【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2015追試【解説・正解・問題】
第3問 解答・解説
アイ 36 ウエ 28 オ 4
カ,キ,クケ 2,2,40
コ 7 サシ 44 ス,セ 3,4
ソ,タ 3,4 チ,ツ 2,3
テト 60 ナニ 58 ヌ 2
ネノ,ハ,ヒ 29,2,1
(1)
$a_2=|4\cdot1-a_1|+2a_1$
$=|4+40|+2\cdot(-40)$
$=44-80=-36$
・・・アイ
$a_3=|4\cdot2-a_2|+2a_2$
$=|8+36|+2\cdot(-36)$
$=44-72=-28$
・・・ウエ
$a_n\leqq4n\cdots$② のとき，①の $4n-a_n$ は正の値となるので，そのまま絶対値を外すことができる。よって①は
$a_{n+1}=4n-a_n+2a_n$
$=4n+a_n$
$a_{n+1}-a_n=4n$
・・・オ
よって，$a_n$ は階差数列だから，階差数列の一般項の公式 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}a_k$ を用いて
$\displaystyle a_n=-40+\sum_{k=1}^{n-1} 4k$
$=-40+4\cdot\cfrac{1}{2}(n-1)n$
$=2n^2-2n-40\cdots\cdots$③
・・・カキクケ
ここで $2n^2-2n-40\gt4n$ とおくと
$2n^2-6n-40\gt0$
$n^2-3n-20\gt0$
$n(n-3)\gt20$
$n$ にさまざまな数を当てはめてみると，式を満たす最小の自然数 $n$ は $7$ であることが分かる。
・・・コ
また
$a_7=2\cdot7^2-2\cdot7-40=44$
・・・サシ
(2)
$a_n\gt 4n\cdots\cdots$④
であることを数学的帰納法により確かめる。
[I] $n=7$ のとき，$a_7=44$，$4\cdot7=28$ であるので，④が成り立つ。
[II] $k\geqq7$ として，$n=k$ のとき④が成り立つと仮定する。$a_n\gt4n$ より，①の $4k-a_k$ は負の値をとる。よって，符号を入れ替えて絶対値の記号を外せばよい。
$a_{k+1}=-4k+a_k+2a_k$
$a_{k+1}=3a_k-4k$
・・・スセ
仮定 $a_n\gt4n$ より
$3a_k\gt12k$
$3a_k-4k\gt 12k-4k$
$a_{k+1}\gt8k$
また，$8k\gt4(k+1)$ であるので，$a_{k+1}\gt4(k+1)$ となり，$n=k+1$ のときにも④が成り立つ。
[I]，[II] により，$n\geqq7$ のとき，④が成り立つ。
【補足】数列$\{a_n\}$ の一般項を求めるとき，絶対値の処理が問題となる。ここでは数学的帰納法を用いることで，$n\lt7$ のときは絶対値をそのまま外し，$n\geqq7$ のときは絶対値の符号を入れ替えて外せばよいことを示している。
したがって，①，④により
$a_{n+1}=3a_n-4n$ $(n\geqq7)\cdots\cdots$⑤
$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと，⑤より
$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$
$=3a_{n+1}-4(n+1)-3a_n+4n$
$=3(a_{n+1}-a_n)-4$
$=3b_n-4$
・・・ソタ
ここで，$\alpha=3\alpha-4$ とおくと，$\alpha=2$
よって
$b_{n+1}=3b_n-4$
$\alpha=3\alpha-4$
式を引くと
$b_{n+1}-\alpha=3(b_n-\alpha)$
$b_{n+1}-2=3(b_n-2)$
・・・チツ
また，$b_7$ を求めると，$b_7=a_8-a_7$ である。$a_8$ を求めると
$a_8=|4\cdot7-a_7|+2a_7$
$=|28-44|+2\cdot44$
$=16+88=104$
よって
$b_7=104-44=60$
・・・テト
ここで，$b_n-2=c_n$ とおくと
$c_{n+1}=3c_n$
よって，数列 $\{c_n\}$ は公比 $3$ の等比数列である。これより一般項を求めるが，$n\geqq7$ より初項は $c_7$ であるため，公比をかける回数を調節して
$c_n=c_7 3^{n-7}$
$b_n-2=(b_7-2)3^{n-7}$
$b_n-2=(60-2)\cdot3^{n-7}$
$b_n=58\cdot3^{n-7}+2$
・・・ナニ
⑤より
$a_{n+1}-a_n=2a_n-4n$
$b_n=2a_n-4n$
・・・ヌ
