【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2014追試【解説・正解・問題】

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第3問

数列 {an}\{ a_n \}

a1=4a_1=4an+1=14(1+1n)an+3n+3a_{n+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)a_n+3n+ 3 (n=1,2,3,)(n=1,2,3,\cdots)\cdots

で定める。{an}\{a_n\} の一般項を求めよう。まず,a2= ア a_2=\boxed{\text{ ア }}a3= イウ a_3=\boxed{\text{ イウ }}a4= エオ a_4=\boxed{\text{ エオ }} であることにより,{an}\{a_n\} の一般項は

an= カ a_n=\boxed{\text{ カ }}\cdots

と推定できる。 カ \boxed{\text{ カ }} に当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。

n+3n+3 ① 4n4n ② 2n+12^{n+1} ③ 128n12-\cfrac{8}{n}

②の推定が正しいことを,数学的帰納法によって証明しよう。

[I] n=1n=1 のとき,a1=4a_1=4 により②が成り立つ。

[II] n=kn=k のとき,②が成り立つと仮定すると,①により

ak+1=14(1+1k)ak+3k+3= キ a_{k+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{k}\bigg)a_k+3k+3=\boxed{\text{ キ }}

である。よって,n= ク n=\boxed{\text{ ク }} のときも②が成り立つ。

[I],[II]により②はすべての自然数 nn について成り立つ。

 キ \boxed{\text{ キ }} ク \boxed{\text{ ク }} に当てはまるものを,次の⓪~⑦ のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。

⓪ k+1k+1 ① k+4k+4

② 4k+14k+1 ③ 4k+44k+4

④ 2k+12^{k+1} ⑤ 2k+22^{k+2}

⑥ 128k12-\cfrac{8}{k} ⑦ 128k+112-\cfrac{8}{k+1}

数列 {an}\{ a_n \} の初項から第 nn 項までの和を SnS_n とすると

Sn= ケ n2+ コ nS_n=\boxed{\text{ ケ }}n^2+\boxed{\text{ コ }}n\cdots

である。

次に,{an}\{a_n\} と同じ漸化式を満たし,初項が異なる数列 {bn}\{ b_n \}

b1=7b_1=7bn+1=14(1+1n)bn+3n+3b_{n+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)b_n+3n+3 (n=1,2,3,)(n=1,2,3,\cdots)\cdots

で定める。{bn}\{b_n\} の一般項を求めよう。①と④により,すべての自然数 nn に対して bn+1an+1=14(1+1n)(bnan)b_{n+1}-a_{n+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)(b_n-a_n) である。

cn=bnannc_n=\cfrac{b_n-a_n}{n} (n=1,2,3,)(n=1,2,3,\cdots)\cdots

とおくと,数列 {cn}\{ c_n \} は,初項 サ \boxed{\text{ サ }}, 公比 シ  ス \cfrac{\boxed{\text{ シ }}}{\boxed{\text{ ス }}} の等比数列であるから,一般項は,cn= セ  ソ c_n=\cfrac{\boxed{\text{ セ }}}{\boxed{\text{ ソ }}^{\boxed{\text{タ}}}} となる。ただし, タ \boxed{\text{ タ }} については,当てはまるものを,次の⓪~④から一つ選べ。

nn ① n1n-1 ② n+1n+1 ③ n2n-2 ④ n+2n+2

したがって,②と⑤により bn= カ + セ n ソ b_n=\boxed{\text{ カ }}+\cfrac{\boxed{\text{ セ }}n}{\boxed{\text{ ソ }}^{\boxed{\text{タ}}}} が成り立つ。

数列 {bn}\{ b_n \} の初項から第 nn 項までの和を TnT_n とする。⑤により bn=an+ncnb_n=a_n+nc_n であるから,Tn=Sn+k=1nkckT_n=S_n+\sum_{k=1}^n kc_k である。Un=k=1nkckU_n=\sum_{k=1}^n kc_k とおくと

Un シ  ス Un=k+1n チ  ソ k1 ツ n ソ nU_n-\cfrac{\boxed{\text{ シ }}}{\boxed{\text{ ス }}}U_n=\sum_{k+1}^n\cfrac{\boxed{\text{ チ }}}{\boxed{\text{ ソ }}^{k-1}}-\cfrac{\boxed{\text{ ツ }}n}{\boxed{\text{ ソ }}^n}

となり

Un= テト  ナ  ニ n+ ヌ  ナ  ネ n1U_n=\cfrac{\boxed{\text{ テト }}}{\boxed{\text{ ナ }}}-\cfrac{\boxed{\text{ ニ }}n+\boxed{\text{ ヌ }}}{\boxed{\text{ ナ }}\cdot\boxed{\text{ ネ }}^{n-1}}\cdots

が成り立つ。Tn=Sn+UnT_n=S_n+U_n と③と⑥により,TnT_n を得ることができる。

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解答・解説

ア 8 イウ 12 エオ 16

カ 1 キ 3 ク 0

ケ,コ 2,2 サ 3

シ,ス 1,4 セ,ソ,タ 3,4,1

チ,ツ 3,3

テト,ナ,ニ,ヌ,ネ 16,3,3,4,4

a2=14(1+11)4+31+3=8a_2=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{1}\bigg)\cdot4+3\cdot1+3=8

a3=14(1+12)8+32+3=12a_3=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{2}\bigg)\cdot8+3\cdot2+3=12

a4=14(1+13)12+33+3=16a_4=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{3}\bigg)\cdot12+3\cdot3+3=16

