共テ・センター数学 高校数学の解法

【センター過去問】数学IA2020追試【問題・解答・解説】

最後のセンター試験となった2020追試は,本試以上に共通テストを意識したものとなっている。共通テストで求められる思考力とは具体的にどういうものなのかをふんだんに盛り込んだ内容となっている。

第1問

解答と解説

アイ 36  ウエ 38  オ 6
カキ 50  クケ 26
コ,サ,シス,セ 5,2,26,2
ソタ,チ -4,6
ツ 3 テ 0
トナ,ニ,ヌ -1,4,2
ネ 2  ノ 8
ハヒ,フヘ -2,16

ad

〔1〕

$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})$

$=361-325=36$

・・・アイ

$19+5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\alpha$ とすると

$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$

$19-5\sqrt{3}$ の正の平方根を $\beta$ とすると

$\beta=\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

となるので

$\alpha^2+\beta^2=19+5\sqrt{13}+19-5\sqrt{13}$
$=38$

・・・ウエ

$\alpha\beta=\sqrt{19+5\sqrt{13}}\times\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

$=\sqrt{(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})}$

$=\sqrt{361-325}=\sqrt{36}$

$=6$

・・・オ

$(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$

$=38+2\times6=50$

・・・カキ

$(\alpha-\beta)^2=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta$

$=38-2\times6=26$

・・・クケ

さらに

$(\alpha+\beta)^2=50$ より

$\alpha+\beta=\pm\sqrt{50}=\pm5\sqrt{2}$

$\alpha,\beta$ はともに正の平方根だから

$\alpha+\beta=5\sqrt{2}$

また

$(\alpha-\beta)^2=26$ より

$\alpha-\beta=\pm\sqrt{26}$

ここで $\alpha-\beta$ が正の値か負の値かを考える。

$19+5\sqrt{13}>19-5\sqrt{13}$  だから

$\sqrt{19+5\sqrt{13}}>\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

$\alpha>\beta$

となるので $\alpha-\beta$ は正の実数である。

よって,$\alpha-\beta=\sqrt{26}$

$\alpha+\beta=5\sqrt{2}$ と $\alpha-\beta=\sqrt{26}$ を連立すると

$2\alpha=5\sqrt{2}+\sqrt{26}$

$\alpha=\cfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$

・・・コサシスセ

これを $\alpha+\beta=5\sqrt{2}$ に代入すると

$\cfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}+\beta=5\sqrt{2}$

$\beta=5\sqrt{2}-\cfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$

$=\cfrac{10\sqrt{2}-5\sqrt{2}-\sqrt{26}}{2}=\cfrac{5\sqrt{2}-\sqrt{26}}{2}$

〔2〕

ad

(1)

$p\implies q$ が真のときを考えると

$|x-a|>3$ は

$x-a\geqq 0$ のとき

$x-a>3$

$x>3+a$

$x-a<0$ のとき

$-x+a>3$

$-x>3-a$

$x<-3+a$

よって

$3+a<x<-3+a$

$p\implies q$ が真であるとき,$q$ の範囲は $p$ よりも広い。

したがって

$3+a<-1$

$a<-4$

・・・ソタ

$3<-3+a$

$6<a$

・・・チ

(2)

$a=6$ のとき

$q:|x-6|>3$

となる。

ここで,$p:-1\leqq x\leqq 3$ であることに注意して,$x$ の値のうち,$p$ に当てはまらないものを考えると

$x=3$ のとき

$|3-6|>3$

$3>3$

となり,矛盾する。したがって,$x=3$ は命題「$p\implies q$」の反例である。

・・・ツ

(3)

$a=1$ のとき

$q:|x-1|>3$

となる。

$x-1\geqq0$ のとき

$x-1>3$

$x>4$

また,$x-1<0$ のとき

$-x+1>3$

$-x>2$

$x<-2$

よって,$q$ は「$x<-2$ または $x>4$」だから

$\bar{q}:-2\leqq x\leqq4$

となる。さらに

$\bar{p}:x<-1$ または $x>3$ だから

$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$ : $-2\leqq x<-1$ または $3<x\leqq4$

よって,「$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$」$\implies r$ は偽。$r\implies$ 「$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$」は真。

したがって,$a=1$ のとき,条件「$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$」は条件 $r$ であるための必要条件であるが,十分条件ではない。

・・・テ

〔3〕

(1)

式を展開すると

$f(x)=(x-a)(x-4)+4$

$=x^2-(a+4)x+4a+4$

式を平方完成すると

$=\Big(x-\cfrac{a+4}{2}\Big)^2-\cfrac{(a+4)^2}{2}+4a+4$
$=\Big(x-\cfrac{a+4}{2}\Big)^2-\cfrac{a^2+8a+16-16a-16}{4}$
$=\Big(x-\cfrac{a+4}{2}\Big)^2-\cfrac{a^2-8a}{4}$
$=\Big(x-\cfrac{a+4}{2}\Big)^2-\cfrac{a^2}{4}+2a$

