【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2017本試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア 8　イ 7　ウ a　エ オ カ キ a a b a

ク ケ 3 2　コ 4　サシ 16　ス,セ 1,1

ソ タ チ,ツ 3 2 9, 2　テト ナ 32 9

(1)

数列｛$s_n$｝は，初項 1，公比 2 の等比数列だから

$s_1=1$，$s_2=2$，$s_3=4$

したがって

$s_1s_2s_3=1\cdot2\cdot4=8$

$s_1+s_2+s_3=1+2+4=7$

・・・アイ

(2)

｛$s_n$｝は初項 $x$，公比 $r$ のの等比数列だから

$s_1=x$，$s_2=xr$，$s_3=xr^2$

よって，①は

$x\cdot xr\cdot xr^2=a^3$

$x^3r^3=a^3$

$xr=a\cdots\cdots$③

・・・ウ

また，②は

$x+xr+xr^2=b$

③より，$x=\cfrac{a}{r}$ を代入して

$\cfrac{a}{r}+a+ar=b$

両辺を $r$ 倍すると

$a+ar+ar^2=0$

$ar^2+(a-b)r+a=0\cdots\cdots$④

・・・エオカキ

④を満たす実数 $r$ が存在するので，④を $r$ について解くと，$r$ は実数解を持つ。よって，判別式を作ると

$D=(a-b)^2-4a^2$ ≧ 0

$a^2-2ab+b^2-4a^2$ ≧ 0

$-3a^2-2ab+b^2$ ≧ 0

$3a^2+2ab-b^2$ ≦ 0 $\cdots\cdots$⑤

・・・クケ

(3)

$a=64$，$b=336$ と③④より

③に代入して

$xr=64$

式を変形して

$r=\cfrac{64}{x}$

また $a,b,r$ の値を④に代入すると

$64\cdot\cfrac{64^2}{x^2}-272\cdot\cfrac{64}{x}+64=0$

両辺を 64 で割ると

$\cfrac{64^2}{x^2}-\cfrac{272}{x}+1=0$

両辺に $x^2$ をかけると

$x^2-272x+64^2=0$

方程式を解くと

$x=136\pm\sqrt{136^2-64^2}$

$=136\pm\sqrt{(136+64)(136-64)}$

$=136\pm\sqrt{200\cdot72}$

$=136\pm\sqrt{14400}$

$=136\pm\sqrt{120^2}$

$=136\pm120$

$x$＝16，256

$r$ ＞ 1 より，$x$＝16 として

$r=\cfrac{64}{16}=4$

$r$ ＝ 4，$x$ ＝ 16

・・・コサシ

次に，｛$t_n$｝を求める。

｛$s_n$｝は初項 16，公比 4 の等比数列だから，一般項を求めると

$s_n=16\cdot4^{n-1}=4^2\cdot4^{n-1}=4^{n+1}$

これを $t_n=s_n\log_4s_n$ に代入すると

$t_n=4^{n+1}\log_44^{n+1}$

$=(n+1)\cdot4^{n+1}\log_44$

$=(n+1)\cdot4^{n+1}$

・・・スセ

また，｛$U_n$｝を求めると

$U_n-4U_n=\{2\cdot4^2+3\cdot4^3+4\cdot4^4+\cdots+(n+1)4^{n+1}\}-\{2\cdot4^3+3\cdot4^4+4\cdot4^5+\cdots+n\cdot4^{n+1}+(n+1)4^{n+2}$

$=2\cdot4^2+4^3+4^4+\cdot+4^{n+1}-(n+1)4^{n+2}$

$=32-(n+1)\cdot4^{n+2}+(4^3+4^4+\cdots+4^{n+1})$

$\displaystyle=32-(n+1)\cdot4^{n+2}+\sum_{k=3}^{n+1}4^k$

ここで，$\displaystyle\sum_{k=3}^{n+1}4^k$ を求める。$k=3$ では求めることができないので，$k=1$ として，$4^1$ と $4^2$ を引くとよい。

$\displaystyle\sum_{k=3}^{n+1}4^k=\sum_{k=1}^{n+1}4^k-4^1-4^2=\sum_{k=1}^{n+1}-20$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}4^k$ は初項 4，公比 4 の等比数列の和だから，公式 $\cfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ を用いて

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}4^k-20=\cfrac{4(4^{n+1}-1)}{4-1}-20$

$=\cfrac{1}{3}4^{n+2}-\cfrac{4}{3}-20$

よって，$U_n-4U_n=-3U_n$ は

$-3U_n=32-(n+1)\cdot4^{n+2}+\cfrac{1}{3}4^{n+2}-\cfrac{4}{3}-20$

$=-(n+1)\cdot4^{n+2}+\cfrac{1}{3}4^{n+2}+\cfrac{32}{3}$

$U_n=\cfrac{n+1}{3}\cdot4^{n+2}-\cfrac{1}{9}4^{n+2}-\cfrac{32}{9}$

$=\cfrac{3n+3-1}{9}\cdot4^{n+2}-\cfrac{32}{9}$

$=\cfrac{3n+2}{9}\cdot4^{n+2}-\cfrac{32}{9}$

・・・ソタチツテトナ

第3問　問題文

以下において考察する数列の項は, すべて実数であるとする。

(1) 等比数列 $\{s_n\}$ の初項が 1, 公比が 2 であるとき

$s_1s_2s_3=\boxed{\text{ア}}$, $s_1+s_2+s_3=\boxed{\text{イ}}$

である。

(2) $\{s_n\}$ を初項 $x$, 公比 $r$ の等比数列とする。$a,b$ を実数(ただし $a\not=0$)とし, $\{s_n\}$ の最初の 3 項が

$s_1s_2s_3=a^3\cdots\cdots$①

$s_1+s_2+s_3=b\cdots\cdots$②

を満たすとする。このとき

$xr=\boxed{\text{ウ}}\cdots\cdots$③

である。さらに, ②, ③を用いて $r, a,b$ の満たす関係式を求めると

$\boxed{\text{エ}}r^2+(\boxed{\text{オ}}-\boxed{\text{カ}})r+\boxed{\text{キ}}=0\cdots\cdots$④

を得る。④を満たす実数 $r$ が存在するので

$\boxed{\text{ク}}a^2+\boxed{\text{ケ}}ab-b^2\leqq0\cdots\cdots$⑤

である。

逆に, $a,b$ が ⑤ を満たすとき, ③, ④ を用いて, $x$ の値を求めることができる。

(3) $a=64$, $b=336$ のとき, (2)の条件①, ②を満たし, 公比が $1$ より大きい等比数列 $\{s_n\}$ を考える。③, ④を用いて $\{s_n\}$ の公比 $r$ と初項 $x$ を求めると, $r=\boxed{\text{コ}}$, $x=\boxed{\text{サシ}}$ である。

$\{s_n\}$ を用いて, 数列 $\{t_n\}$ を

$t_n=s_n\log_{\boxed{\text{コ}}}s_n$ $(n=1,2,3,\dots)$

と定める。このとき, $\{t_n\}$ の一般項は $t_n=(n+\boxed{\text{ス}})\cdot\boxed{\text{コ}}^{n+\boxed{\text{セ}}}$ ある。$\{t_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $U_n$ は, $U_n-\boxed{\text{コ}}U_n$ を計算することにより

$U_n=\cfrac{\boxed{\text{ソ}}n+\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}\cdot\boxed{\text{コ}}^{n+\boxed{\text{ツ}}}-\cfrac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}$

であることがわかる。