共テ・センター数学

【センター過去問】数学IIB2016追試【問題・解答・解説】

第1問 解答・解説

ア 0 イ 2 ウ 5 エ オ 1 8

カ キ ク 4 1 2 ケ 2 コ 4 サ 8

シ ス 8 2 セ 4 ソ タ チ 4 2 3

ツ 3 テ ト,ナ 4 3, 1 ニ ヌ 4 3

ネ ノ 8 6 ハ ヒ 3 2 フ ヘ ホ 3 7 4

〔1〕

$s=\log_2x$ とすると,$x$ が 1 より小さい値のとき,$s$ は負の値をとる。したがって,$x$ > 1 のとき $s$ > 0

・・・ア

また,$A=x\sqrt{y}$ より

$\log_2 A=\log_2 x\sqrt{y}$

$=\log_2 x+\log_2 y^{\small{\frac{1}{2}}}$

$=\log_2x+\cfrac{1}{2}\log_2y$

$=s+\cfrac{t}{2}\cdots\cdots$②

・・・イ

底の変換公式より

$\log_4 x=\cfrac{\log_2 x}{\log_2 4}$

$=\cfrac{\log_2x}{2}=\cfrac{1}{2}s\cdots\cdots$③

・・・ウ

①の両辺の対数をとると

$\log_2(2y)^{\small{\frac{s}{2}}}=\log_2 16$

$\cfrac{s}{2}(\log_22+\log_2y)=4$

$s(t+1)=8\cdots\cdots$④

これを変形して

$t+1=\cfrac{8}{s}$

$t=\cfrac{8}{s}-1$

②に代入して

$\log_2A=s+\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{8}{s}-1\Big)$

$=s+\cfrac{4}{s}-\cfrac{1}{2}$

・・・カキク

$\log_2 A$ の最小値を求めると,相加・相乗平均 $a+b$ ≧ $2\sqrt{ab}$ より

$s+\cfrac{4}{s}$ ≧ $2\sqrt{s\cdot\cfrac{4}{s}}$

$s+\cfrac{4}{s}$ ≧ $2\sqrt{4}$

$s+\cfrac{4}{s}$ ≧ 4

等号が成り立つのは $s=\cfrac{4}{s}$ のときだから

$s^2=4$

$s$ > 0 より

$s=2$

したがって,$s$ の最小値は 2

・・・ケ

$2=\log_2 x$

$x=4$

また,$t=\cfrac{8}{2}-1=3$ より

$3=\log_2 y$

$y=8$

したがって,$A$ は $x=4$,$y=8$ で最小値

$A=x\sqrt{y}=4\sqrt{8}=8\sqrt{2}$

をとる。

・・・コサシス

〔2〕

ad

(1)

$C:x^2+y^2=4\cdots\cdots$⑤

・・・セ

Q の座標は

$x=\cfrac{4+2s}{2+1}=\cfrac{4+2s}{3}$

$y=\cfrac{3+2t}{2+1}=\cfrac{3+2t}{3}$

・・・ソタチツ

P$(s,t)$ は 円 $C$ 上の点だから,$s^2+t^2=4$ が成り立つ。式を変形して

$x=\cfrac{4+2s}{3}$

$3x=4+2s$

$s=\cfrac{3x-4}{2}$

また

$y=\cfrac{3+2t}{3}$

$3y=3+2t$

$t=\cfrac{3y-3}{2}$

よって

$\Big(\cfrac{3x-4}{2}\Big)^2+\Big(\cfrac{3y-3}{2}\Big)^2=4$

$\Big\{\cfrac{3}{2}\Big(x-\cfrac{4}{3}\Big)\Big\}^2+\Big\{\cfrac{3}{2}(y-1)\Big\}^2=4$

$\cfrac{9}{4}\Big\{\Big(x-\cfrac{4}{3}\Big)^2+(y-1)^2\Big\}=4$

$\Big(x-\cfrac{4}{3}\Big)^2+(y-1)^2=\cfrac{16}{9}$

$\Big(x-\cfrac{4}{3}\Big)^2+(y-1)^2=\Big(\cfrac{4}{3}\Big)^2\cdots\cdots$⑥

・・・テトナニヌ

ad

(2)

⑥を展開すると

$x^2-\cfrac{8}{3}x+\cfrac{16}{9}+y^2-2y+1=\cfrac{16}{9}$

⑤と連立して,引くと

$-\cfrac{8}{3}x+\cfrac{16}{9}-2y+1=\cfrac{16}{9}-4$

$-\cfrac{8}{3}x-2y=-5$

したがって

$\ell:8x+6y=15$

・・・ネノ

次に,点と直線の距離の公式 $d=\cfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を用いて O と $\ell$ の距離を求める。$\ell$ を変形して

