【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2018追試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア 2　イ 2　ウ 2　エ オ 1 2

カ キ 2 3　ク 3

ケ,コ,サ,シ 1,2,3,2

スセ ソ タ 27 8 9　チ ツ 2 1

テ,ト,ナ,ニ 1,4,3,1

(1)

$s=4$ のとき

$a_2=\cfrac{2\cdot\cfrac{1}{2}+4}{\cfrac{1}{2}+2}$

$=\cfrac{\space5\space}{\cfrac{5}{2}}=\cfrac{\space5\times2\space}{\cfrac{5}{2}\times2}=2$

・・・ア

$a_3=\cfrac{2\cdot2+4}{2+2}=\cfrac{8}{4}=2$

$a_4=2$

したがって，$a_{100}=2$

・・・イ

(2)

$b_1=\cfrac{\space1\space}{\cfrac{1}{2}}=\cfrac{\space1\times2\space}{\cfrac{1}{2}\times2}=2$

・・・ウ

$b_n=\cfrac{1}{a_n}$ より $b_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}}$ とおく。$s=0$ より

$a_{n+1}=\cfrac{2a_n}{a_n+2}$

$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{a_n+2}{2a_n}$

$=\cfrac{a_n}{2a_n}+\cfrac{2}{2a_n}$

$=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{a_n}$

したがって

$b_{n+1}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{a_n}=b_n+\cfrac{1}{2}$

・・・エオ

$b_n$ は公差 $\cfrac{1}{2}$ の等差数列だから，一般項を求めると

$b_n=2+(n-1)\cdot\cfrac{1}{2}$

$=2+\cfrac{1}{2}n-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}n+\cfrac{3}{2}$

$=\cfrac{n+3}{2}$

したがって

$\cfrac{1}{a_n}=\cfrac{n+3}{2}$

$a_n=\cfrac{2}{n+3}$

・・・カキ

(3)

$s=1$ とすると

$a_{n+1}=\cfrac{2a_n+1}{a_n+2}$

$c_n=\cfrac{1+a_n}{1-a_n}$ とおくと

$c_1=\cfrac{1+\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=\cfrac{\space\cfrac{3}{2}\space}{\cfrac{1}{2}}$

$=\cfrac{\space\cfrac{3}{2}\times2\space}{\cfrac{1}{2}\times2}=3$

・・・ク

$c_{n+1}=\cfrac{1+a_{n+1}}{1-a_{n+1}}$

$=\cfrac{1+\cfrac{2{a_n}+1}{a_n+2}}{1-\cfrac{2{a_n}+1}{a_n+2}}$

$=\cfrac{\Big(1+\cfrac{2{a_n}+1}{a_n+2}\Big)(a_n+2)}{\Big(1-\cfrac{2{a_n}+1}{a_n+2}\Big)(a_n+2)}$

$=\cfrac{a_n+2+2a_n+1}{a_n+2-2a_n-1}$

$=\cfrac{3a_n+3}{1-a_n}=3\cdot\cfrac{1+a_n}{1-a_n}$

$=3c_n$

$c_n$ は公比 3 の等比数列だから

$c_n=3\cdot3^{n-1}=3^n$

よって

$\cfrac{1+a_n}{1-a_n}=3^n$

$1+a_n=3^n(1-a_n)$

$1+a_n=3^n-3^na_n$

$a_n+3^na_n=3^n-1$

$(1+3^n)a_n=3^n-1$

$a_n=\cfrac{3^n-1}{3^n+1}$

ここで約分するために，分子を$3^n+1$ の形に合わせるとよい。

$=\cfrac{3^n+1-2}{3^n+1}$

$=\cfrac{3^n+1}{3^n+1}-\cfrac{2}{3^n+1}$

$=1-\cfrac{2}{3^n+1}$

・・・ケコサシ

(4)

$c_nc_{n+1}=3^n\cdot3^{n+1}=3^{2n+1}=3\cdot9^n$

$\displaystyle\sum_{k=1}^nc_kc_{k+1}=3\sum_{k=1}^n9^n$

$9^n$ は初項 9，公比 9 の等比数列だから，和の公式 $\cfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ を用いて

$=3\cdot\cfrac{9(9^n-1)}{9-1}$

$=\cfrac{27}{8}(9^n-1)$

・・・スセソタ

次に，$s=1$ とすると①は

$a_{n+1}=\cfrac{2a_n+1}{a_n+2}$

$a_{n+1}(a_n+2)=2a_n+1$

$a_na_{n+1}+2a_{n+1}=2a_n+1$

$a_na_{n+1}=2(a_n-a_{n+1})+1$

・・・チツ

よって

$\displaystyle\sum_{k=1}^na_ka_{k+1}=2a_1-2a_2+1+2a_2-2a_3+1+\cdots+2a_n-2a_{n+1}+1$

$=2a_1-2a_{n+1}+n$

$=2\Big(\cfrac{1}{2}-1+\cfrac{2}{3^{n+1}+1}\Big)+n$

$=2\Big(-\cfrac{1}{2}+\cfrac{2}{3^{n+1}+1}\Big)+n$

$=n-1+\cfrac{4}{3^{n+1}+1}$

・・・テトナニ

第３問　問題文

$s$ を定数とし，数列｛$a_n$｝を次のように定義する。

$a_1$＝$\cfrac{\enspace1\enspace}{2}$，$a_{n+1}=\cfrac{2a_n+s}{a_n+2}$ $(n=1,2,3,\cdots)\cdots\cdots$①

(1) $s$ ＝ 4 とする。$a_2$ ＝ $\boxed{\text{ア}}$，$a_{100}$ ＝ $\boxed{\text{イ}}$ である。

(2) $s$ ＝ 0 とする。$b_n$ ＝ $\cfrac{1}{a_n}$ とおくと，$b_1$ ＝ $\boxed{\text{ウ}}$ である。さらに，$b_n$ と $b_{n+1}$ は関係式 $b_{n+1}=b_n+\cfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ を満たすから，｛$a_n$｝の一般項は

$a_n$ ＝ $\cfrac{\boxed{\text{カ}}}{n+\boxed{\text{キ}}}$

である。

(3) $s$ ＝ 1 とする。$c_n$ ＝ $\cfrac{1+a_n}{1-a_n}$ とおくと，$c_1$ ＝ $\boxed{\text{ク}}$ である。さらに，$c_n$ と $c_{n+1}$ の関係式を求め，数列｛$c_n$｝の一般項を求めることにより，｛$a_n$｝の一般
項は

$a_n$ ＝ $\boxed{\text{ケ}}-\cfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}^{\boxed{\text{シ}}}+1}$ であることがわかる。ただし，$\boxed{\text{シ}}$ については，当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。

⓪ $n-2$　① $n-1$　② $n$

③ $n+1$　④ $n+2$

(4) (3)の数列｛$c_n$｝について

$\displaystyle\sum_{k=1}^n c_kc_{k+1}=\cfrac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}(\boxed{\text{タ}}^n-1)$

である。

次に，(3)の数列｛$a_n$｝について考える。$s$ ＝ 1 であることに注意して，①の漸化式を変形すると

$a_n a_{n+1}=\boxed{\text{チ}}(a_n-a_{n+1})+\boxed{\text{ツ}}$

である。ゆえに

$\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1}=\boxed{\text{テ}}+\cfrac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{サ}}^{\boxed{\text{ナ}}}+\boxed{\text{ニ}}}$

である。ただし，$\boxed{\text{テ}}$ と $\boxed{\text{ナ}}$ については，当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

⓪ $n-2$　① $n-1$　② $n$

③ $n+1$　④ $n+2$