【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2017追試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

アイ 12　ウ 2　エ 6　オ 4　カ キ 2 2

ク 2　ケ 2　コ 5

サ,シ,ス,セ,ソ　5,2,1,2,2

タ,チ,ツ,テ,ト 5,2,2,3,5

(1)

①を用いて，$a_3$ を求めると

$(1+1)a_3-(3\cdot1+2)a_2+2\cdot1\cdot a_1=4\cdot1+2$

$2a_3-5a_2+2a_1=6$

$2a_3-5\cdot4+2\cdot1=6$

$2a_3=24$

$a_3=12$

・・・アイ

(2)

①の左辺を変形する。問題文より $a_{n+1}$ の係数が，$n+1$ と $n$ に分かれているので，それに合わせて変形していくとよい。

$(n+1)a_{n+2}-(3n+2)a_{n+1}+2na_n$

$=(n+1)a_{n+2}-\{(2n+2)+n\}a_{n+1}+2na_n$

$=(n+1)a_{n+2}-2(n+1)a_{n+1}-na_n+2na_n$

$=(n+1)(a_{n+2}-2a_{n+1})-n(a_{n+1}-2a_n)$

・・・ウ

よって

$(n+1)(a_{n+2}-2a_{n+1})-n(a_{n+1}-2a_n)=4n+2$

ここで，$b_n=n(a_{n+1}-2a_{n+1})$ とおき，｛$b_n$｝の階差数列を求める。

$a_4$ を求めると

$(2+1)a_4-(3\cdot2+2)a_3+2\cdot2a_2=4\cdot2+2$

$3a_4-8a_3+4a_2=10$

$3a_4-8\cdot12+4\cdot4=10$

$3a_4=90$

$a_4=30$

これを用いて

$b_1=1\cdot(a_2-2a_1)$

$=4-2\cdot1=2$

$b_2=2(a_3-2a_2)$

$=2(12-2\cdot4)$

$=8$

$b_3=3(a_4-2a_3)$

$=3(30-2\cdot12)$

$=18$

$\begin{matrix}2&&8&&18\\&\widecheck{6}&&\widecheck{10}\end{matrix}$

階差数列の初項は 6，公差は 4 の等差数列である。

・・・エオ

一般項は

$6+(n-1)\cdot4=6+4n-4=4n+2$

・・・カキ

よって，｛$b_n$｝の一般項は，公式 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b^k$ を用いて

$n$ ≧ 2 のとき

$\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1} (4n+2)$

$=2+4\cdot\cfrac{1}{2}(n-1)n+2(n-1)$

$=2+2n^2-2n+2n-2$

$=2n^2$

これは，$n=1$ のときも成り立つ。

したがって

$n(a_{n+1}-2a_n)=2n^2$

$a_{n+1}-2a_n=\cfrac{1}{n}\cdot2n^2\cdots\cdots$②

また，式は $a_{n+1}-2a_n=2n$ となる。

次に，$c_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。｛$c_n$｝を求めるためには，②を利用することを考えて，漸化式を作るとよい。

$c_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$

$c_{n+1}-2c_n=a_{n+2}-a_{n+1}-2a_{n+1}+2a_n$

$=a_{n+2}-2a_{n+1}-(a_{n+1}-2a_n)$

②より，$a_{n+2}-2a_{n+1}=2(n+1)=2n+2$ となるので

$c_{n+1}-2c_n=2n+2-2n=2$

・・・ク

式を変形すると

$c_{n+1}=2c_n+2$

$c_{n+1}+2=2c_n+4$

$c_{n+1}+2=2(c_n+2)$

・・・ケ

｛$c_n+2$｝の初項を求めると

$c_1+2=a_2-a_1+2=4-1+2=5$

よって，｛$c_n+2$｝は初項 5，公比 2 の等比数列。

・・・コ

一般項は

$c_n+2=5\cdot2^{n-1}$

$c_n=5\cdot2^{n-1}-2$

$a_{n+1}-a_n=5\cdot2^{n-1}-2$

これは ｛$a_n$｝の階差数列を表す。

$n$ ≧ 2 のとき

$\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} (5\cdot2^{k-1}-2)$

$5\cdot2^{k-1}$ は初項 5，公比 2 の等比数列だから，和の公式 $\cfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ を用いて

