【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2020追試【解説・正解・問題】

1 2 3 4 5

第1問

正解と解説

アイ 36  ウエ 38  オ 6
カキ 50  クケ 26
コ,サ,シス,セ 5,2,26,2
ソタ,チ -4,6
ツ 3 テ 0
トナ,ニ,ヌ -1,4,2
ネ 2  ノ 8
ハヒ,フヘ -2,16

〔1〕

$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})$

$=361-325=36$

・・・アイ

$19+5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\alpha$ とすると

$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$

$19-5\sqrt{3}$ の正の平方根を $\beta$ とすると

$\beta=\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

となるので

$\alpha^2+\beta^2=19+5\sqrt{13}+19-5\sqrt{13}$
$=38$

・・・ウエ

$\alpha\beta=\sqrt{19+5\sqrt{13}}\times\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

$=\sqrt{(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})}$

$=\sqrt{361-325}=\sqrt{36}$

$=6$

・・・オ

$(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$

$=38+2\times6=50$

・・・カキ

$(\alpha-\beta)^2=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta$

$=38-2\times6=26$

・・・クケ

さらに

$(\alpha+\beta)^2=50$ より

$\alpha+\beta=\pm\sqrt{50}=\pm5\sqrt{2}$

$\alpha,\beta$ はともに正の平方根だから

$\alpha+\beta=5\sqrt{2}$

また

$(\alpha-\beta)^2=26$ より

$\alpha-\beta=\pm\sqrt{26}$

ここで $\alpha-\beta$ が正の値か負の値かを考える。

$19+5\sqrt{13}>19-5\sqrt{13}$  だから

$\sqrt{19+5\sqrt{13}}>\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

$\alpha>\beta$

となるので $\alpha-\beta$ は正の実数である。

よって,$\alpha-\beta=\sqrt{26}$

$\alpha+\beta=5\sqrt{2}$ と $\alpha-\beta=\sqrt{26}$ を連立すると

$2\alpha=5\sqrt{2}+\sqrt{26}$

$\alpha=\cfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$

・・・コサシスセ

これを $\alpha+\beta=5\sqrt{2}$ に代入すると

$\cfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}+\beta=5\sqrt{2}$

$\beta=5\sqrt{2}-\cfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$

$=\cfrac{10\sqrt{2}-5\sqrt{2}-\sqrt{26}}{2}=\cfrac{5\sqrt{2}-\sqrt{26}}{2}$

〔2〕(1)

$p\implies q$ が真のときを考えると

$|x-a|>3$ は

$x-a\geqq 0$ のとき

$x-a>3$

$x>3+a$

$x-a<0$ のとき

$-x+a>3$

$-x>3-a$

$x<-3+a$

よって

$3+a<x<-3+a$

$p\implies q$ が真であるとき,$q$ の範囲は $p$ よりも広い。

したがって

$3+a<-1$

$a<-4$

・・・ソタ

$3<-3+a$

$6<a$

・・・チ

〔2〕(2)

$a=6$ のとき

$q:|x-6|>3$

となる。

ここで,$p:-1\leqq x\leqq 3$ であることに注意して,$x$ の値のうち,$p$ に当てはまらないものを考えると

$x=3$ のとき

$|3-6|>3$

$3>3$

となり,矛盾する。したがって,$x=3$ は命題「$p\implies q$」の反例である。

・・・ツ

〔2〕(3)

$a=1$ のとき

$q:|x-1|>3$

となる。

$x-1\geqq0$ のとき

$x-1>3$

$x>4$

また,$x-1<0$ のとき

$-x+1>3$

$-x>2$

$x<-2$

よって,$q$ は「$x<-2$ または $x>4$」だから

$\bar{q}:-2\leqq x\leqq4$

となる。さらに

$\bar{p}:x<-1$ または $x>3$ だから

$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$ : $-2\leqq x<-1$ または $3<x\leqq4$

よって,「$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$」$\implies r$ は偽。$r\implies$ 「$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$」は真。

したがって,$a=1$ のとき,条件「$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$」は条件 $r$ であるための必要条件であるが,十分条件ではない。

・・・テ

〔3〕(1)

式を展開すると

$f(x)=(x-a)(x-4)+4$

$=x^2-(a+4)x+4a+4$

式を平方完成すると

$=\Big(x-\cfrac{a+4}{2}\Big)^2-\cfrac{(a+4)^2}{2}+4a+4$
$=\Big(x-\cfrac{a+4}{2}\Big)^2-\cfrac{a^2+8a+16-16a-16}{4}$
$=\Big(x-\cfrac{a+4}{2}\Big)^2-\cfrac{a^2-8a}{4}$
$=\Big(x-\cfrac{a+4}{2}\Big)^2-\cfrac{a^2}{4}+2a$

