共テ・センター数学

【センター過去問】数学IIB2017追試【問題・解答・解説】

解答・解説

ア イ 1 2 ウ 6 エ,オ,カ キ 3, 6, 2 3

ク 3 ケ 2 コ,サ 3, 3

シ ス セ 2 3 3 ソタ 12 チ 4 ツ 0

テ,ト 0,2 ナ 0 ニ ヌ ネ 5 2 1

ノ ハ 2 5 ヒ フ 5 2

〔1〕

ad

(1)

公式 $\sin^2x+\cos^2x=1$ より,①は

$2\{1-\sin^2(\beta-\alpha)\}=3\sin(\beta-\alpha)$

$2(1-t^2)=3t$

$2t^2+3t-2=0$

$(t+2)(2t-1)=0$

$t=-2$,$\cfrac{1}{2}$

ここで

-1 ≦ $\sin(\beta-\alpha)$ ≦ 1

-1 ≦ $t$ ≦ 1

だから

$t=\cfrac{1}{2}$

・・・アイ

よって

$\sin(\beta-\alpha)=\cfrac{1}{2}$

$\beta-\alpha=\cfrac{\pi}{6}$

・・・ウ

ad

(2)

$\beta-\alpha=\cfrac{\pi}{6}$ を変形すると $\beta=\alpha+\cfrac{\pi}{6}$ だから

$y=4\sin^2\beta-4\cos^2\alpha$

$=4\sin^2\Big(\alpha+\cfrac{\pi}{6}\Big)-4\cos^2\alpha$

ここで, 加法定理より

$\sin\Big(\alpha+\cfrac{\pi}{6}\Big)=\sin\alpha\cos\cfrac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\cfrac{\pi}{6}$

$=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\cfrac{1}{2}\cos\alpha$

よって

$\sin^2\Big(\alpha+\cfrac{\pi}{6}\Big)=\Big(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\cfrac{1}{2}\cos\alpha\Big)^2$

$=\cfrac{3}{4}\sin^2\alpha+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\cos\alpha+\cfrac{1}{4}\cos^2\alpha$

これを $y$ の式に代入すると

$y=4\Big\{\cfrac{3}{4}\sin^2\alpha+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\cos\alpha+\cfrac{1}{4}\cos^2\alpha\Big\}-4\cos^2\alpha$

$=3\sin^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-4\cos^2\alpha$

$=3(1-\cos^2\alpha)+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-4\cos^2\alpha$

$3-3\cos^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-4\cos^2\alpha$

$=3-6\cos^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha\cdots\cdots$②

・・・エオカキ

$y=3$ になるとき

$3-6\cos^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha=3$

$-6\cos^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha=0$

$3\cos^2\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha=0$

$\cos\alpha(3\cos\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha)=0$

$\cos\alpha=0$,$3\cos\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha=0$

ここで,$\cos\alpha=0$ とすると $\alpha=\cfrac{\pi}{2}$ となる。よって,$\beta=\cfrac{\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}$ ≧ $\cfrac{\pi}{2}$ となるため,不適。

したがって,$3\cos\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha=0$

$3\cos\alpha=\sqrt{3}\sin\alpha$

$\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\cfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

$\tan\alpha=\sqrt{3}$

$\alpha=\cfrac{\pi}{3}$

・・・ク

よって $\beta=\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}$

・・・ケ

(3)

