【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2020追試【解説・正解・問題】

第３問

正解と解説

ア,イ 1, 3　ウエオ 210
カキ 70　ク,ケ 1, 3
コ,サ 1, 3　シス,セソ 37, 42
タチ,ツテ 14, 37
トナ,ニヌネ 53, 185
ノ,ハヒ 1, 45

(1)

$\cfrac{6}{10}\times\cfrac{5}{9}=\cfrac{1}{3}$

・・・アイ

(2)

取り出した玉を１列に並べる並べ方の総数は

$_{10}C_6=_{10}C_4=\cfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2}$
$=210$ 通り

・・・ウエオ

8 回目の取り出しを終えた時点で白玉がすべて取り出されている取り出し方は

$_8C_4=\cfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2}$
$=70$ 通り

・・・カキ

$p_9$ は 9 回目と 10 回目に連続して赤玉が取り出されるので，8 回目の取り出しを終えた時点で白玉がすべて取り出されていることになる。したがって

$p_9=\cfrac{70}{210}=\cfrac{1}{3}$

・・・クケ

また，$p_3$ では 3 回目と 4 回目に連続して赤玉が取り出されている。

(i) 赤－赤－赤－赤　の順で引くとき

$\cfrac{6}{10}\times\cfrac{5}{9}\times\cfrac{4}{8}\times\cfrac{3}{7}=\cfrac{1}{14}$

(ii) 赤－白－赤－赤　の順で引くとき

$\cfrac{6}{10}\times\cfrac{4}{9}\times\cfrac{5}{8}\times\cfrac{4}{7}=\cfrac{2}{21}$

(iii) 白－赤－赤－赤　の順で引くとき

$\cfrac{4}{10}\times\cfrac{6}{9}\times\cfrac{5}{8}\times\cfrac{4}{7}=\cfrac{2}{21}$

(iv) 白－白－赤－赤　の順で引くとき

$\cfrac{4}{10}\times\cfrac{3}{9}\times\cfrac{6}{8}\times\cfrac{5}{7}=\cfrac{1}{14}$

したがって

$\cfrac{1}{14}+\cfrac{2}{21}+\cfrac{2}{21}+\cfrac{1}{14}=\cfrac{1}{3}$

・・・コサ

(3)

(i) 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個取り出されているとき

このとき，白玉は 2 個取り出されているから

$\cfrac{_6C_2\times_4C_2}{_{10}C_4}$
$=\cfrac{\cfrac{6\cdot5}{2}\times\cfrac{4\cdot3}{2}}{\cfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2}}$
$=\cfrac{90}{210}$

(ii) 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 3 個取り出されているとき

このとき，白玉は 1 個取り出されているから

$\cfrac{_6C_3\times_4C_1}{_{10}C_4}$
$=\cfrac{\cfrac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2}\times4}{120}$
$=\cfrac{80}{210}$

(iii) 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 4 個取り出されているとき

$\cfrac{_6C_4}{_{10}C_4}=\cfrac{_6C_2}{_{10}C_4}$
$=\cfrac{\cfrac{6\cdot5}{2}}{120}$
$=\cfrac{15}{210}$

したがって

$\cfrac{90+80+15}{210}=\cfrac{37}{42}$

・・・シスセソ

さらに，1 回目と 2 回目に連続して赤玉が取り出されている場合を考えると

赤－赤－赤－赤
赤－赤－白－赤
赤－赤－赤－白
赤－赤－白－白

の組み合わせとなり，これは $p_3$ と等しい。したがって，条件付き確率を求めると

$\cfrac{\cfrac{1}{3}}{\space\cfrac{37}{42}\space}=\cfrac{\cfrac{1}{3}\times42}{\space\cfrac{37}{42}\times42\space}$
$=\cfrac{14}{37}$

・・・タチツテ

(4)

4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個以上取り出されている確率は(3)より $\cfrac{37}{42}$ である。また，9 回目と 10 回目で連続して赤玉が取り出されるとき，8 回目の取り出しを終えた時点で赤玉 4 個，白玉 4 個が取り出されている。