数列 {an}\{a_n\}4,8,12,16,4,8,12,16,\cdots となるので

an=4na_n=4n\cdots\cdots

と推定できる。

②の推定が正しいことを数学的帰納法によって証明する。

[I] n=1n=1 のとき,a1=4a_1=4 により②が成り立つ。

[II] n=kn=k のとき,②が成り立つと仮定すると,①により

ak+1=14(1+1k)ak+3k+3a_{k+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{k}\bigg)a_k+3k+3

ak+1=14(1+1k)4k+3k+3a_{k+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{k}\bigg)\cdot4k+3k+3

=k+1+3k+3=4k+4=k+1+3k+3=4k+4

よって,n=k+1n=k+1 のときも②が成り立つ。

[I],[II] により,②はすべての自然数 nn について成り立つ。

また,SnS_n を求めると

Sn=k=1n4k=412n(n+1)\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n 4k=4\cdot\cfrac{1}{2}n(n+1)

=2n(n+1)=2n(n+1)

=2n2+2n=2n^2+2n\cdots\cdots

次に,cnc_n の初項を求めると

c1=b1a11=74=3c_1=\cfrac{b_1-a_1}{1}=7-4=3

また bn+1an+1=14(1+1n)(bnan)b_{n+1}-a_{n+1}=\cfrac{1}{4}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)(b_n-a_n) の両辺を n+1n+1 で割ることで数列 {cn}\{c_n\} の形に持ち込むと良い。

bn+1an+1n+1=141+1nn+1(bnan)\cfrac{b_{n+1}-a_{n+1}}{n+1}=\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{1+\cfrac{1}{n}}{n+1}(b_n-a_n)

=14n+1nn+1(bnan)=\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{\cfrac{n+1}{n}}{n+1}(b_n-a_n)

=14bnann=\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{b_n-a_n}{n}

よって

cn+1=14cnc_{n+1}=\cfrac{1}{4}c_n

数列 {cn}\{c_n\} は初項 33,公比 14\cfrac{1}{4} の等比数列であるから,一般項は

cn=3( 1 4)n1=34n1c_n=3\bigg(\cfrac{\space1\space}{4}\bigg)^{n-1}=\cfrac{3}{4^{n-1}}

ここで,②と⑤より

cn=bnannc_n=\cfrac{b_n-a_n}{n}

34n1=bn4nn\cfrac{3}{4^{n-1}}=\cfrac{b_n-4n}{n}

bn4n=3n4n1b_n-4n=\cfrac{3n}{4^{n-1}}

bn=4n+3n4n1b_n=4n+\cfrac{3n}{4^{n-1}}

さらに,Un=k=1nkck\displaystyle U_n=\sum_{k=1}^n kc_k とおいて,kckkc_k

kck=kbkakk=bkakkc_k=k\cdot\cfrac{b_k-a_k}{k}=b_k-a_k

=4k+3k4k14k=3k4k1=4k+\cfrac{3k}{4^{k-1}}-4k=\cfrac{3k}{4^{k-1}}

となるので,Un14UnU_n-\cfrac{1}{4}U_n を求めると

U31+64+916++3n4n114U34+616++3n34n1+3n4n34U31+34+616++34n13n4n\begin{aligned}U&&\cfrac{3}{1}&&+\cfrac{6}{4}&&+\cfrac{9}{16}&&+\cdots&&+\cfrac{3n}{4^{n-1}}\\\cfrac{1}{4}U&&&&\cfrac{3}{4}&&+\cfrac{6}{16}&&+\cdots&&+\cfrac{3n-3}{4^{n-1}}&&+\cfrac{3n}{4^n}\\\hline\\\cfrac{3}{4}U&&\cfrac{3}{1}&&+\cfrac{3}{4}&&+\cfrac{6}{16}&&+\cdots&&+\cfrac{3}{4^{n-1}}&&-\cfrac{3n}{4^n}\end{aligned}

よって

34U=k=1n34k13n4n\displaystyle\cfrac{3}{4}U=\sum_{k=1}^n\cfrac{3}{4^{k-1}}-\cfrac{3n}{4^n}

=k=1n3( 1 4)k13n4n\displaystyle=\sum_{k=1}^n 3\bigg(\cfrac{\space1\space}{4}\bigg)^{k-1}-\cfrac{3n}{4^n}

ここで,3( 1 4)k13\bigg(\cfrac{\space1\space}{4}\bigg)^{k-1} は,初項 33,公比 14\cfrac{1}{4} の等比数列だから,公式 a(1rn)1r\cfrac{a(1-r^n)}{1-r} を用いて和を求めると

=3{1(14)n}1143n4n=\cfrac{3\bigg\{1-\bigg(\cfrac{1}{4}\bigg)^n\bigg\}}{1-\cfrac{1}{4}}-\cfrac{3n}{4^n}

=3{1(14)n}343n4n=\cfrac{3\bigg\{1-\bigg(\cfrac{1}{4}\bigg)^n\bigg\}}{\cfrac{3}{4}}-\cfrac{3n}{4^n}

=4{1(14)n}3n4n=4\bigg\{1-\bigg(\cfrac{1}{4}\bigg)^n\bigg\}-\cfrac{3n}{4^n}

=414n13n4n=4-\cfrac{1}{4^{n-1}}-\cfrac{3n}{4^n}

=414n13n44n1=4-\cfrac{1}{4^{n-1}}-\cfrac{3n}{4\cdot4^{n-1}}

=43n+444n1=4-\cfrac{3n+4}{4\cdot4^{n-1}}

U=43(43n+444n1)U=\cfrac{4}{3}\bigg(4-\cfrac{3n+4}{4\cdot4^{n-1}}\bigg)

=1633n+434n1=\cfrac{16}{3}-\cfrac{3n+4}{3\cdot4^{n-1}}

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