【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2016本試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

ア 3　イ 2　ウ エ 3 1　オ カ 2 1

キ 2　ク ケ 1 3　コ サ 1 2　シ 2　ス 0

セソ 90　タ 2　チ ツ テ ト 1 3 2 3

ナ 2　ニ ヌ 2 3

(1)

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos60\degree$

$=3\cdot2\cdot\cfrac{1}{2}=3$

・・・ア

よって，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=3$

また

$\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}||\vec{c}|\cos60\degree$

$=2\cdot2\cdot\cfrac{1}{2}=2$

・・・イ

次に，$|\overrightarrow{\text{PQ}}|^2$ を求めると

$\overrightarrow{\text{PQ}}=\overrightarrow{\text{OQ}}-\overrightarrow{\text{OP}}$

$=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}-s\vec{a}$

$=\vec{b}-t\vec{b}+t\vec{c}-s\vec{a}$

ここで，次に 2 乗の計算をすることを考え，式を整理しておくとよい。

$=(\vec{b}-s\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{b})$

$|\overrightarrow{\text{PQ}}|^2=\{(\vec{b}-s\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{b})\}^2$

$=(\vec{b}-s\vec{a})^2+2t(\vec{b}-s\vec{a})(\vec{c}-\vec{b})+t^2(\vec{c}-\vec{b})^2$

$=|\vec{b}|^2-2s\vec{a}\cdot\vec{b}+s^2|\vec{a}|^2+2t(\vec{b}\cdot\vec{c}-|\vec{b}|^2-s\vec{a}\cdot\vec{c}+s\vec{a}\cdot\vec{b})+t^2(|\vec{c}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{b}|^2)$

$=4-6s+9s^2+2t(2-4-3s+3s)+t^2(4-4+4)$

$=9s^2-6s+4-4t+4t^2$

$=(3s-1)^2-1+(2t-1)^2-1+4$

$=(3s-1)^2+(2t-1)^2+2$

・・・ウエオカキ

したがって，$|\overrightarrow{\text{PQ}}|$ の最小は

$s=\cfrac{1}{3}$, $t=\cfrac{1}{2}$ のとき $\sqrt{2}$

・・・クケコサ

(2)

$|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\sqrt{2}$ のとき $s=\cfrac{1}{3}$, $t=\cfrac{1}{2}$ だから

$\overrightarrow{\text{OP}}=\cfrac{1}{3}\vec{a}$

$\overrightarrow{\text{OQ}}=\cfrac{1}{2}\vec{b}+\cfrac{1}{2}\vec{c}$

$\overrightarrow{\text{PQ}}=\overrightarrow{\text{OQ}}-\overrightarrow{\text{OP}}$ より

$=-\cfrac{1}{3}\vec{a}+\cfrac{1}{2}\vec{b}+\cfrac{1}{2}\vec{c}$

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{PQ}}=\vec{a}\Big(-\cfrac{1}{3}\vec{a}+\cfrac{1}{2}\vec{b}+\cfrac{1}{2}\vec{c}\Big)$

$=-\cfrac{1}{3}|\vec{a}|^2+\cfrac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{b}+\cfrac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{c}$

$=-\cfrac{1}{3}\cdot9+\cfrac{1}{2}\cdot3+\cfrac{1}{2}\cdot3$

$=0$

・・・ス

したがって，∠APQ = $90\degree$

・・・セソ

△APQ は ∠APQ = $90\degree$ の直角三角形だから，面積を求めると

$S=\cfrac{1}{2}\text{AP}\cdot\text{PQ}$

ここで，辺 AP の長さを求めると

$\overrightarrow{\text{AP}}=\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OA}}$

$=\cfrac{1}{3}\vec{a}-\vec{a}=-\cfrac{2}{3}\vec{a}$

$|\overrightarrow{\text{AP}}|^2=(-\cfrac{2}{3}\vec{a})^2$

$=\cfrac{4}{9}|\vec{a}|^2=\cfrac{4}{9}\cdot9=4$

よって，$|\overrightarrow{\text{AP}}|=2$

したがって

$S=\cfrac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}$

・・・タ

また，G は △ABC の重心だから

$\overrightarrow{\text{OG}}=\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

解答の形式より，これを $\overrightarrow{\text{OQ}}$ に置き換えるとよい。

$\overrightarrow{\text{OQ}}=\cfrac{1}{2}\vec{b}+\cfrac{1}{2}\vec{c}$ より

$2\overrightarrow{\text{OQ}}=\vec{b}+\vec{c}$

これを代入して

$\overrightarrow{\text{OG}}=\cfrac{1}{3}(\vec{a}+2\overrightarrow{\text{OQ}})=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{OA}}+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{OQ}}$

$=\cfrac{\overrightarrow{\text{OA}}+2\overrightarrow{\text{OQ}}}{3}$

・・・ナ

よって，G は 線分 AB を 2 : 1 に内分する点である。

さらに，△GPQ の面積を求めると

△GPQ = $\cfrac{1}{3}$ △APQ = $\cfrac{\sqrt{2}}{3}$

・・・ニヌ

第4問　問題文

四面体 OABC において，$|\overrightarrow{\text{OA}}|=3$, $|\overrightarrow{\text{OB}}|=|\overrightarrow{\text{OC}}|=2$, ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = $60\degree$ であるとする。また, 辺 OA 上に点 P をとり, 辺 BC 上に点 Q をとる。以下, $\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$, $\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$, $\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$ とおく。

(1) $0\leqq s\leqq1$, $0\leqq t\leqq1$ であるような 実数 $s,t$ を用いて $\overrightarrow{\text{OP}}=s\vec{a}$, $\overrightarrow{\text{OQ}}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$ と表す。$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\boxed{\text{ア}},\enspace\vec{b}\cdot\vec{c}=\boxed{\text{イ}}$ であることから

$|\overrightarrow{\text{PQ}}|^2=(\boxed{\text{ウ}}s-\boxed{\text{エ}})^2+(\boxed{\text{オ}}t-\boxed{\text{カ}})^2+\boxed{\text{キ}}$

となる。したがって, $|\overrightarrow{\text{PQ}}|$ が最小となるのは $s=\cfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\enspace t=\cfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}$ のときであり, このとき $|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$ となる。

(2) 三角形 ABC の重心を G とする。$|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$ のとき, 三角形 GPQ の面積を求めよう。

$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{PQ}}=\boxed{\text{ス}}$ から, ∠APQ = $\boxed{\text{セソ}}\degree$ である。したがって, 三角形 APC の面積は, $\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$ である。また

$\overrightarrow{\text{OG}}=\cfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}\overrightarrow{\text{OA}}+\cfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\overrightarrow{\text{OQ}}$

であり, 点 G は線分 AQ を $\boxed{\text{ナ}}:1$ に内分する点である。

以上のことから, 三角形 GPQ の面積は $\cfrac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$ である。