【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2020本試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

アイ ウエ 26 11　オカ キク 96 48

ケ 9　コサ 11　シス 36

セ,ソ 5,1　タ 6

(1)

$100\times x-x=236.\dot{3}\dot{6}-2.\dot{3}\dot{6}$

$99x=234$

$x=\cfrac{234}{99}=\cfrac{26}{11}$

・・・アイウエ

(2)

$49\times y-y=2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)}-2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$

$48x=2ab_{(7)}-2_{(7)}$

右辺を 10 進法になおすと

$48x=2\times7^2+a\times7^1+b\times7^0-2$

$48y=98+7\times a+b-2$

$y=\cfrac{96+7\times a+b}{48}$

・・・オカキク

(i)

$y$ の分母は $48$ であり，$12$ で割ると $4$ になる。つまり，分子が $12$ で割り切れる数であれば約分して分母が $4$ になる。

まず，$96$ は $12$ で割り切れる。

次に，$7\times a+b$ を考えると，$a,b$ が $0$ 以上 $6$ 以下の異なる整数であることに注意して

$(a,b)=(1,5)$ のとき $12$

$(a,b)=(5,1)$ のとき $36$

したがって

$y=\cfrac{96+12}{48}=\cfrac{9}{4}$

または

$y=\cfrac{96+36}{48}=\cfrac{11}{4}$

・・・ケコサ

さらに，$y=\cfrac{11}{4}$ のとき，$7\times a+b=36$ であるから

$a=5$，$b=1$

である。

・・・セソ

(ii)

$y-2=\cfrac{96+7\times a +b}{48}-2$

$y=\cfrac{7\times a+b}{48}$

ここで，$7\times a+b$ が $48$ の約数であれば，約分して分子が $1$ になる。

$48$ の約数は $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$ の $10$ 個である。ここから，条件に当てはまらないものを除くとよい。

まず，$48$ は $\cfrac{48}{48}=1$ となるので，不適。

また，$a$ と $b$ は異なる整数だから

$(a,b)=(1,1)$ のとき $7\times a+b=8$ となるので，$8$ は不適。

$(a,b)=(2,2)$ のとき $7\times a+b=16$ となるので，$16$ は不適。

$(a,b)=(3,3)$ のとき $7\times a+b=24$ となるので，$24$ は不適。

したがって，4 つの約数が不適だから，全部で $10-4=6$ 個

・・・タ

第4問　問題文

(1) $x$ を循環小数 $2.\dot{3}\dot{6}$ とする。すなわち

$x = 2.363636\cdots\cdots$

とする。このとき

$100\times x-x=236.\dot{3}\dot{6} – 2.\dot{3}\dot{6}$

であるから, $x$ を分数で表すと

$x=\cfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$

である。

(2) 有理数 $y$ は, 7 進法で表すと, 二つの数字の並び $ab$ が繰り返し現れる循環小数 $2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$ になるとする。ただし, $a$, $b$ は 0 以上 6 以下の異なる整数である。このとき

$49\times y – y = 2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)}-2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$

であるから

$y=\cfrac{\boxed{\text{オカ}}+7\times a+b}{\boxed{\text{キク}}}$

と表せる。

(i) $y$ が, 分子が奇数で分母が 4 である分数で表されるのは

$y=\cfrac{\boxed{\text{ケ}}}{4}$ または $y=\cfrac{\boxed{\text{コサ}}}{4}$

のときである。$y=\cfrac{\boxed{\text{コサ}}}{4}$ のときは, $7\times a+b=\boxed{\text{シス}}$ であるから

$a=\boxed{\text{セ}}$, $\boxed{\text{ソ}}$

である。

(ii) $y-2$ は, 分子が 1 で分母が 2 以上の整数である分数で表されるとする。このような $y$ の個数は, 全部で $\boxed{\text{タ}}$ 個である。