したがって,$y=f(x)$ の最小値は

$\cfrac{-1}{4}a^2+2a$

・・・トナニヌ

(2)

$a-2\leqq x\leqq a+2$ における最大値を求めると

$f(x)=(x-a)(x-4)+4$ より

$f(a)=4,f(4)=4$ となる

$a$ は 4 以上の定数であることに注意してグラフを描くと

このように,$f(x)=4$ の直線を引くと,それぞれの値の位置関係がつかみやすくなる。

したがって,最大値は

$f(a+2)=(a+2-a)(a+2-4)+4$
$=2(a-2)+4$
$=2a-4+4$
$=2a$

・・・ネ

また,最小値を考えると

(i) $a-2\leqq\cfrac{a+4}{2}$ のとき

不等式を変形して

$2a-4\leqq a+4$
$a\leqq 8$

$a$ は 4 以上の定数だから

$4\leqq a\leqq8$

・・・ノ

最小値は $x=\cfrac{a+4}{2}$ のとき

$\cfrac{-1}{4}a^2+2a$

(ii) $8<a$ のとき

最小値は,$x=a^2$ のとき

$f(a-2)=(a-2-a)(a-2-4)+4$
$=-2(a-6)+4$
$=-2a+12+4$
$=-2a+16$

・・・ハヒフヘ

問題文

〔1〕$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{3})=\boxed{\text{アイ}}$ であるから,$19-5\sqrt{13}$ は正の実数である。$19+5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\alpha$ とし,$19-5\sqrt{13}$ の正の平方根を $\beta$ とする。このとき
$\alpha^2+\beta^2=\boxed{\text{ウエ}}$,$\alpha\beta=\boxed{\text{オ}}$
であり
$(\alpha+\beta)^2=\boxed{\text{カキ}}$,$(\alpha-\beta)^2=\boxed{\text{クケ}}$
である。したがって
$\alpha=\cfrac{\boxed{\text{ コ }}\sqrt{\boxed{\text{ サ }}}+\sqrt{\boxed{\text{ シス }}}}{\boxed{\text{ セ }}}$
$\beta=\cfrac{\boxed{\text{ コ }}\sqrt{\boxed{\text{ サ }}}-\sqrt{\boxed{\text{ シス }}}}{\boxed{\text{ セ }}}$

〔2〕 $a$ を定数とする。実数 $x$ に関する二つの条件 $p,q$ を次のように定める。
$p:-1\leqq x\leqq3$
$q:|x-a|>3$
条件 $p,q$ の否定を $\bar{p},\bar{q}$ で表す。

(1) 命題「$p\implies q$」が真であるような $a$ の値の範囲は
$a<\boxed{\text{ ソタ }}$,$\boxed{\text{ チ }}< a$
である。

(2) $a=\boxed{\text{ チ }}$ のとき,$x=\boxed{\text{ ツ }}$ は命題「$p\implies q$」の反例である。

(3) 実数 $x$ に関する条件 $r$ を次のように定める。
$r:3 < x \leqq 4$
次の $\boxed{\text{ テ }}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つ選べ。
$\alpha=1$ のとき,条件「$\bar{p}$ かつ $\bar{q}$」は条件 $r$ であるための $\boxed{\text{ テ }}$。

⓪ 必要条件であるが,十分条件ではない
① 十分条件であるが,必要条件ではない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない

〔3〕 $a$ を 4 以上の定数とし,$f(x)=(x-a)(x-4)+4$ とおく。

(1) 2 次関数 $y=f(x)$ の最小値は $\cfrac{\boxed{\text{ トナ }}}{\boxed{\text{ ニ }}}\space a^2+\boxed{\text{ ヌ }}\space a$ である。

(2) 2 次関数 $y=f(x)$ の $a-2\leqq x\leqq a+2$ における最大値は $\boxed{\text{ ネ }}\space a$ である。 また,2 次関数 $y=f(x)$ の $a-2\leqq x\leqq a+2$ における最小値は $4\leqq a\leqq \boxed{\text{ ノ }}$ のとき,$\cfrac{\boxed{\text{ トナ }}}{\boxed{\text{ ニ }}}\space a^2+\boxed{\text{ ヌ }}\space a$ であり,$\boxed{\text{ ノ }}< a$ のとき,$\boxed{\text{ ハヒ }}\space a+\boxed{\text{ フヘ }}$ である。

タイトルとURLをコピーしました