半角の公式と2倍角の公式

$\cos^2x=\cfrac{1+\cos2x}{2}$,$\sin2x=2\sin x\cos x$

を用いて②を変形すると

$y=3-6\cos^2\alpha+2\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha$

$=3-6\Big(\cfrac{1+\cos2\alpha}{2}\Big)+\sqrt{3}\sin2x$

$=3-3-3\cos2\alpha+\sqrt{3}\sin2x$

$=\sqrt{3}\sin2\alpha-3\cos2\alpha$

・・・コサ

さらに,三角関数の合成の公式 $a\sin x+b\cos x=r\sin(x+\alpha)$ を用いて

$\sqrt{3}$:3=3:$3\sqrt{3}$=1:$\sqrt{3}$ だから

$y=2\sqrt{3}\sin\Big(2\alpha-\cfrac{\pi}{3}\Big)$

・・・シスセ

また,$y=-\sqrt{3}$ のとき

$2\sqrt{3}\sin\Big(2\alpha-\cfrac{\pi}{3}\Big)=-\sqrt{3}$

$\sin\Big(2\alpha-\cfrac{\pi}{3}\Big)=-\cfrac{1}{2}$

ここで

0 ≦ $\alpha$ ≦ $\cfrac{\pi}{2}$

0 ≦ $2\alpha$ ≦ $\pi$

$-\cfrac{\pi}{3}$ ≦ $2\alpha-\cfrac{\pi}{3}$ ≦ $\cfrac{2}{3}\pi$

$\sin$ の値が $-\sqrt{3}$ となるのは第3象限と第4象限だが,これにより第4象限であることが分かる。

$2\alpha-\cfrac{\pi}{3}=-\cfrac{\pi}{6}$

$2\alpha=\cfrac{\pi}{6}$

$\alpha=\cfrac{\pi}{12}$

・・・ソタ

また,$\beta=\alpha+\cfrac{\pi}{6}$ より

$\beta=\cfrac{\pi}{12}+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{4}$

・・・チ

〔2〕

(1)

真数条件(真数は正の値)より

$3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x$ > 0

$3^x$ > $\cfrac{1}{3^x}$

$3^{2x}$ > 1

$9^x$ > 1

$x$ > 0

・・・ツ

同様に,$y$ > 0

次に,$x$ < $y$ のとき

$3^x$ < $3^y$

・・・テ

また,$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x=\cfrac{1}{3^x}$,$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^y=\cfrac{1}{3^y}$ だから

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x$ > $\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^y$

・・・ト

上の不等式を足すと

$3^x+\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^y$ < $3^y+\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x$

$3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x$ < $3^y-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^y$

したがって,$p$ < $q$

・・・ナ

(2)

$x=\log_34$ のとき,$3^x=4$ だから

$p=\log_3\Big(4-\cfrac{1}{4}\Big)$

$=\log_3\cfrac{15}{4}$

$=\log_315-\log_34$

$=\log_3(3\cdot5)-\log_32^2$

$=\log_33+\log_35-2\log_32$

$=\log_35-2\log_32+1$

・・・ニヌネ

また,$p=\log_34$ のとき

$3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x=4$

$\cfrac{3^{2x}-1}{3^x}=4$

$3^{2x}-1=4\cdot3^x$

$3^{2x}-4\cdot3^x-1=0$

$3^x=t$ とおくと

$t^2-4t-1=0$

$t=2\pm\sqrt{4+1}=2\pm\sqrt{5}$

$3^x=2\pm\sqrt{5}$

$x$ > 0 より

$3^x=2+\sqrt{5}$

$x=\log_3(2+\sqrt{5})$

・・・ノハ

(3)

$y=2x-1$,$q=2p-1$ を $q$ の式に代入すると

$2\log_3\Big\{3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\Big\}-1=\log_3\Big\{3^{2x-1}-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}\Big\}$

$\log_3\Big\{3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\Big\}^2=\log_3\Big\{3^{2x-1}-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}\Big\}+1$

$\log_3\Big\{3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\Big\}^2=\log_3\Big\{3^{2x-1}-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}\Big\}+\log_3 3$

$\log_3\Big\{3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\Big\}^2=\log_33\Big\{3^{2x-1}-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}\Big\}$

$\log_3\Big\{3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\Big\}^2=\log_3\Big\{3^{2x}-3\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}\Big\}$

