【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2018本試【解説・正解・問題】

第2問　解答・解説

ア 2　イウ エ －2 2　オ 1

カ キ ク ケ 3 3 3 1

コ 2　サ 3　シ ス セ 3 5 2

ソ 3　タチ －1　ツ 7　テ 4

トナ　ニ　ヌ　－6 2 2

(1)

$C$ を $x$ で微分すると

$y’=2px+q$

$y’$ は接線の傾きを表し，$C$ の点 A における接線 $\ell$ の傾きは 2。

・・・ア

これが $x=1$ を通るので

$2=2p+q$

$q=-2p+2$

・・・イウエ

これと $(1,1)$ を $C$ に代入すると

$1=p+(-2p+2)+r$

$r=1-p-(-2p+2)$

$=1-p+2p-2$

$=p-1$

・・・オ

(2)

(1)より $C$ は

$y=px^2+(-2p+2)x+p-1$

$=px^2-2(p-1)x+p-1$

面積 $S$ を求めると

$\displaystyle S=\int_1^v px^2-2(p-1)x+p-1-2x+1\space dx$

$\displaystyle =\int_1^v px^2-2px+p\space dx$

$\displaystyle =p\int_1^v x^2-2x+1\space dx$

$=p\Big[\cfrac{x^3}{3}-x^2+x\Big]_1^v$

$=p\Big\{\Big(\cfrac{v^3}{3}-v^2+v\Big)-\Big(\cfrac{1}{3}-1+1\Big)\Big\}$

$=p\Big(\cfrac{v^3}{3}-v^2+v-\cfrac{1}{3}\Big)$

$=\cfrac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)$

・・・カキクケ

面積 $T$ を求めると

$T$ は台形だから

$T=\cfrac{1}{2}(1+2v-1)(v-1)$

$=\cfrac{1}{2}2v(v-1)=v^2-v$

・・・コ

$U=S-T$ が $v=2$ で極値を取るとき

$U=\cfrac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)-v^2+v$

$=\cfrac{p}{3}v^3-(p+1)v^2+(p+1)v-1$

$U’=pv^2-2(p+1)v+p+1$

これが $v=2$ で極値を取るので

$4p-4(p+1)+p+1=0$

$p-3=0$

$p=3$

・・・サ

また，$v$ ＞ 1 の範囲で $U=0$ となるとき，$U$ に $p=3$ を代入して

$U=v^3-4v^2+4v-1=0$

ここから $v$ を求める。式は $v=1$ のとき左辺が 0 になるので，$(v-1)$ で割り切れる。組み立て除法を用いると

$\begin{aligned}1&&-4&&4&&-1&&|\underline{1}\\&&1&&-3&&1\\\hline 1&&-3&&1&&0\end{aligned}$

$(v-1)(v^2-3v+1)=0$

$v$ ＞ 1 より，$(v-1)$ ≠ 0 だから

$v^2-3v+1=0$

$v=\cfrac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\cfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$

$v$ ＞ 1 より

$v_0=\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

・・・シスセ

1 ＜ $v$ ＜ $\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ の範囲で $U$ の増減を調べると

$U’=3v^2-8v+4$

$=(3v-2)(v-2)$

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{c:c:c:c:c:c}v&1&\cdots&2&\cdots&\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\\hline U’&-&-&0&+&+\\\hline U&0&\searrow&-1&\nearrow&0\end{array}$

$v=2$ のとき

$U=8-16+8-1=-1$

したがって，1 ＜ $v$ ＜ $\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ の範囲で $U$ は常に負の値をとる。

・・・タチ

〔2〕

二等辺三角形の面積を求める。高さを求めると，三平方の定理より

$\sqrt{(t^2+1)^2-(t^2-1)^2}$

$=\sqrt{t^4+2t^2+1-t^4+2t^2-1}$

$=\sqrt{4t^2}$

$t$ ＞ 1 より

$=4t$

面積は

$W=\cfrac{1}{2}(2t^2-2)2t$

$=2t^3-2t$

また，$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分とすると，一般的に，$F'(x)=f(x)$ が成り立つ。

・・・ツ

また

$\displaystyle W=-\int_1^t f(x)\space dx=-F(t)+F(1)$

・・・テ

ここで，$F(1)$ は定数だから $F'(1)=0$ である。よって

$W’=-f(t)=6t^2-2$

したがって

$f(t)=-6t^2+2$

・・・トナニヌ

補足：たとえば $F(t)=t^2$ のとき $F(1)=1$ であり，1 を微分したら 0 になる。このように $t$ に具体的な数字を代入すると，その微分は 0 になる。しかし，$F'(t)=f(t)=2t$ だから，$f(1)=2$ となるはずであり，つじつまが合わないように見えるかもしれない。

