【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2013本試【解説・正解・問題】

第３問

(1)　数列 $\{ p_n \}$ は次を満たすとする。

$p_1=3$，$p_{n+1}=\cfrac{1}{3}p_n+1$　$(n=1,2,3,\cdots)$…①

数列 $\{ p_n \}$ の一般項と，初項から第 $n$ 項までの和を求めよう。まず，①から

$p_{n+1}-\cfrac{\boxed{\text{ ア }}}{\boxed{\text{ イ }}}=\cfrac{1}{3}\bigg(p_n-\cfrac{\boxed{\text{ ア }}}{\boxed{\text{ イ }}}\bigg)$　$(n=1,2,3,\cdots)$

となるので，数列 $\{ p_n \}$ の一般項は

$p_n=\cfrac{1}{\boxed{\text{ ウ }}\cdot\boxed{\text{ エ }}^{n-2}}+\cfrac{\boxed{\text{ オ }}}{\boxed{\text{ カ }}}$

である。したがって，自然数 $n$ に対して

$\displaystyle \sum_{k=1}^n p_k=\cfrac{\boxed{\text{ キ }}}{\boxed{\text{ ク }}}\bigg(1-\cfrac{1}{\boxed{\text{ ケ }}^n}\bigg)+\cfrac{\boxed{\text{ コ }}n}{\boxed{\text{ サ }}}$

である。

(2)　正の数からなる数列 $\{ a_n \}$ は，初項から第 $3$ 項が $a_1=3$，$a_2=3$，$a_3=3$ であり，すべての自然数 $n$ に対して

$a_{n+3}=\cfrac{a_n+a_{n+1}}{a_{n+2}}$…②

を満たすとする。また，数列 $\{ b_n \}$，$\{ c_n \}$ を，自然数 $n$ に対して，$b_n=a_{2n-1}$，$c_n=a_{2n}$ で定める。数列 $\{ b_n \}$，$\{ c_n \}$ の一般項を求めよう。まず，②から

$a_4=\cfrac{a_1+a_2}{a_3}=\boxed{\text{ シ }}$，$a_5=3$，$a_6=\cfrac{\boxed{\text{ ス }}}{\boxed{\text{ セ }}}$，$a_7=3$

である。したがって，$b_1=b_2=b_3=b_4=3$ となるので

$b_n=3$　$(n=1,2,3,\cdots)$…③

と推定できる。

③を示すためには，$b_1=3$ から，すべての自然数 $n$ に対して

$b_{n+1}=b_n$…④

であることを示せばよい。このことを「まず，$n=1$ のとき④が成り立つことを示し，次に，$n=k$ のとき④が成り立つと仮定すると，$n=k+1$ のときも④が成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法を$\boxed{\text{ ソ }}$ という。$\boxed{\text{ ソ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪　組立除法　①　弧度法

②　数学的帰納法　③　背理法

[I] $n=1$ のとき，$b_1=3$，$b_2=3$ であることから④は成り立つ。

[II] $n=k$ のとき，④が成り立つ，すなわち

$b_{k+1}=b_k$…⑤

と仮定する。$n=k+1$ のとき，②の $n$ に $2k$ を代入して得られる等式と，$2k-1$ を代入して得られる等式から

$b_{k+2}=\cfrac{c_k+\boxed{\text{ タ }}_{k+1}}{\boxed{\text{ チ }}_{k+1}}$，$c_{k+1}=\cfrac{\boxed{\text{ ツ }}_k+c_k}{\boxed{\text{ テ }}{k+1}}$

となるので，$b_{k+2}$ は

$b_{n+2}=\cfrac{(\boxed{\text{ ト }}_k+\boxed{\text{ ナ }}_{k+1})\boxed{\text{ ニ }}_{k+1}}{b_k+c_k}$

と表される。したがって，⑤により，$b_{k+2}=b_{k+1}$ が成り立つので，④は $n=k+1$ のときにも成り立つ。

[I]，[II] により，すべての自然数 $n$ に対して④の成り立つことが証明された。したがって，③が成り立つので，数列 $\{ b_n \}$ の一般項は $b_n=3$ である。

次に，②の $n$ を $2n-1$ に置き換えて得られる等式と③から

$c_{n+1}=\cfrac{1}{3}c_n+1$　$(n=1,2,3,\cdots)$

となり，$c_1=\boxed{\text{ ヌ }}$ であることと①から，数列 $\{ c_n \}$ の一般項は，(1)で求めた数列 $\{ p_n \}$ の一般項と等しくなることがわかる。

