【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2018追試【解説・正解・問題】

第2問　解答・解説

ア,イ ウ a,3 2　エ,オ,カ 6,3,2

キ,ク 4,2　ケ コ 6 3　サ 2

シ ス セ ソ タ 7 6 6 9 3

チ 3　ツテト －24　ナ 0

ニヌネ －28　ノ ハ 2 6

ヒフ,ヘホ －1,26

$C_1$ と $C_2$ を連立して

$3x^2=2x^2+a^2$

$x^2=a^2$

$a$ ＞ 0 より

$x=a$

したがって B の座標は

$(a,2a^2+a^2)=(a,3a^2)$

・・・アイウ

$\ell$ が $x=s$ で $C_1$ と接するとき，$C_1$ を $x$ で微分すると

$y’=6x$

$x=s$ のとき，接線の傾きは $6s$

これが $(s,3s^2)$ を通るので

$\ell:y-3s^2=6s(x-s)$

$y=6sx-6s^2+3s^2$

$=6sx-3s^2$

・・・エオカ

$\ell$ が $C_2$ に接するとき

$y’=4x$

$y-(2t^2+a^2)=4t(x-t)$

$y=4tx-4t^2+2t^2+a^2$

$=4tx-2t^2+a^2$

・・・キク

式どうしを比べると

$\begin{cases}6s=4t\\-3s^2=-2t^2+a^2\end{cases}$

連立して解くと

$6s=4t$

$t=\cfrac{3}{2}s$

代入して

$-3s^2=-2\Big(\cfrac{3}{2}s\Big)^2+a^2$

$-3s^2+\cfrac{9}{2}s^2=a^2$

$\cfrac{3}{2}s^2=a^2$

$s^2=\cfrac{2}{3}a^2$

$a$ ＞ 0 より

$s=\sqrt{\cfrac{2}{3}}a=\cfrac{\sqrt{6}}{3}a$

$t=\cfrac{3}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{3}a=\cfrac{\sqrt{6}}{2}a$

・・・ケコサ

面積を求めると

$\displaystyle S=\int_s^a 3x^2dx+\int_a^t 2x^2+a^2dx$

$\displaystyle=\Big[x^3\Big]_s^a+\Big[\cfrac{2}{3}x^3+a^2x\Big]_a^t$

$=a^3-s^3+\cfrac{2}{3}t^3+a^2t-\cfrac{2}{3}a^3-a^3$

$s$ と $t$ の値を代入して

$=-\cfrac{6\sqrt{6}}{27}a^3+\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{6\sqrt{6}}{8}a^3+a^2\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}a-\cfrac{2}{3}a^3$

$=\Big(\cfrac{-4\sqrt{6}+9\sqrt{6}+9\sqrt{6}-12}{18}\Big)a^3$

$=\cfrac{14\sqrt{6}-12}{18}a^3$

$=\cfrac{7\sqrt{6}-6}{9}a^3$

・・・シスセソタ

(2)

$f(x)=x^3+px^2+qx+r$

$f'(x)=3x^2+2px+q$

$x=-4$ で極値を取るので

$f'(-4)=48-8p+q=0$

$q=8p-48$

また，原点を通るので

$f(0)=r=0$

よって，$f(x)$ は

$f(x)=x^3+px^2+qx$

これが，A$(-a,3^2)$，B$(a,3a^2)$ を通るので

$f(-a)=-a^3+a^2p-aq=3a^2$

$f(a)=a^3+a^2p+aq=3a^2$

式どうしを連立して足すと

$2a^2p=6a^2$

$p=3$

よって

$q=8\cdot3-48=-24$

したがって，$p=3$，$q=-24$，$r=0$

・・・チツテトナ

これらを $f(x)$ に代入すると

$f(x)=x^3+3x^2-24x$

$f(x)$ の増減を調べると

$f'(x)=3x^2+6x-24$

$3x^2+6x-24=0$ とおくと

$x^2+2x-8=0$

$(x+4)(x-2)=0$

$x=2,-4$

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{c:c:c:c:c:c}x & \cdots & -4&\cdots&2&\cdots\\\hline f'(x)&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\nearrow&&\searrow&-28&\nearrow\end{array}$