したがって,$y=f(x)$ の最小値は

$\cfrac{-1}{4}a^2+2a$

・・・トナニヌ

〔3〕(2)

$a-2\leqq x\leqq a+2$ における最大値を求めると

$f(x)=(x-a)(x-4)+4$ より

$f(a)=4,f(4)=4$ となる

$a$ は 4 以上の定数であることに注意してグラフを描くと

このように,$f(x)=4$ の直線を引くと,それぞれの値の位置関係がつかみやすくなる。

したがって,最大値は

$f(a+2)=(a+2-a)(a+2-4)+4$
$=2(a-2)+4$
$=2a-4+4$
$=2a$

・・・ネ

また,最小値を考えると

(i) $a-2\leqq\cfrac{a+4}{2}$ のとき

不等式を変形して

$2a-4\leqq a+4$
$a\leqq 8$

$a$ は 4 以上の定数だから

$4\leqq a\leqq8$

・・・ノ

最小値は $x=\cfrac{a+4}{2}$ のとき

$\cfrac{-1}{4}a^2+2a$

(ii) $8<a$ のとき

最小値は,$x=a^2$ のとき

$f(a-2)=(a-2-a)(a-2-4)+4$
$=-2(a-6)+4$
$=-2a+12+4$
$=-2a+16$

・・・ハヒフヘ

問題文

〔1〕$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{3})=\boxed{\text{アイ}}$ であるから,$19-5\sqrt{13}$ は正の実数である。$19+5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\alpha$ とし,$19-5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\beta$ とする。このとき
$\alpha^2+\beta^2=\boxed{\text{ウエ}}$,$\alpha\beta=\boxed{\text{オ}}$
であり
$(\alpha+\beta)^2=\boxed{\text{カキ}}$,$(\alpha-\beta)^2=\boxed{\text{クケ}}$
である。したがって
$\alpha=\cfrac{\boxed{\text{ コ }}\sqrt{\boxed{\text{ サ }}}+\sqrt{\boxed{\text{ シス }}}}{\boxed{\text{ セ }}}$
$\beta=\cfrac{\boxed{\text{ コ }}\sqrt{\boxed{\text{ サ }}}-\sqrt{\boxed{\text{ シス }}}}{\boxed{\text{ セ }}}$

〔2〕 $a$ を定数とする。実数 $x$ に関する二つの条件 $p,q$ を次のように定める。
$p:-1\leqq x\leqq3$
$q:|x-a|>3$
条件 $p,q$ の否定を $\bar{p},\bar{q}$ で表す。

(1) 命題「$p\implies q$」が真であるような $a$ の値の範囲は
$a<\boxed{\text{ ソタ }}$,$\boxed{\text{ チ }}< a$
である。

(2) $a=\boxed{\text{ チ }}$ のとき,$x=\boxed{\text{ ツ }}$ は命題「$p\implies q$」の反例である。

(3) 実数 $x$ に関する条件 $r$ を次のように定める。
$r:3 < x \leqq 4$
次の $\boxed{\text{ テ }}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つ選べ。
$\alpha=1$ のとき,条件「$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$」は条件 $r$ であるための $\boxed{\text{ テ }}$。

⓪ 必要条件であるが,十分条件ではない
① 十分条件であるが,必要条件ではない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない

〔3〕 $a$ を 4 以上の定数とし,$f(x)=(x-a)(x-4)+4$ とおく。

(1) 2 次関数 $y=f(x)$ の最小値は $\cfrac{\boxed{\text{ トナ }}}{\boxed{\text{ ニ }}}\space a^2+\boxed{\text{ ヌ }}\space a$ である。

(2) 2 次関数 $y=f(x)$ の $a-2\leqq x\leqq a+2$ における最大値は $\boxed{\text{ ネ }}\space a$ である。 また,2 次関数 $y=f(x)$ の $a-2\leqq x\leqq a+2$ における最小値は $4\leqq a\leqq \boxed{\text{ ノ }}$ のとき,$\cfrac{\boxed{\text{ トナ }}}{\boxed{\text{ ニ }}}\space a^2+\boxed{\text{ ヌ }}\space a$ であり,$\boxed{\text{ ノ }}< a$ のとき,$\boxed{\text{ ハヒ }}\space a+\boxed{\text{ フヘ }}$ である。

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