【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2014追試【解説・正解・問題】

第３問

数列 $\{ a_n \}$ を

$a_1=4$，$a_{n+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)a_n+3n+ 3$　$(n=1,2,3,\cdots)\cdots$①

で定める。$\{a_n\}$ の一般項を求めよう。まず，$a_2=\boxed{\text{ ア }}$，$a_3=\boxed{\text{ イウ }}$，$a_4=\boxed{\text{ エオ }}$ であることにより，$\{a_n\}$ の一般項は

$a_n=\boxed{\text{ カ }}\cdots$②

と推定できる。$\boxed{\text{ カ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪ $n+3$　① $4n$　② $2^{n+1}$　③ $12-\cfrac{8}{n}$

②の推定が正しいことを，数学的帰納法によって証明しよう。

[I]　$n=1$ のとき，$a_1=4$ により②が成り立つ。

[II]　$n=k$ のとき，②が成り立つと仮定すると，①により

$a_{k+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{k}\bigg)a_k+3k+3=\boxed{\text{ キ }}$

である。よって，$n=\boxed{\text{ ク }}$ のときも②が成り立つ。

[I]，[II]により②はすべての自然数 $n$ について成り立つ。

$\boxed{\text{ キ }}$，$\boxed{\text{ ク }}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑦ のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。

⓪　$k+1$　①　$k+4$

②　$4k+1$　③　$4k+4$

④　$2^{k+1}$　⑤　$2^{k+2}$

⑥　$12-\cfrac{8}{k}$　⑦　$12-\cfrac{8}{k+1}$

数列 $\{ a_n \}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

$S_n=\boxed{\text{ ケ }}n^2+\boxed{\text{ コ }}n\cdots$③

である。

次に，$\{a_n\}$ と同じ漸化式を満たし，初項が異なる数列 $\{ b_n \}$ を

$b_1=7$，$b_{n+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)b_n+3n+3$　$(n=1,2,3,\cdots)\cdots$④

で定める。$\{b_n\}$ の一般項を求めよう。①と④により，すべての自然数 $n$ に対して $b_{n+1}-a_{n+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)(b_n-a_n)$ である。

$c_n=\cfrac{b_n-a_n}{n}$　$(n=1,2,3,\cdots)\cdots$⑤

とおくと，数列 $\{ c_n \}$ は，初項$\boxed{\text{ サ }}$， 公比$\cfrac{\boxed{\text{ シ }}}{\boxed{\text{ ス }}}$ の等比数列であるから，一般項は，$c_n=\cfrac{\boxed{\text{ セ }}}{\boxed{\text{ ソ }}^{\boxed{\text{タ}}}}$ となる。ただし，$\boxed{\text{ タ }}$ については，当てはまるものを，次の⓪～④から一つ選べ。

⓪ $n$　① $n-1$　② $n+1$　③ $n-2$　④ $n+2$

したがって，②と⑤により $b_n=\boxed{\text{ カ }}+\cfrac{\boxed{\text{ セ }}n}{\boxed{\text{ ソ }}^{\boxed{\text{タ}}}}$ が成り立つ。

数列 $\{ b_n \}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $T_n$ とする。⑤により $b_n=a_n+nc_n$ であるから，$T_n=S_n+\sum_{k=1}^n kc_k$ である。$U_n=\sum_{k=1}^n kc_k$ とおくと

$U_n-\cfrac{\boxed{\text{ シ }}}{\boxed{\text{ ス }}}U_n=\sum_{k+1}^n\cfrac{\boxed{\text{ チ }}}{\boxed{\text{ ソ }}^{k-1}}-\cfrac{\boxed{\text{ ツ }}n}{\boxed{\text{ ソ }}^n}$

となり

$U_n=\cfrac{\boxed{\text{ テト }}}{\boxed{\text{ ナ }}}-\cfrac{\boxed{\text{ ニ }}n+\boxed{\text{ ヌ }}}{\boxed{\text{ ナ }}\cdot\boxed{\text{ ネ }}^{n-1}}\cdots$⑥

が成り立つ。$T_n=S_n+U_n$ と③と⑥により，$T_n$ を得ることができる。

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解答・解説

ア 8　イウ 12　エオ 16

カ 1　キ 3　ク 0

ケ,コ 2,2　サ 3

シ,ス 1,4　セ,ソ,タ 3,4,1

チ,ツ 3,3

テト,ナ,ニ,ヌ,ネ 16,3,3,4,4

$a_2=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{1}\bigg)\cdot4+3\cdot1+3=8$

$a_3=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{2}\bigg)\cdot8+3\cdot2+3=12$

$a_4=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{3}\bigg)\cdot12+3\cdot3+3=16$