微分の定義を振り返ると

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

であり，このとき分母は $x$ の変化量，分子は $y$ の変化量を表している。しかし，ある関数が実際には定数である場合，$f(t)$ のグラフは $x$ 軸に平行な直線であり，$f(a+h)$ と $f(a)$ は同じ値だから $f'(a)$ は 0 になる。つまり，$F'(t)=f(t)$ は成り立つが，$F'(1)=f(1)$ は成り立たない。

また，関数 $f(t)=2t$ を積分すると $F(t)=t^2+C$ ($C$ は積分定数) となる。これは $y=t^2$ のグラフを $y$ 軸方向に $C$ だけ平行移動したものである。これを微分することを考えると，微分とは接線の傾きを求めることであるから，グラフを $y$ 軸方向に平行移動しても接線の傾きは変わらない。同様に定積分 $\displaystyle\int_a^x f(t) dt$ は

$\displaystyle\int_a^x f(t) dt=F(x)-F(a)$

ここで $F(a)$ は定数であり，$x$ で微分すると

$\displaystyle\cfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)-0=f(x)$

となり，教科書で学習した。

第２問　問題文

〔1〕$p$ ＞ 0 とする。座標平面上の放物線 $y$ ＝ $px^2+qx+r$ を $C$ とし，直線 $y=2x-1$ を $\ell$ とする。$C$ は点A（1，1）において $\ell$ と接しているとする。

(1) $q$ と $r$ を，$p$ を用いて表そう。放物線 $C$ 上の点 A における接線 $\ell$ の傾きは $\boxed{\text{ア}}$ であることから，$q$ ＝ $\boxed{\text{イウ}} p+\boxed{\text{エ}}$ がわかる。さらに，$C$ は点 A を通ることから，$r$ ＝ $p-\boxed{\text{オ}}$ となる。

(2) $v$ ＞ 1 とする。放物線 $C$ と直線 $\ell$ および直線 $x=v$ で囲まれた図形の面積 $S$ は $S=\cfrac{p}{\boxed{\text{カ}}}(v^3-\boxed{\text{キ}}v^2+\boxed{\text{ク}}v-\boxed{\text{ケ}})$ である。また，$x$ 軸と $\ell$ および 2 直線 $x=1$，$x=v$ で囲まれた図形の面積 $T$ は，

$T=v^{\boxed{\text{コ}}}-v$ である。

$U$ ＝ $S$ － $T$ は $v$ ＝ 2 で極値をとるとする。このとき，$p$ ＝ $\boxed{\text{サ}}$ であり，$v$ ＞ 1 の範囲で $U$ ＝ 0 となる $v$ の値を $v_0$ とすると，$v_0$＝$\cfrac{\boxed{\text{シ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}$ である。1 ＜ $v$ ＜ $v_0$ の範囲で $U$ は $\boxed{\text{ソ}}$。$\boxed{\text{ソ}}$ に当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。

⓪ つねに増加する　① つねに減少する

② 正の値のみをとる　③ 負の値のみをとる

④ 正と負のどちらの値もとる

$p$ ＝ $\boxed{\text{サ}}$ のとき，$v$ ＞ 1 における $U$ の最小値は $\boxed{\text{タチ}}$ である。

〔2〕関数 $f(x)$ は $x$ ≧ 1 の範囲でつねに $f(x)$≦ 0 を満たすとする。$t$ ＞ 1 のとき，曲線 $y$ ＝ $f(x)$ と $x$ 軸および 2 直線 $x$ ＝ 1，$x$ ＝ $t$ で囲まれた図形の面積を $W$ とする。$t$ が $t$ ＞ 1 の範囲を動くとき，$W$ は，底辺の長さが $2t^2-2$，他の 2 辺の長さがそれぞれ $t^2+1$ の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき，$x$ ＞ 1 における $f(x)$ を求めよう。

$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分とする。一般に，$F′(x)$ ＝ $\boxed{\text{ツ}}$，$W$ ＝ $\boxed{\text{テ}}$
が成り立つ。$\boxed{\text{ツ}}$，$\boxed{\text{テ}}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑧のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。

⓪ $-F(t)$　① $F(t)$　② $F(t)-F(1)$

③ $F(t)+F(1)$　④ $-F(t)+F(1)$　⑤ $-F(t)-F(1)$

⑥ $-f(x)$　⑦ $f(x)$　⑧ $f(x)-f(1)$

したがって，$t$ ＞ 1 において

$f(t)$ ＝ $\boxed{\text{トナ}}\space t^{\boxed{\text{ニ}}}+\boxed{\text{ヌ}}$

である。よって，$x$ ＞ 1 における $f(x)$ がわかる。