$\Big\{3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\Big\}^2=3^{2x}-3\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}$

$3^{2x}-2\cdot3^x\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{x}+\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x}=3^{2x}-3\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}$

$-2\cdot3^x\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{x}+\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x}=-3\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}$

$3\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x-1}+\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x}=2$

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x}\Big\{3\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{-1}+1\Big\}=2$

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x}(3\cdot3+1)=2$

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x}\cdot10=2$

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2x}=\cfrac{1}{5}$

$\cfrac{1}{3^{2x}}=\cfrac{1}{5}$

$3^{2x}=5$

$2x=\log_3 5$

$x=\cfrac{\log_35}{2}$

・・・ヒフ

第1問 問題文

〔1〕$0\leqq a\leqq \cfrac{\pi}{2}$, $0\leqq\beta\leqq\cfrac{\pi}{2}$ および関係式

$2\cos^2(\beta-\alpha)=3\sin(\beta-\alpha)\cdots\cdots$①

を満たす $\alpha,\beta$ に対して, $y=4\sin^2\beta-4\cos^2 \alpha$ とおく。

(1) $t=\sin(\beta-\alpha)$ とおくと, ①から $t=\cfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ であることがわかる。

$0\leqq\alpha\leqq\cfrac{\pi}{2}$, $0\leqq\beta\leqq\cfrac{\pi}{2}$ であるから, $\beta-\alpha=\cfrac{\pi}{\boxed{\text{ウ}}}$ である。

(2) (1)により $\beta=\alpha+\cfrac{\pi}{\boxed{\text{ウ}}}$ であるから, 加法定理を用いて, $y$ を $\alpha$ で表すと

$y=\boxed{\text{エ}}-\boxed{\text{オ}}\space\cos^2\alpha+\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\space\sin\alpha\cos\alpha\cdots$②

となる。このことから, $y=\boxed{\text{エ}}$ となるのは, $a=\cfrac{\pi}{\boxed{\text{ク}}}$, $\beta=\cfrac{\pi}{\boxed{\text{ケ}}}$ のときである。

(3) 2倍角の公式を用いると, ②は

$y=\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\space\sin2\alpha-\boxed{\text{サ}}\cos2\alpha$

となる。さらに, 三角関数の合成を用いると

$y=\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}\sin\Big(2\alpha-\cfrac{\pi}{\boxed{\text{セ}}}\Big)$

と変形できる。このことから, $y=-\sqrt{3}$ となるのは, $\alpha=\cfrac{\pi}{\boxed{\text{ソタ}}}$, $\beta=\cfrac{\pi}{\boxed{\text{チ}}}$ のときである。

〔2〕$p,q,x,y$ は実数とし, 関係式

$p=\log_3\Big\{3^x-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\Big\}$, $q=\log_3\Big\{3^y-\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^y\Big\}$

を満たすとする。

(1) 真数の条件により, $x\gt\boxed{\text{ツ}}$, $y\gt\boxed{\text{ツ}}$ である。ただし, 対数 $log_a b$ に対し, $a$ を底といい, $b$ を真数という。

また, $x\lt y$ であるとき

$3^x\boxed{\text{テ}}3^y$, $\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^x\boxed{\text{ト}}\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^y$, $p\boxed{\text{ナ}}q$

が成り立つ。$\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}}$ に当てはまるものを, 次の⓪~②のうちから一つずつ選べ。ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。

⓪ $\lt$ ① $=$ ② $\gt$

(2) $x=\log_3 4$ のとき, $p=\log_3\boxed{\text{ニ}}-\boxed{\text{ヌ}}\log_3 2+\boxed{\text{ネ}}$ であ る。また, $p=\log_3 4$のとき, $x=\log_3\Big(\boxed{\text{ノ}}+\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}\Big)$ である。

(3) 関係式 $y=2x-1$, $q=2p-1$ が成り立つとき, $x=\cfrac{\log_3\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}$ である。

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