow{\text{OB}}=u\vec{n}+v\vec{p}+w\vec{q}$ の形に表したとき，$u$ ＝ $\boxed{\text{ス}}$ である。

(3) $r$，$s$，$t$ を(2)で求めた値であるとし，点 C は $\overrightarrow{\text{OC}}=-r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$ となる点とする。C の座標は

($\boxed{\text{セ}}$，$\boxed{\text{ソタ}}$，$\boxed{\text{チツ}}$)

である。また，線分 BC と平面 $\alpha$ との交点は，BC を 3：$\boxed{\text{テ}}$ に内分する。

$\vec{n}$ ⊥ $\vec{p}$，$\vec{n}$ ⊥ $\vec{q}$，$\overrightarrow{\text{OA}}=r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$，$\overrightarrow{\text{OC}}=-r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$ であることにより，線分 AC は平面 $\alpha$ に垂直であり，その中点は $\alpha$ 上にある。よって，$\alpha$ 上の点 M について，$|\overrightarrow{\text{AM}}|=|\overrightarrow{\text{CM}}|$ が成り立ち，$|\overrightarrow{\text{AM}}|+|\overrightarrow{\text{MB}}|$ が最小となる M は線分 BC 上にある。したがって，求める M の座標は

$\Big(\cfrac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}},\cfrac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}},\boxed{\text{ノハ}}\Big)$

である。