共テ・センター数学

【センター過去問】数学IIB2018追試【問題・解答・解説】

第1問 解答・解説

ア イ 2 2 ウ エ 4 4 オ カ 5 4

キク ケ コ -1 1 2 サ シ 2 3

スセ 10 ソ 3 タ 6 チ 1

ツテ ト 2a a ナ ニ 1 4

ヌネ ノ -5 4 ハ 3 ヒ フ,ヘ - 1,1

〔1〕

三平方の定理より

$\text{AP}^2=(\cos2\theta-1)^2+\sin^22\theta$

$=\cos^22\theta-2\cos2\theta+1+\sin^22\theta$

$\sin^2x+\cos^2x=1$ より

$=2-2\cos2\theta$

・・・アイ

2 倍角の公式 $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$より

$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$

$=\cos^2\theta-(1-\sin^2\theta)$

$=2\cos^2-1$

よって

したがって

$\text{AP}^2=2-2(2\cos^2-1)$

$=4-4\cos^2\theta$

・・・ウエ

$\text{PQ}^2=(2\cos3\theta-\cos2\theta)^2+(2\sin3\theta-\sin2\theta)^2$

$=4\cos^23\theta-4\cos2\theta\cos3\theta+\cos^22\theta+4\sin^23\theta-4\sin2\theta\sin3\theta+\sin^22\theta$

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$,$\sin^22\theta+\cos^22\theta=1$ だから

$=5-4(\cos2\theta\cos3\theta+\sin2\theta\sin3\theta)$

加法定理 $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ より

$=5-4\cos(2\theta-3\theta)$

$=5-4\cos(-\theta)$

$\cos \theta=\cos(-\theta)$ より

$=5-4\cos\theta$

・・・オカ

また,$\cfrac{\pi}{3}$ ≦ $\theta$ < $\pi$ より

-1 ≦ $\cos\theta$ ≦ $\cfrac{1}{2}$

・・・キクケコ

$\text{AP}^2+\text{PQ}^2=4-4\cos^2\theta+5-4\cos\theta$

$=-4\cos^2\theta-4\cos\theta+9$

式を平方完成すると

$=-4(\cos^2\theta+\cos\theta)+9$

$=-4\Big(\cos\theta+\cfrac{1}{2}\Big)^2+4\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2+9$

$=-4\Big(\cos\theta+\cfrac{1}{2}\Big)^2+10$

$\cos\theta=-\cfrac{1}{2}$ のとき,$\theta=\cfrac{2}{3}\pi$ だから

$\theta=\cfrac{2}{3}\pi$ のとき最大値 10

・・・サシスセ

また,$\cos=\cfrac{1}{2}$ のとき $\theta=\cfrac{\pi}{3}$ だから

$\theta=\cfrac{\pi}{3}$ のとき最小値をとる。

$-4\Big(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\Big)^2+10$

$=-4+10=6$

したがって,最小値は 6

・・・ソタ

〔2〕

ad

(1)

$X=2^x$ とおくと $X$ > 0

・・・チ

①を変形すると

$4^x\cdot4^a-2^x\cdot2^a+a=0$

$2^{2x}\cdot2^{2a}-2^x\cdot2^a+a=0$

$2^{2a}X^2-2^aX+a=0\cdots\cdots$②

・・・ツテト

$D=2^{2a}-4\cdot2^{2a}\cdot a=0$

$2^{2a}(1-4a)=0$

・・・ナニ

ad

(2)

②は

$2^{2a}X^2-2^aX+a=0$

$X=\cfrac{2^a\pm\sqrt{D}}{2\cdot2^{2a}}$

②はただ一つの解を持つので $D=0$ である。

$X=\cfrac{2^a}{2\cdot2^{2a}}$

$X=2^{a-1-2a}=2^{-a-1}$

$X=2^x$ だから

$x=-a-1$

$=-\cfrac{1}{4}-1=-\cfrac{5}{4}$

・・・ヌネノ

(3)

