第3問
数列 {an} を
a1=4,an+1=41(1+n1)an+3n+3 (n=1,2,3,⋯)⋯①
で定める。{an} の一般項を求めよう。まず,a2= ア ,a3= イウ ,a4= エオ であることにより,{an} の一般項は
an= カ ⋯②
と推定できる。 カ に当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。
⓪ n+3 ① 4n ② 2n+1 ③ 12−n8
②の推定が正しいことを,数学的帰納法によって証明しよう。
[I] n=1 のとき,a1=4 により②が成り立つ。
[II] n=k のとき,②が成り立つと仮定すると,①により
ak+1=41(1+k1)ak+3k+3= キ
である。よって,n= ク のときも②が成り立つ。
[I],[II]により②はすべての自然数 n について成り立つ。
キ , ク に当てはまるものを,次の⓪~⑦ のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。
⓪ k+1 ① k+4
② 4k+1 ③ 4k+4
④ 2k+1 ⑤ 2k+2
⑥ 12−k8 ⑦ 12−k+18
数列 {an} の初項から第 n 項までの和を Sn とすると
Sn= ケ n2+ コ n⋯③
である。
次に,{an} と同じ漸化式を満たし,初項が異なる数列 {bn} を
b1=7,bn+1=41(1+n1)bn+3n+3 (n=1,2,3,⋯)⋯④
で定める。{bn} の一般項を求めよう。①と④により,すべての自然数 n に対して bn+1−an+1=41(1+n1)(bn−an) である。
cn=nbn−an (n=1,2,3,⋯)⋯⑤
とおくと,数列 {cn} は,初項 サ , 公比 ス シ の等比数列であるから,一般項は,cn= ソ タ セ となる。ただし, タ については,当てはまるものを,次の⓪~④から一つ選べ。
⓪ n ① n−1 ② n+1 ③ n−2 ④ n+2
したがって,②と⑤により bn= カ + ソ タ セ n が成り立つ。
数列 {bn} の初項から第 n 項までの和を Tn とする。⑤により bn=an+ncn であるから,Tn=Sn+∑k=1nkck である。Un=∑k=1nkck とおくと
Un− ス シ Un=∑k+1n ソ k−1 チ − ソ n ツ n
となり
Un= ナ テト − ナ ⋅ ネ n−1 ニ n+ ヌ ⋯⑥
が成り立つ。Tn=Sn+Un と③と⑥により,Tn を得ることができる。
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解答・解説
ア 8 イウ 12 エオ 16
カ 1 キ 3 ク 0
ケ,コ 2,2 サ 3
シ,ス 1,4 セ,ソ,タ 3,4,1
チ,ツ 3,3
テト,ナ,ニ,ヌ,ネ 16,3,3,4,4
a2=41(1+11)⋅4+3⋅1+3=8
a3=41(1+21)⋅8+3⋅2+3=12
a4=41(1+31)⋅12+3⋅3+3=16
数列 {an} は 4,8,12,16,⋯ となるので
an=4n⋯⋯②
と推定できる。
②の推定が正しいことを数学的帰納法によって証明する。
[I] n=1 のとき,a1=4 により②が成り立つ。
[II] n=k のとき,②が成り立つと仮定すると,①により
ak+1=41(1+k1)ak+3k+3
ak+1=41(1+k1)⋅4k+3k+3
=k+1+3k+3=4k+4
よって,n=k+1 のときも②が成り立つ。
[I],[II] により,②はすべての自然数 n について成り立つ。
また,Sn を求めると
Sn=k=1∑n4k=4⋅21n(n+1)
=2n(n+1)
=2n2+2n⋯⋯③
次に,cn の初項を求めると
c1=1b1−a1=7−4=3
また bn+1−an+1=41(1+n1)(bn−an) の両辺を n+1 で割ることで数列 {cn} の形に持ち込むと良い。
n+1bn+1−an+1=41⋅n+11+n1(bn−an)
=41⋅n+1nn+1(bn−an)
=41⋅nbn−an
よって
cn+1=41cn
数列 {cn} は初項 3,公比 41 の等比数列であるから,一般項は
cn=3(4 1 )n−1=4n−13
ここで,②と⑤より
cn=nbn−an
4n−13=nbn−4n
bn−4n=4n−13n
bn=4n+4n−13n
さらに,Un=k=1∑nkck とおいて,kck は
kck=k⋅kbk−ak=bk−ak
=4k+4k−13k−4k=4k−13k
となるので,Un−41Un を求めると
U41U43U1313+4643+43+169+166+166+⋯+⋯+⋯+4n−13n+4n−13n−3+4n−13+4n3n−4n3n
よって
43U=k=1∑n4k−13−4n3n
=k=1∑n3(4 1 )k−1−4n3n
ここで,3(4 1 )k−1 は,初項 3,公比 41 の等比数列だから,公式 1−ra(1−rn) を用いて和を求めると
=1−413{1−(41)n}−4n3n
=433{1−(41)n}−4n3n
=4{1−(41)n}−4n3n
=4−4n−11−4n3n
=4−4n−11−4⋅4n−13n
=4−4⋅4n−13n+4
U=34(4−4⋅4n−13n+4)
=316−3⋅4n−13n+4
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