$a_n=1+\cfrac{5(2^{n-1}-1)}{2-1}-2(n-1)$

$=1+5\cdot2^{n-1}-5-2n+2$

$=5\cdot2^{n-1}-2n-2$

・・・サシスセソ

また，$S_n$ は

$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (5\cdot2^{k-1}-2k-2)$

$=\cfrac{5(2^n-1)}{2-1}-2\cdot\cfrac{1}{2}n(n+1)-2n$

$=5\cdot2^n-5-n^2-n-2n$

$=5\cdot2^n-n^2-3n-5$

・・・タチツテト

第3問　問題文

次の(I), (II)で定められる数列 $\{a_n\}$ を考える。

(I) $a_1=1$, $a_2=4$

(II) $n=1,2,3,\cdots$ に対して

$(n+1)a_{n+2}-(3n+2)a_{n+1}+2na_n=4n+2\cdots\cdots$①

である。

(1) $a_3=\boxed{\text{アイ}}$ である。

(2) $\{a_n\}$ の一般項, および初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよう。

①の左辺は

$(n+1)a_{n+2}-(3n+2)a_{n+1}+2na_n$

$=(n+1)(a_{n+2}-\boxed{\text{ウ}}a_{n+1})-n(a_{n+1}-\boxed{\text{ウ}}a_n)$

となる。よって

$(n+1)(a_{n+2}-\boxed{\text{ウ}}a_{n+1})-n(a_{n+1}-\boxed{\text{ウ}}a_n)=4n+2$

である。したがって, $b_n=n(a_{n+1}-\boxed{\text{ウ}}a_n)$ とおくと, $\{b_n\}$ の階差数列は初項 $\boxed{\text{エ}}$, 公差 $\boxed{\text{オ}}$ の等差数列で あり, $\{b_n\}$ の一般項は $b_n=\boxed{\text{カ}}n^{\boxed{\text{キ}}}$ である。ゆえに

$a_{n+1}-\boxed{\text{ウ}}a_n=\cfrac{1}{n}\cdot\boxed{\text{カ}}n^{\boxed{\text{キ}}}\cdots\cdots$②

を得る。

$c_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと, ②から, $c_{n+1}-\boxed{\text{ウ}}c_n=\boxed{\text{ク}}$ である。$c_{n+1}+\boxed{\text{ケ}}=\boxed{\text{ウ}}(c_n+\boxed{\text{ケ}})$ により, 数列 $\{c_n+\boxed{\text{ケ}})$ は初項$\boxed{\text{コ}}$, 公比$\boxed{\text{ウ}}$ の等比数列である。

したがって, $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n=\boxed{\text{サ}}\cdot\boxed{\text{シ}}^{\boxed{\text{ス}}}-\boxed{\text{セ}}n-\boxed{\text{ソ}}$

である。ただし, $\boxed{\text{ス}}$ については, 当てはまるものを, 次の⓪~④のうちから一つ選べ。

⓪ $n-2$　① $n-1$　② $n$

③ $n+1$　④ $n+2$

また, $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$S_n=\boxed{\text{タ}}\cdot\boxed{\text{チ}}^{\boxed{\text{ツ}}}-n^2-\boxed{\text{チ}}n-\boxed{\text{ト}}$ である。ただし, $\boxed{\text{ツ}}$ については, 当てはまるものを, 次の⓪~④のうちから一つ選べ。

⓪ $n-2$　① $n-1$　② $n$

③ $n+1$　④ $n+2$