極小値は

$f(2)=8+12-48=-28$

・・・ニヌネ

また，$a$ を求めると

$f(a)=a^3+3a^2-24a=3a^2$

$a^3-24a=0$

$a$ ＞ 0 より

$a^2-24=0$

$a^2=24$

$a=2\sqrt{6}$

・・・ノハ

さらに，$f(x)$ と $C_2$ の共有点を求めると

$f(x)=x^3+3x^2-24-2x^2-(2\sqrt{6})^2=0$

$x^3+x^2-24x-24=0$

$x=-1$ のとき，左辺が 0 になるので，式は $x+1$ で割り切れる。組み立て除法を用いて

$\begin{aligned}1&&1&&-24&&-24&&|\underline{-1}\\&&-1&&0&&24\\\hline1&&0&&-24&&0\end{aligned}$

$(x+1)(x^2-24)=0$

$(x+1)(x+2\sqrt{6})(x-2\sqrt{6})=0$

$x=\pm2\sqrt{6},-1$

このうち，A，B と異なるものは －1

$f(-1)=-1+3+24=26$

したがって，(－1，26)

・・・ヒフヘホ

第２問

$a$ を正の実数とし，放物線 $y=3x^2$ を $C_1$，放物線 $y=2x^2+a^2$ を $C_2$ とする。$C_1$ と $C_2$ の二つの共有点を $x$ 座標の小さい順に A，B とする。また，$C_1$ と $C_2$ の両方に第1象限で接する直線を $\ell$ とする。

(1) B の座標を $a$ を用いて表すと $(\boxed{\text{ア}}$，$\boxed{\text{イ}}a^{\boxed{\text{ウ}}})$ である。

直線 $\ell$ と二つの放物線 $C_1$，$C_2$ の接点の $x$ 座標をそれぞれ $s$，$t$ とおく。$\ell$ は $x$ ＝ $s$ で $C_1$ と接するので，$\ell$ の方程式は

$y$ ＝ $\boxed{\text{エ}}sx-\boxed{\text{オ}}s^{\boxed{\text{カ}}}$

と表せる。同様に，$\ell$ は $x$ ＝ $t$ で $C_2$ と接するので，$\ell$ の方程式は

$y$ ＝ $\boxed{\text{キ}}tx-\boxed{\text{ク}}t^{\boxed{\text{カ}}}+a^2$

とも表せる。これらにより，$s$，$t$ は

$s$ ＝ $\cfrac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}a$，$t$ ＝ $\cfrac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{サ}}}a$

である。

放物線 $C_1$ の $s$ ≦ $x$ ≦ $\boxed{\text{ア}}$ の部分，放物線 $C_2$ の $\boxed{\text{ア}}$ ≦ $x$ ≦ $t$ の部分，$x$ 軸，および2直線 $x$ ＝ $s$，$x$ ＝ $t$ で囲まれた図形の面積は

$\cfrac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}-\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}a^{\boxed{\text{タ}}}$

である。

(2) 実数 $p$，$q$，$r$ に対し，関数 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$ を考える。$f(x)$ は $x=-4$ で極値をとるとする。また，曲線 $y=f(x)$ は点 A，B および原点を通るとする。

このとき，$p$ ＝ $\boxed{\text{チ}}$，$q$ ＝ $\boxed{\text{ツテト}}$，$r$ ＝ $\boxed{\text{ナ}}$ であり，$f(x)$ の極小値は $\boxed{\text{ニヌネ}}$ である。

また，$a$ ＝ $\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$ であり，曲線 $y=f(x)$ と放物線 $C_2$ の共有点のうち，A，B と異なる点の座標は $(\boxed{\text{ヒフ}}，\boxed{\text{ヘホ}})$ である。