数列 $\{a_n\}$ は $4,8,12,16,\cdots$ となるので

$a_n=4n\cdots\cdots$②

と推定できる。

②の推定が正しいことを数学的帰納法によって証明する。

[I] $n=1$ のとき，$a_1=4$ により②が成り立つ。

[II] $n=k$ のとき，②が成り立つと仮定すると，①により

$a_{k+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{k}\bigg)a_k+3k+3$

$a_{k+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{k}\bigg)\cdot4k+3k+3$

$=k+1+3k+3=4k+4$

よって，$n=k+1$ のときも②が成り立つ。

[I]，[II] により，②はすべての自然数 $n$ について成り立つ。

また，$S_n$ を求めると

$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n 4k=4\cdot\cfrac{1}{2}n(n+1)$

$=2n(n+1)$

$=2n^2+2n\cdots\cdots$③

次に，$c_n$ の初項を求めると

$c_1=\cfrac{b_1-a_1}{1}=7-4=3$

また $b_{n+1}-a_{n+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)(b_n-a_n)$ の両辺を $n+1$ で割ることで数列 $\{c_n\}$ の形に持ち込むと良い。

$\cfrac{b_{n+1}-a_{n+1}}{n+1}=\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{1+\cfrac{1}{n}}{n+1}(b_n-a_n)$

$=\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{\cfrac{n+1}{n}}{n+1}(b_n-a_n)$

$=\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{b_n-a_n}{n}$

よって

$c_{n+1}=\cfrac{1}{4}c_n$

数列 $\{c_n\}$ は初項 $3$，公比 $\cfrac{1}{4}$ の等比数列であるから，一般項は

$c_n=3\bigg(\cfrac{\space1\space}{4}\bigg)^{n-1}=\cfrac{3}{4^{n-1}}$

ここで，②と⑤より

$c_n=\cfrac{b_n-a_n}{n}$

$\cfrac{3}{4^{n-1}}=\cfrac{b_n-4n}{n}$

$b_n-4n=\cfrac{3n}{4^{n-1}}$

$b_n=4n+\cfrac{3n}{4^{n-1}}$

さらに，$\displaystyle U_n=\sum_{k=1}^n kc_k$ とおいて，$kc_k$ は

$kc_k=k\cdot\cfrac{b_k-a_k}{k}=b_k-a_k$

$=4k+\cfrac{3k}{4^{k-1}}-4k=\cfrac{3k}{4^{k-1}}$

となるので，$U_n-\cfrac{1}{4}U_n$ を求めると

$\begin{aligned}U&&\cfrac{3}{1}&&+\cfrac{6}{4}&&+\cfrac{9}{16}&&+\cdots&&+\cfrac{3n}{4^{n-1}}\\\cfrac{1}{4}U&&&&\cfrac{3}{4}&&+\cfrac{6}{16}&&+\cdots&&+\cfrac{3n-3}{4^{n-1}}&&+\cfrac{3n}{4^n}\\\hline\\\cfrac{3}{4}U&&\cfrac{3}{1}&&+\cfrac{3}{4}&&+\cfrac{6}{16}&&+\cdots&&+\cfrac{3}{4^{n-1}}&&-\cfrac{3n}{4^n}\end{aligned}$

よって

$\displaystyle\cfrac{3}{4}U=\sum_{k=1}^n\cfrac{3}{4^{k-1}}-\cfrac{3n}{4^n}$

$\displaystyle=\sum_{k=1}^n 3\bigg(\cfrac{\space1\space}{4}\bigg)^{k-1}-\cfrac{3n}{4^n}$

ここで，$3\bigg(\cfrac{\space1\space}{4}\bigg)^{k-1}$ は，初項 $3$，公比 $\cfrac{1}{4}$ の等比数列だから，公式 $\cfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いて和を求めると

$=\cfrac{3\bigg\{1-\bigg(\cfrac{1}{4}\bigg)^n\bigg\}}{1-\cfrac{1}{4}}-\cfrac{3n}{4^n}$

$=\cfrac{3\bigg\{1-\bigg(\cfrac{1}{4}\bigg)^n\bigg\}}{\cfrac{3}{4}}-\cfrac{3n}{4^n}$

$=4\bigg\{1-\bigg(\cfrac{1}{4}\bigg)^n\bigg\}-\cfrac{3n}{4^n}$

$=4-\cfrac{1}{4^{n-1}}-\cfrac{3n}{4^n}$

$=4-\cfrac{1}{4^{n-1}}-\cfrac{3n}{4\cdot4^{n-1}}$

$=4-\cfrac{3n+4}{4\cdot4^{n-1}}$

$U=\cfrac{4}{3}\bigg(4-\cfrac{3n+4}{4\cdot4^{n-1}}\bigg)$

$=\cfrac{16}{3}-\cfrac{3n+4}{3\cdot4^{n-1}}$