$2a_n=b_n+4n$
$a_n=\cfrac{1}{2}(b_n+4n)$
$=\cfrac{1}{2}(58\cdot3^{n-7}+2+4n)$
$=29\cdot3^{n-7}+2n+1$
・・・ネノハヒ
第３問 問題文
数列 $\{a_n\}$ は
$a_1=-40$，$a_{n+1}=|4n-a_n|+2a_n$ $(n=1,2,3,\cdots)\cdots$①
を満たしているとする。$\{a_n\}$ の一般項を求めよう。
(1) $a_2=-\boxed{\text{ アイ }}$，$a_3=-\boxed{\text{ ウエ }}$ であるので，最初の 3 項については
$a_n \leqq 4n\cdots$②
が成り立っている。いま，初項から第 $m$ 項まで②が成り立っているとすると，$n=1,2,\cdots,m$ に対して，① により
$a_n+1-a_n=\boxed{\text{ オ }}\space n$
を満たす。よって，$n=1,2,\cdots,m+1$ に対して
$a_n=\boxed{\text{ カ }}\space n^2-\boxed{\text{ キ }}\space n-\boxed{\text{ クケ }}\cdots$③
と表される。ここで
$\boxed{\text{ カ }}\space n^2-\boxed{\text{ キ }}\space n-\boxed{\text{ クケ }} > 4n$
を満たす最小の自然数 $n$ は $\boxed{\text{ コ }}$ であるので，$n=1,2,\cdots,\boxed{\text{ コ }}$ のとき，$a_n$ は③で定まる。また，$a_{\boxed{\text{ コ }}} = \boxed{\text{ サシ }}$ である。
(2) 以下，$n \geqq \boxed{\text{ コ }}$ のとき，数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。まず，このとき
$a_n > 4n \cdots$④
であることを数学的帰納法により確かめる。
[I] $n=\boxed{\text{ コ }}$ のとき，$a_{\boxed{\text{ コ }}}=\boxed{\text{ サシ }}$ であるので，④が成り立つ。
[II] $k \geqq \boxed{\text{ コ }}$ として，$n=k$ のとき④が成り立つと仮定する。①により $a_{k+1}=\boxed{\text{ ス }}\space a_k-\boxed{\text{ セ }}\space k$ であるので，$a_k+1 > 8k$ となる。また，$8k > 4(k+1)$ であるので，$n=k+1$ のときにも④が成り立つ。
[I]，[II]により，$n\geqq \boxed{\text{ コ }}$ のとき，④が成り立つ。
したがって，①，④により
$a_{n+1}=\boxed{\text{ ス }}a_n-\boxed{\text{ セ }}\space n$ $(n\leqq\boxed{\text{ コ }})\cdots$⑤
である。$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと，⑤により，$b_n$ と $b_{n+1}$ は関係式
$b_{n+1}=\boxed{\text{ ソ }}\space b_n-\boxed{\text{ タ }}$ $(n\geqq\boxed{\text{ コ }}）$
を満たし，この関係式は $b_{n+1}-\boxed{\text{ チ }}=\boxed{\text{ ツ }}(b_n-\boxed{\text{ チ }})$ と変形できる。$b_{\boxed{\text{コ}}}=\boxed{\text{ テト }}$ であるので
$b_n=\boxed{\text{ ナニ }}\cdots\boxed{\text{ ツ }}^{n-\boxed{\text{コ}}}+\boxed{\text{ チ }}$
である。⑤から，$b_n=\boxed{\text{ ヌ }}\space a_n-\boxed{\text{ セ }}\space n$ なので，$n \geqq \boxed{\text{ コ }}$ のとき
$a_n=\cfrac{1}{\boxed{\text{ ヌ }}}(b_n+\boxed{\text{ セ }}\space n)$
$=\boxed{\text{ ネノ }}\cdot\boxed{\text{ ツ }}^{n-\boxed{\text{コ}}}+\boxed{\text{ ハ }}\space n+\boxed{\text{ ヒ }}$
である。
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