【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2013追試【解説・正解・問題】

第４問

四面体 OABC において，$\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$ とおく。$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=6$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=9$，$\vec{a}\cdot\vec{c}=4$，$\cos\angle\text{BOC}=\cfrac{3}{4}$ であるとする。

(1)　$\cos \angle\text{AOB} =\cfrac{\boxed{\text{ ア }}}{\boxed{\text{ イ }}}$ であり，$\sin\angle \text{AOB}=\cfrac{\sqrt{\boxed{\text{ ウ }}}}{\boxed{\text{ エ }}}$ である。また，三角形 OAB の面積は $\cfrac{\boxed{\text{ オ }}\sqrt{\boxed{\text{ カ }}}}{\boxed{\text{ キ }}}$ である。

(2)　$x$ を $1 < x < 8$ を満たす実数とし，$|\vec{c}|=2x$ であるとする。このとき，四面体 OABC の体積が最大となる $x$ の値を求めよう。
まず，三角形 OAB の面積は $x$ の値によらず一定であるので，四面体 OABC の体積が最大となるためには三角形 OAB を底面としたときの四面体 OABC の高さが最大になればよいことに注意しよう。

実数 $s$，$t$ に対して，$\overrightarrow{\text{OD}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ となるように点 D をとり，$\overrightarrow{\text{CD}}=\vec{n}$ とおく。$\vec{n}=s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c}$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=\boxed{\text{ ク }}x$ であるので，$\vec{a}\cdot\vec{n}=4s+9t-4$，$\vec{b}\cdot\vec{n}=9(s+4t-x)$，$\vec{c}\cdot\vec{n}=\boxed{\text{ ケ }}s+\boxed{\text{ コ }}tx-\boxed{\text{ サ }}x^2$ となる。

以下では，$|\vec{n}|$ が，三角形 OAB を底面としたときの四面体 OABC の高さとなるように，$\vec{a}$⊥$\vec{n}$，$\vec{b}$⊥$\vec{n}$ とする。このとき

$\vec{a}\cdot\vec{n}=\boxed{\text{ シ }}$，$\vec{b}\cdot\vec{n}=\boxed{\text{ ス }}\cdots$①

である。①により，$s$，$t$ は $x$ を用いて

$s=-\cfrac{1}{\boxed{\text{ セ }}}(\boxed{\text{ ソ }}x-\boxed{\text{ タチ }}),\space t=\cfrac{\boxed{\text{ ツ }}}{\boxed{\text{ セ }}}(x-1)$

と表される。さらに，$|\vec{n}|^2=(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{n}$ と①に注意して，$|\vec{n}|^2$ を $x$ を用いて表すと

$|\vec{n}|^2=-\cfrac{\boxed{\text{ テ }}}{\boxed{\text{ セ }}}(x^2-\boxed{\text{ ト }}x+\boxed{\text{ ナ }})$

$=-\cfrac{\boxed{\text{ テ }}}{\boxed{\text{ セ }}}\bigg(x-\cfrac{\boxed{\text{ ニ }}}{\boxed{\text{ ヌ }}}\bigg)^2+\boxed{\text{ ネノ }}$

となる。 $1 < \cfrac{\boxed{\text{ ニ }}}{\boxed{\text{ ヌ }}} < 8$ であるので，$x=\cfrac{\boxed{\text{ ニ }}}{\boxed{\text{ ヌ }}}$ のとき，$|\vec{n}|$ は最大となり，四面体 OABC の体積は最大となる。

解答・解説

ア $3$　イ $4$　ウ $7$　エ $4$

オ $3$　カ $7$　キ $2$　ク $9$

ケ,コ,サ $4,9,4$

シ $0$　ス $0$

セ,ソ,タチ $7,9,16$

ツ $4$　テ,ト,ナ $8,9,8$

ニ $9$　ヌ $2$　ネノ $14$

(1)

内積の公式を用いて

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\angle\text{AOB}$

$9=2\cdot6\cos\angle\text{AOB}$

$\cos\angle\text{AOB}=\cfrac{3}{4}$

また $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ を用いて

$\sin^2\angle\text{AOB}+\bigg(\cfrac{3}{4}\bigg)^2=1$

$\sin^2\angle\text{AOB}+\cfrac{9}{16}=1$

$\sin^2\angle\text{AOB}=\cfrac{7}{16}$

$\sin\angle\text{AOB}=\cfrac{\sqrt{7}}{4}$

公式 $S=\cfrac{1}{2}bc\sin A$ を用いて面積を求めると

$\cfrac{1}{2}\cdot2\cdot6\cdot\cfrac{\sqrt{7}}{4}=\cfrac{3\sqrt{7}}{2}$

(2)

$\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}||\vec{c}|\cos\angle\text{BOC}$

$=6\cdot 2x\cdot\cfrac{3}{4}=9x$

また $\vec{n}=s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c}$ より

$\vec{c}\cdot\vec{n}=s\vec{a}\cdot\vec{c}+t\vec{b}\cdot\vec{c}-|\vec{c}|^2$

$\vec{a}\cdot\vec{c}=4$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=9x$，$|\vec{c}|=2x$ より

$=4s+9tx-4x^2$

次に $\vec{a}$ ⊥ $\vec{n}$，$\vec{b}$ ⊥ $\vec{n}$ より

$\vec{a}\cdot\vec{n}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{n}=0$

となる。また

$\vec{a}\cdot\vec{n}=4s+9t-4$

$\vec{b}\cdot\vec{n}=9(s+4t-x)$

より

$\begin{cases}4s+9t-4=0\\9(s+4t-x)=0\end{cases}$

となるので，それぞれの式を連立して $s,t$ を求めればよい。

下の式を変形して

$s+4t-x=0$

$s=-4t+x$

上の式に代入して

$4(-4t+x)+9t-4=0$

$-16t+4x+9t-4=0$

$-7t=-4x+4$

$t=\cfrac{4x-4}{7}=\cfrac{4(x-1)}{7}$

これを $s=-4t+x$ に代入して

$s=-4\cfrac{4(x-1)}{7}+x$

$=\cfrac{-16x+16+7x}{7}$

$=-\cfrac{1}{7}(9x-16)$

さらに $|\vec{n}|^2$ を求めると

$|\vec{n}|^2=(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{n}$

$=s\vec{a}\cdot\vec{n}+t\vec{b}\cdot\vec{n}-\vec{c}\cdot\vec{n}$

$\vec{a}\cdot\vec{n}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{n}=0$ に注意して

$=-\vec{c}\cdot\vec{n}$

$=-4s-9tx+4x^2$

$=-4\bigg\{-\cfrac{1}{7}(9x-16)\bigg\}-9\cdot\cfrac{4(x-1)}{7}x+4x^2$

$=\cfrac{36x-64-36x^2+36x+28x^2}{7}$

$=-\cfrac{8}{7}(x^2-9x+8)$

これを平方完成すると

$=-\cfrac{8}{7}\bigg\{\bigg(x-\cfrac{9}{2}\bigg)^2-\cfrac{81}{4}+8$

$=-\cfrac{8}{7}\bigg\{\bigg(x-\cfrac{9}{2}\bigg)^2-\cfrac{49}{4}\bigg\}$

$=-\cfrac{8}{7}\bigg(x-\cfrac{9}{2}\bigg)^2+14$