【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2016追試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア イ 2 6　ウ 4　エオ 17　カ キ 3 1

ク ケ コ 6 5 1　サシ ス セ 12 4 1

ソタ 74　チツ テト ナニ 32 32 10

(1)

$y=3x$ と $y=-3x+12k$ を連立して

$3x=-3x+12k$

$x=2k$

$y=3x$ に代入して

$y=3\cdot2k=6k$

よって，交点は $(2k,6k)$

・・・アイ

また $y=-3x+12k$ と $x$ 軸の交点を求めると

$0=-3x+12k$

$x=4k$

よって，交点は $(4k,0)$

・・・ウ

$k=1$ のとき

格子点の個数を数えると

$1+4+7+4+1=17$ 個

・・・エオ

よって，$x$ 座標が $j$ である点は $(3j+1)$ 個ある。

・・・カキ

よって，$q$ は

$\displaystyle q=\sum_{j=0}^{2k} (3j+1)$

と表せる。しかし，$j=0$ のとき， $\sum$ の公式を用いることができない。そこで，$j=0$ のとき $3j+1=1$ であることを用いて，式を書き換えるとよい。

$\displaystyle q=1+\sum_{j=1}^{2k}(3j+1)$

$=1+3\cdot\cfrac{1}{2}\cdot2k(2k+1)+2k$

$=1+6k^2+3k+2k$

$=6k^2+5k+1$

・・・クケコ

次に $p$ を考える。$x$ 座標が $(2k+1)$ 以上 $4k$ 以下である点の個数は，$q$ から $x$ 座標が $(2k+1)$ のときの個数を引けばよい。これを $q$ に加えると

$p=q+q-2k-1$

$=2q-2k-1$

$=2(6k^2+5k+1)-6k-1$

$=12k^2+4k+1$

・・・サシスセ

(2)

$(x,y,z)$ の個数 $r$ は，(1)をもとにして格子点の個数を数えることで求められる。

1 ≦ $z$ ≦ 2 のとき，$r$ は $z=1$ のときの個数と，$z=2$ のときの個数を合計したものである。よって

$\displaystyle r=\sum_{z=1}^2 (12z^2+4z+1)$

$=12\cdot\cfrac{1}{6}\cdot2(2+1)(2\cdot2+1)+4\cdot\cfrac{1}{2}\cdot2(2+1)+2$

$=74$

・・・ソタ

また，自然数 $n$ に対して 1 ≦ $z$ ≦ $2n$ だから，上と同様に

$r=\displaystyle\sum_{z=1}^{2n} 12z^2+4z+1$

$=12\cdot\cfrac{1}{6}2n(2n+1)(2\cdot2n+1)+4\cdot\cfrac{1}{2}\cdot2n(2n+1)+2n$

$=4n(2n+1)(4n+1)+4n(2n+1)+2n$

$=4n(8n^2+2n+4n+1)+8n^2+4n+2n$

$=32n^3+8n^2+16n^2+4n+8n^2+4n+2n$

$=32n^3+32n^2+10n$

・・・チツテトナニ

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第3問　問題文

(1) 座標平面上で, $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を格子点という。

$k$ を自然数とする。座標平面上で, 三つの不等式

$y$ ≧ 0, $y$ ≦ $3x$, $y$ ≦ $-3x+12$

によって表される領域を $D$ とする。領域 $D$ に含まれる格子点の個数を求めよう。

領域 $D$ は 3 点 $(0,0)$, $(\boxed{\text{ア}}k,\enspace\boxed{\text{イ}}k)$, $(\boxed{\text{ウ}}k,\enspace 0)$ を頂点とする三角形の周および内部である。

$k=1$ のとき, $D$ に含まれる格子点の個数は $\boxed{\text{エオ}}$ 個である。

一般に, 自然数 $k$ に対し, $D$ に含まれる格子点の個数を $p$ を $k$ を用いて表そう。整数 $j$ が 0 ≦ $j$ ≦ $\boxed{\text{ア}}k$ を満たすとき, $D$ に含まれる格子点で $x$ 座標が $j$ である点は $(\boxed{\text{カ}}j+ \boxed{\text{キ}})$ 個ある。したがって, $D$ に含まれる格子点で $x$ 座標が $0$ 以上 $\boxed{\text{ア}}k$ 以下である点の個数 $q$ を $k$ を用いて表すと

$q=\boxed{\text{ク}}k^2+\boxed{\text{ケ}}k+\boxed{\text{コ}}$

である。

さらに, $D$ に含まれる格子点で $x$ 座標が $(\boxed{\text{ア}}k+1)$ 以上 $\boxed{\text{ウ}}k$ 以下である点の個数を求めて $q$ に加えれば $p$ が求まり

$p=\boxed{\text{サシ}}k^2+\boxed{\text{ス}}k+\boxed{\text{セ}}$

である。

(2) $n$ を自然数とする。四つの不等式

$y$ ≧ 0, $y$ ≦ $3x$, $y$ ≦ $-3x+12z$, $1$ ≦ $z$ ≦ $2n$

を満たす整数の組 $(x,y,z)$ の個数 $r$ を求めよう。

$n=1$ のとき, 1 ≦ $z$ ≦ 2 であるから, (1)により $r=\boxed{\text{ソタ}}$ である。

一般に, 自然数 $n$ に対し, $r$ を $n$ を用いて表すと

$r=\boxed{\text{チツ}}n^3+\boxed{\text{テト}}n^2+\boxed{\text{ナニ}}n$

である。