(i) 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個取り出されているとき

5 回目から 8 回目までにおいて赤玉 2 個，白玉 2 個が取り出される

$\cfrac{90}{210}\times\cfrac{_4C_2\times_2C_2}{_6C_4}$
$\cfrac{90}{210}\times\cfrac{_4C_2\times_2C_2}{_6C_2}$
$=\cfrac{90}{210}\times\cfrac{\cfrac{4\cdot3}{2}\times1}{\cfrac{6\cdot5}{2}}$
$=\cfrac{90}{210}\times\cfrac{6}{15}$
$=\cfrac{36}{210}$

(ii) 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 3 個取り出されているとき

5 回目から 8 回目までにおいて赤玉 1 個，白玉 3 個が取り出される

$\cfrac{80}{210}\times\cfrac{_3C_1\times_3C_3}{_6C_4}$
$\cfrac{80}{210}\times\cfrac{3\times1}{15}$
$=\cfrac{16}{210}$

(iii) 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 4 個取り出されているとき

5 回目から 8 回目までにおいて白玉 4 個が取り出される

$\cfrac{15}{210}\times\cfrac{_4C_4}{_6C_4}$
$\cfrac{15}{210}\times\cfrac{1}{15}$
$=\cfrac{1}{210}$

よって

$\cfrac{36+16+1}{210}=\cfrac{53}{210}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\enspace\cfrac{53}{210}\enspace}{\cfrac{37}{42}}=\cfrac{\enspace\cfrac{53}{210}\times210\enspace}{\cfrac{37}{42}\times210}$
$=\cfrac{53}{185}$

・・・トナニヌネ

(5)

問題文の操作は，取り出した玉を 1 列に並べ，それらのうち 3 個の玉に印をつけることと等しい。

印をつけずに取り出した玉を１列に並べたとき，9 番目と 10 番目に赤玉が並ぶ確率は(1)の $p_9$ に等しいので，$\cfrac{1}{3}$ である。

さらに，3 個の玉に印をつけるとき，9 番目と 10 番目に印がつけられる組み合わせを考えると

〇×××××××〇〇
×〇××××××〇〇
××〇×××××〇〇
　　　↓
×××××××〇〇〇

の 8 通りである。確率は

$\cfrac{8}{_{10}C_3}=\cfrac{8}{120}=\cfrac{1}{15}$

したがって，求める確率は

$\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{15}=\cfrac{1}{45}$

・・・ノハヒ

問題文

　つぼの中に 6 個の赤玉と 4 個の白玉の合計 10 個の玉が入っている。このつぼから，玉を 1 個ずつ 10 回続けて取り出す。ただし，一度取り出した玉は元に戻さないものとする。

(1) 1 回目と 2 回目に連続して赤玉が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ア }}}{\boxed{\text{ イ }}}$ である。

(2) $i$ を 2 から 9 までの整数とし，$i$ 回目と $(i+1)$ 回目に連続して赤玉が取り出される確率 $p_i$ を考える。同じ色の玉は区別しない場合，10 個すべての玉の取り出し方は，取り出した玉を 1 列に並べる並べ方の総数に等しく，$\boxed{\text{ ウエオ }}$ 通りである。それらのうち，8 回目の取り出しを終えた時点で白玉がすべて取り出されている取り出し方は $\boxed{\text{ カキ }}$ 通りである。よって，$p_9$ の値は $\cfrac{\boxed{\text{ ク }}}{\boxed{\text{ ケ }}}$ である。また，$p_3$ の値は $\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サ }}}$ である。

(3) 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個以上取り出されている確率は $\cfrac{\boxed{\text{ シス }}}{\boxed{\text{ セソ }}}$ である。よって，4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個以上取り出されていたとき，1 回目と 2 回目に連続して赤玉が取り出されている条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{ タチ }}}{\boxed{\text{ ツテ }}}$ である。

(4) 4 回目の取り出しを終えた時点で赤玉が 2 個以上取り出されていたとき，9 回目と 10 回目に連続して赤玉が取り出される条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{ トナ }}}{\boxed{\text{ ニヌネ }}}$ である。

(5) つぼからまず 3 個の玉を同時に取り出して，玉の色は確認せずに印をつけてつぼに戻したのち，改めて玉を 1 個ずつ 10 回続けて取り出す。一度取り出した玉はもとに戻さない。9 回目と 10 回目に連続して印のついて赤玉が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ノ }}}{\boxed{\text{ ハヒ }}}$ である。