$a$≠$\cfrac{1}{4}$ のとき

②は $f(0)$ ≦ 0 であれば,$X$ > 0 の範囲でただ一つの解を持つ。

$f(0)=a$ だから $a$ ≦ 0

・・・ハ

$X$ > 0 の範囲で解を求める。$D=2^{2a}(1-4a)$ を用いて

$X=\cfrac{2^a+\sqrt{2^{2a}(1-4a)}}{2\cdot2^{2a}}$

$=\cfrac{2^a+2^a\sqrt{1-4a}}{2^{2a+1}}$

$=\cfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2^{a+1}}$

よって

$2^x=\cfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2^{a+1}}$

底を 2 として両辺の対数を取ると

$\log_22^x=\log_2\cfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2^{a+1}}$

$x\log_22=\log_2(1+\sqrt{1-4a})-\log_22^{a+1}$

$x=-(a+1)\log_22+\log_2(1+\sqrt{1-4a})$

$=-a-1+\log_2(1+\sqrt{1-4a})$

・・・ヒフヘ

第1問 問題文

〔1〕座標平面上に点 A(1,0),P($\cos2\theta$,$\sin2\theta$),Q($2\cos3\theta$,$2\sin3\theta$) を
とる。$\theta$ が $\cfrac{\pi}{3}$ ≦ $\theta$ < $\pi$ の範囲を動くとき,$\text{AP}^2+\text{PQ}^2$ の最大値と最小値を求めよう。

$\text{AP}^2$ は

$\text{AP}^2$ = $\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\cos2\theta$

$=\boxed{\text{ウ}}-\boxed{\text{エ}}\cos^2\theta$

である。また,$\text{PQ}^2$ は

$\text{PQ}^2=\boxed{\text{オ}}-\boxed{\text{カ}}\cos\theta$

である。

$\cfrac{\pi}{3}$ ≦ $\theta$ < $\pi$ であるから,$\boxed{\text{キク}}$ < $\cos\theta$ ≦ $\cfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$ である。した
がって,$\text{AP}^2+\text{PQ}^2$ は,$\theta=\cfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ のとき最大値 $\boxed{\text{スセ}}$ をとり,$\theta=\cfrac{\pi}{\boxed{\text{ソ}}}$ のとき最小値 $\boxed{\text{タ}}$ をとる。

〔2〕$a$ を定数とする。$x$ の方程式

$4^{x+a}-2^{x+a}+a=0\cdots\cdots$①

がただ一つの解をもつとき,その解を求めよう。

(1) $X=2^x$ とおくと,$X$ のとり得る値の範囲は $\boxed{\text{チ}}$ である。$\boxed{\text{チ}}$ に当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。

⓪ $X$ ≧ 0 ① $X$ > 0 ② $X$ ≧ 1 ③ $X$ > 1

また,①を $X$ を用いて表すと,$X$ の2次方程式

$2^{\boxed{\text{ツテ}}}X^2-2^{\boxed{\text{ト}}}X+a=0\cdots\cdots$②

となる。この2次方程式の判別式を $D$ とすると

$D=2^{\boxed{\text{ツテ}}}(\boxed{\text{ナ}}-\boxed{\text{ニ}}a)$

である。

(2) $a=\cfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ のとき,②は $\boxed{\text{チ}}$ の範囲でただ一つの解をもつ。したがって,①もただ一つの解をもち,その解は $x=\cfrac{\boxed{\text{ヌネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}$ である。

(3) $a\not=\cfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ のとき,②が $\boxed{\text{チ}}$ の範囲でただ一つの解をもつための必要十分条件は,$\boxed{\text{ハ}}$ である。$\boxed{\text{ハ}}$ に当てはまるものを,次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。

⓪ $a$ > 0 ① $a$ < 0

② $a$ ≧ 0 ③ $a$ ≦ 0

④ a > $\cfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ ⑤ $a$ < $\cfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$

$\boxed{\text{ハ}}$ のとき,①もただ一つの解をもち,その解は

$x=\boxed{\text{ヒ}}a-\boxed{\text{フ}}+\log_2(\boxed{\text{ヘ}}+\sqrt{\boxed{\text{ナ}}-\boxed{\text{ニ}}a})$

である。

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