【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2018本試【解説・正解・問題】

解答・解説

アイ －6　ウエ 12　オ カキ 6 12

クケ 12　コ 3　サ シ ス 6 3 1

セ 5　ソ タ チ 6 3 2　ツテト －18

ナ ニ ヌ,ネ 2 3 9,2

(1)

$a_n=a_1+(n-1)d$ とおくと

$a_4=a_1+3d=30$

$a_1=30-3d$

$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_1+(k-1)d$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^n a_1+kd-d$

$=a_1n+\dfrac{1}{2}n(n+1)d-dn$

$=\dfrac{1}{2}dn^2+\Big(a_1-\dfrac{1}{2}d\Big)n$

よって

$S_8=32d+\Big(a_1-\dfrac{1}{2}d\Big)8=288$

$32d+(30-3d-\dfrac{1}{2}d\Big)8=288$

$4d+30-\dfrac{7}{2}d=36$

$\dfrac{1}{2}d=6$

$d=12$

$a_1-30-36=-6$

したがって，｛$a_n$｝の初項は －6，公差は 12

・・・アイウエ

$S_n=\dfrac{1}{2}\cdot12n^2+\Big(-6-\dfrac{1}{2}\cdot12\Big)n$

$=6n^2-12n$

・・・オカキ

(2)

$b_n=b_1\cdot r^{n-1}$ とおくと

$b_2=b_1r=36$

$b_1=\dfrac{36}{r}$

$T_n=\dfrac{b_1(r^n-1)}{r-1}=156$

$T_3=\dfrac{b_1(r^3-1)}{r-1}=156$

$\dfrac{\dfrac{36}{r}(r^3-1)}{r-1}=156$

$\dfrac{\dfrac{3}{r}(r^3-1)}{r-1}=13$

$3r^2-\dfrac{3}{r}=13(r-1)$

$3r^3-3=13r(r-1)$

$3r^3-3=13r^2-13r$

$3r^3-13r^2+13r-3=0$

$r=1$ のとき，左辺は 0 になるので，式は $(r-1)$ で割り切れる。組み立て除法を用いて

$\begin{aligned}3&&-13&&13&&-3&&|\underline{1}\\&&3&&-10&&3\\\hline3&&-10&&3&&0\end{aligned}$

$(r-1)(3r^2-10r+3)=0$

$(r-1)(r-3)(3r-1)=0$

$r=1, 3, \dfrac{1}{3}$

公比は 1 より大きいので

$r=3$

・・・コ

よって

$b_1=\dfrac{36}{3}=12$

・・・クケ

$T_n=\dfrac{12(3^n-1)}{3-1}=6(3^n-1)$

・・・サシス

(3)

$d_n=c_{n+1}-c_n$

$=\{(n+1)(a_1-b_1)+n(a_2-b_2)+\cdots+2(a_n-b_n)+(a_{n+1}-b_{n+1})\}-\{n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots+2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n)\}$

$=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+\cdots+(a_n-b_n)+(a_{n+1}-b_{n+1})$

$=(a_1+a_2+\cdots+a_{n+1})-(b_1+b_2+\cdots+b_{n+1})$

$=S_{n+1}-T_{n+1}$

・・・セ

(1)(2) より

$d_n=6(n+1)^2-12(n+1)-6(3^{n+1}-1)$

$=6n^2+12n+6-12n-12-6\cdot3^{n+1}+6$

$=6n^2-6\cdot3^{n+1}$

$=6n^2-2\cdot3\cdot3^{n+1}$

$=6n^2-2\cdot3^{n+2}$

・・・ソタチ

また

$c_1=a_1-b_1=-6-12=-18$

・・・ツテト

階差数列の一般項の公式 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b^k$ より

$\displaystyle c_n=c_1+\sum_{k=1}^{n-1} dn$

$\displaystyle=-18+\sum_{k=1}^{n-1}(6k^2-2\cdot3^{k+2})$

$\displaystyle=-18+\sum_{k=1}^{n-1}(6k^2-18\cdot3^k)$

$=-18+6\cdot\dfrac{1}{6}(n-1)n\{2(n-1)+1\}-18\cdot\dfrac{3(3^n-1)}{3-1}$

$=-18+n(n-1)(2n-2+1)-9\cdot3(3^{n-1}-1)$

$=-18+n(n-1)(2n-1)-27(3^{n-1}-1)$

$=-18+(n^2-n)(2n-1)-3^3\cdot3^{n-1}+27$

$=2n^3-n^2-n^2+n-3^{n+2}+9$

$=2n^3-3n^2+9-3^{n+2}$

・・・ナニヌネ

第３問　問題文

第 4 項が 30，初項から第 8 項までの和が 288 である等差数列を｛$a_n$｝とし，｛$a_n$｝の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。また，第 2 項が 36，初項から第 3 項までの和が 156 である等比数列で公比が 1 より大きいものを｛$b_n$｝とし，｛$b_n$｝の初項から第$n$ 項までの和を $T_n$ とする。

(1) ｛$a_n$｝の初項は $\boxed{\text{アイ}}$，公差は $\boxed{\text{ウエ}}$ であり

$S_n$ ＝ $\boxed{\text{オ}}n^2$ － $\boxed{\text{カキ}}n$

である。

(2) ｛$b_n$｝の初項は $\boxed{\text{クケ}}$，公比は $\boxed{\text{コ}}$ であり

$T_n$ ＝ $\boxed{\text{サ}}(\boxed{\text{シ}}^n-\boxed{\text{ス}})$

である。

(3) 数列｛$c_n$｝を次のように定義する。

$c_n$ ＝ $\displaystyle\sum_{k=1}^n (n-k+1)(a_k-b_k)$

$=n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots+2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n)$　$(n=1,2,3,\cdots)$

たとえば

$c_1=a_1-b_1$，$c_2=2(a_1-b_1)+(a_2-b_2)$

$c_3=3(a_1-b_1)+2(a_2-b_2)+(a_3-b_3)$

である。数列｛$c_n$｝の一般項を求めよう。

｛$c_n$｝の階差数列を｛$d_n$｝とする。$d_n$＝$c_{n+1}-c_n$ であるから，$d_n$ ＝ $\boxed{\text{セ}}$ を満たす。$\boxed{\text{セ}}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑦のうちから一つ選べ。

⓪ $S_n+T_n$　① $S_n-T_n$

② $-S_n+T_n$　③ $-S_n-T_n$

④ $S_{n+1}+T_{n+1}$　⑤ $S_{n+1}-T_{n+1}$

⑥ $-S_{n+1}+T_{n+1}$　⑦ $-S_{n+1}-T_{n+1}$

したがって，(1)と(2)により

$d_n$ ＝ $\boxed{\text{ソ}}n^2-2\cdot\boxed{\text{タ}}^{n+\boxed{\text{チ}}}$

である。$c_1$ ＝ $\boxed{\text{ツテト}}$ であるから，｛$c_n$｝の一般項は

$c_n$ ＝ $\boxed{\text{ナ}}n^3-\boxed{\text{ニ}}n^2+n+\boxed{\text{ヌ}}-\boxed{\text{タ}}^{n+\boxed{\text{ネ}}}$

である。