$8x+6y-15=0$

O の座標は (0,0) だから

$d=\cfrac{|8\cdot0+6\cdot0-15|}{\sqrt{8^2+6^2}}$

$=\cfrac{15}{\sqrt{100}}=\cfrac{15}{10}=\cfrac{3}{2}$

・・・ハヒ

さらに,面積 $S$ を求める。下の図のように直角三角形を作り,三平方の定理を用いて長さを求めるとよい。

$\sqrt{2^2-\Big(\cfrac{3}{2}\Big)^2}=\sqrt{4-\cfrac{9}{4}}$

$=\sqrt{\cfrac{7}{4}}=\cfrac{\sqrt{7}}{2}$

したがって

$S=\cfrac{1}{2}\cdot2\cdot\cfrac{\sqrt{7}}{2}\cdot\cfrac{3}{2}=\cfrac{3\sqrt{7}}{4}$

・・・フヘホ

ad

第1問 問題文

〔1〕$x\gt1$, $y\gt0$ の範囲にある $x,y$ が

$(2y)^{\log_4 x}=16\cdots\cdots$①

を満たすとき, $A=x\sqrt{y}$ の最小値を求めよう。

$s=\log_2x$,$t=\log_2y$ とおく。$x$ が $x\gt1$ の範囲にあるとき, $s$ のとり得る値の範囲は $s\gt\boxed{\text{ア}}$ である。また, $\log_2 A$ を $s$ と $t$ を用いて表すと

$\log_2 A=s+\cfrac{t}{\boxed{\text{イ}}}\cdots\cdots$②

である。

底の変換公式により

$\log_4x=\boxed{\text{ウ}}s\cdots\cdots$③

が成り立つ。$\boxed{\text{ウ}}$ に当てはまるものを, 次の⓪~⑦のうちから一つ選べ。

⓪ $-\cfrac{1}{4}$ ① $-\cfrac{1}{2}$

② $-2$ ③ $-4$

④ $\cfrac{1}{4}$ ⑤ $\cfrac{1}{2}$

⑥ $2$ ⑦ $4$

①の両辺の 2 を底とする対数をとると, ③により

$s(t+\boxed{\text{エ}})=\boxed{\text{オ}}\cdots\cdots$④

が成り立つ。②, ④ により, $\log_2 A$ を $s$ を用いて表すと

$\log_2 A = s+\cfrac{\boxed{\text{カ}}}{s}-\cfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$

となる。

$s\gt\boxed{\text{ア}}$ であることに注意すると, $\log_2 A$ は $s=\boxed{\text{ケ}}$ のとき最小値をとることがわかる。

したがって, $A$ は $x=\boxed{\text{コ}}$, $y=\boxed{\text{サ}}$ のとき,最小値をとる。

〔2〕座標平面上に原点 O を中心とする半径 2 の円 $C$ と点 A$(4,3)$がある。

(1) 点 P が $C$ 上を動くとき, 線分 AP を 2 : 1 に内分する点 Q の軌跡を求めよう。

円 $C$ の方程式は

$x^2+y^2=\boxed{\text{セ}}\cdots\cdots$⑤

である。P の座標を $(s,t)$, Q の座標を $(x,y)$ とすると, Q は AP を 2 : 1 に内分するので

$x=\cfrac{\boxed{\text{ソ}}+\boxed{\text{タ}}s}{\boxed{\text{チ}}}$, $y=\cfrac{\boxed{\text{ツ}}+\boxed{\text{タ}}t}{\boxed{\text{チ}}}$

が成り立つ。よって, $x, y$ は

$\bigg(x-\cfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\bigg)^2+(y-\boxed{\text{ナ}})^2=\bigg(\cfrac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\bigg)^2$

を満たし, 点 Q の軌跡は $\bigg(\cfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}, \boxed{\text{ナ}}\bigg)$ を中心とする半経 $\cfrac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$ の円である。この円を $C’$ とする。

(2) 円 $C$ と円 $C’$ の二つの交点と原点 O を頂点とする三角形の面積 $S$ を求めよう。

$C$ と $C’$ の二つの交点を通る直線を $\ell$ とする。$C$ と $C’$ の交点の座標 $(x, y)$ は, 等式 ⑤ と ⑥ を満たす。これらの差をとることにより得られる等式は

$\boxed{\text{ネ}}x+\boxed{\text{ノ}}y=15$

であり,これが $\ell$ の方程式である。また, O と $\ell$ の距離は $\cfrac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}$ である。

したがって, $S=\cfrac{\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}$ である。

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