【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2020追試【解説・正解・問題】

第４問

正解と解説

ア,イ 9, 2　ウエ,オ 31, 7
カ,キ 3, 4 (解答の順序は問わない)
ク,ケコ 9, 16
サシス,セソタ 100, 121
チツテト 1280　ナニヌ 527

(1)

互除法を用いると

$31=7\cdot4+3$
$7=3\cdot2+1$

それぞれ移項して

$3=31-7\cdot4$
$1=7-3\cdot2$

代入すると

$1=7-(31-7\cdot4)\cdot2$
$=7-31\cdot2+7\cdot8$
$=7\cdot9-31\cdot2$

式を並べると

$7x-31y=1$ ・・・①
$7\cdot9-31\cdot2=1$

式どうしを引くと

$7(x-9)-31(y-2)=0$
$7(x-9)=31(y-2)$

7 と 31 は互いに素であるから，$k$ を整数として

$x-9=31k$
$x=31k+9$

上の式に代入すると

$7(31k+9-9)=31(y-2)$
$7\cdot31k=31(y-2)$
$7k=y-2$
$y=7k+2$

$x$ が自然数であることに注意すると，$k=0$ のとき $x$ は最小となる。したがって

$x=9,y=2$

・・・アイ

であり，不定方程式①のすべての整数解は

$x=31k+9,y=7k+2$

・・・ウエオ

(2)

$n$ を 7 で割ったときの商を $\ell$，余りを $m$ として式で表すと

$n=7\ell+m$

となる。両辺を２乗すると

$n^2=(7\ell+m)^2$
$=49\ell^2+14\ell m+m^2$
$=7(7\ell^2+2\ell m)+m^2$

となる。7 で割っているので，余りは 0 から 6 の間のいずれかになる。

(i) $m=3$ のとき

$n^2=7(7\ell^2+2\ell m)+3^2$
$=7(7\ell^2+2\ell m)+7\cdot1+2$
$=7(7\ell^2+2\ell m+1)+2$

となり，余りは 2 である。

(ii) $m=4$ のとき

$n^2=7(7\ell^2+2\ell m)+4^2$
$=7(7\ell^2+2\ell m)+7\cdot2+2$
$=7(7\ell^2+2\ell m+2)+2$

となり，余りは 2 である。

したがって，$n^2$ を 7 で割った余りが 2 となるのは，$n$ を 7 で割った余りが，3 または 4 のときである。

・・・カキ

(3)

(1)より，$y=7k+2$ であり，$y=n^2$ とすると $n^2=7k+2$ となる。

また，(2) より $n^2=7k+2$ が成り立つのは，$n=7\ell+3$ と $n=7\ell+4$ のときである。

これらをもとに，$n^2$ を小さい方から求めていくと

(i) $\ell=0$ のとき

$n=7\cdot0+3=3$ より $n^2=9$
$n=7\cdot0+4=4$ より $n^2=16$

(ii) $\ell=1$ のとき

$n=7\cdot1+3=10$ より $n^2=100$
$n=7\cdot1+4=11$ より $n^2=121$

したがって

$9,16,100,121$

・・・クケコサシスセソタ

(4)

$\sqrt{31(7x-1)}$ が整数であるとき，$7x-1$ は $31n^2$ の形をとる。つまり
$7x-1=31n^2$ とすると

$\sqrt{31(7x-1)}=\sqrt{31^2n^2}=31n$

となり，整数になる。

ここで，①を利用することを考えると良い。

①を変形すると

$7x-1=31y$

これを $y=n^2$ として

$7x-1=31n^2$

とする。

(3)より，$n^2$ が $9,16,100,121,\cdots$ のとき，$y=7k+2$ が成り立つ。また，言い換えれば，①の式は $y$ が $7k+2$ で表すことのできる値であるとき，$x$ は何らかの整数になる，という意味である。このことは(1)で示した。 

よって，$n^2$ が $9,16,100,121,\cdots$ のときに，$x$ は整数となる。

(i) $n^2=9$ のとき

$7x-1=31\cdot9=279$
$x=40$

$x\geqq1000$ より不適。

ここで，$n^2$ の値はこれよりもかなり大きな値でなければならないことを判断すべきである。機械的に数をあてはめるのではなく，およその見当をつけて試行を行う思考力が要求されている。

(ii) $n^2=121$ のとき

$7x-1=31\cdot121$
$x=536$

$x\geqq1000$ より不適。

(3)で求めた値で必要な結果を得ることができなかったので，さらに値を求める必要があることが分かる。

よって(3)に戻ると

$\ell=2$ のとき

$n=7\cdot2+3=17$ より $n^2=289$

これを用いて

(iii) $n^2=289$ のとき

$7x-1=31\cdot289$
$x=1280$

・・・チツテト

これは，$x\geqq 1000$ を満たす。

したがって，$7x-1=31\cdot289$ とすると

$\sqrt{31(7x-1)}=\sqrt{31^2\cdot289}$
$=\sqrt{31^2\cdot17^2}=527$

・・・ナニヌ

問題文

(1) 不定方程式

$7x-31y=1$・・・①

を満たす自然数 $x,y$ の組の中で，$x$ が最小のものは
$x=\boxed{\text{ ア }}$，$y=\boxed{\text{ イ }}$
であり，不定方程式①のすべての整数解は，$k$ を整数として
$x=\boxed{\text{ ウエ }}\space x+\boxed{\text{ ア }}$，$y=\boxed{\text{ オ }}\space k+\boxed{\text{ イ }}$
と表せる。

(2) 自然数 $n$ に対し，$n^2$ を $\boxed{\text{ オ }}$ で割った余りが $\boxed{\text{ イ }}$ となるのは，$n$ を $\boxed{\text{ オ }}$ で割った余りが，$\boxed{\text{ カ }}$ または $\boxed{\text{ キ }}$ のときである。ただし，$\boxed{\text{ カ }}$，$\boxed{\text{ キ }}$ の解答の順序は問わない。

(3) 不定方程式①の整数解 $y$ のうち，ある自然数 $n$ を用いて $y=n^2$ と表せるものを小さい方から四つ並べると
$\boxed{\text{ ク }}$，$\boxed{\text{ ケコ }}$，$\boxed{\text{ サシス }}$，$\boxed{\text{ セソタ }}$
である。

(4) $\sqrt{31(7x-1)}$ が整数であるような自然数 $x$ のうち，$x\geqq1000$ を満たす最小のものは $\boxed{\text{ チツテト }}$ である。$x$ が $\boxed{\text{ チツテト }}$ のとき，$\sqrt{31(7x-1)}$ の値は $\boxed{\text{ ナニヌ }}$ である。