解答・解説

ア,イ $3,2$　ウ,エ $2,3$　オ,カ $3,2$

キ,ク,ケ $9,4,3$　コ,サ $3,2$　シ $2$

ス,セ $5,3$　ソ $2$　タ,チ $b,c$

ツ,テ $b,b$　ト,ナ,ニ $c,b,b$　ヌ $3$

(1)

特性方程式を用いて一般項を求めればよい。

$\alpha=\cfrac{1}{3}\alpha+1$ とおいて①から引くと

$p_{n+1}-\alpha=\cfrac{1}{3}(p_n-\alpha)$

$\alpha$ を求めると

$\alpha=\cfrac{1}{3}\alpha+1$

$\cfrac{2}{3}\alpha=1$

$\alpha=\cfrac{3}{2}$

よって

$p_{n+1}-\cfrac{3}{2}=\cfrac{1}{3}\bigg(p_n-\cfrac{3}{2}\bigg)$

ここで $q_n=p_n-\cfrac{3}{2}$ とおくと

$q_{n+1}=\cfrac{1}{3}q_n$

初項を求めると

$q_1=p_1-\cfrac{3}{2}=3-\cfrac{3}{2}=\cfrac{3}{2}$

$\{q_n\}$ は初項 $\cfrac{3}{2}$，公比 $\cfrac{1}{3}$ の等比数列だから，一般項を求めると

$q_n=\cfrac{3}{2}\bigg(\cfrac{1}{3}\bigg)^{n-1}$

$p_n-\cfrac{3}{2}=\cfrac{3}{2}\bigg(\cfrac{1}{3}\bigg)^{n-1}$

$p_n=\cfrac{3}{2}\bigg(\cfrac{1}{3}\bigg)^{n-1}+\cfrac{3}{2}$

$=\cfrac{3}{2}\cdot\cfrac{1}{3^{n-1}}+\cfrac{3}{2}$

$=\cfrac{1}{2\cdot3^{n-2}}+\cfrac{3}{2}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^n p_k=\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{2\cdot3^{n-2}}+\cfrac{3}{2}$

ここで $\cfrac{1}{2\cdot3^{n-2}}=\cfrac{3}{2}\bigg(\cfrac{1}{3}\bigg)^{n-1}$ だから，等比数列の和を求めればよい。

$\displaystyle\sum_{k=1}^n p_k=\cfrac{\cfrac{3}{2}\bigg\{1-\bigg(\cfrac{1}{3}\bigg)^n\bigg\}}{1-\cfrac{1}{3}}+\cfrac{3n}{2}$

$=\cfrac{\cfrac{3}{2}\bigg(1-\cfrac{1}{3^n}\bigg)}{\cfrac{2}{3}}+\cfrac{3n}{2}$

ここで $\cfrac{\enspace\cfrac{3}{2}\enspace}{\cfrac{2}{3}}$ は

$\cfrac{\cfrac{3}{2}\times3}{\cfrac{2}{3}\times3}=\cfrac{\cfrac{9}{2}}{\enspace 2\enspace}=\cfrac{\cfrac{9}{2}\times2}{\enspace2\times2\enspace}=\cfrac{9}{4}$

となるので

$=\cfrac{9}{4}\bigg(1-\cfrac{1}{3^n}\bigg)+\cfrac{3^n}{2}$

(2)

$a_4=\cfrac{a_1+a_2}{a_3}=\cfrac{3+3}{3}=2$

$a_6=\cfrac{a_3+a_4}{a_5}=\cfrac{3+2}{3}=\cfrac{5}{3}$

問題文のような証明を数学的帰納法という。

②の $n$ を $2k$ に置き換えると

$a_{2k+3}=\cfrac{a_{2k}+a_{2k+1}}{a_{2k+2}}$

ここで

$b_{n+1}=a_{2(n+1)-1}=a_{2n+1}$

$b_{n+2}=a_{2(n+2)-1}=a_{2n+3}$

$c_{n+1}=a_{2(n+1)}=a_{2n+2}$

だから

$b_{k+2}=\cfrac{c_k+b_{k+1}}{c_{k+1}}$

また $n$ を $2k-1$ に置き換えると

$a_{2k-1+3}=\cfrac{a_{2k-1}+a_{2k-1+1}}{a_{2k-1+2}}$

$2_{2k+2}=\cfrac{a_{2k-1}+a_{2k}}{a_{2k+1}}$

$c_{k+1}=\cfrac{b_k+c_k}{b_{k+1}}$

これを $b_{k+2}$ に代入すると

$b_{k+2}=\cfrac{c_k+b_{k+1}}{\cfrac{b_k+c_k}{b_{k+1}}}$

$=\cfrac{(c_k+b_{k+1})b_{k+1}}{b_k+c_k}$

また

$c_1=a_2=3$