【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2020本試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア,イ 0,2　または 0,2　ウ エ 1 4

オ カ 1 2　キ 3　ク ケ 3 8

コ サシ 7 32　ス セ 4,7

〔1〕

⓪ 1 回も表が出ない確率を求め，全事象から引けばよい。

$\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^5=\cfrac{1}{32}=0.031\cdots$

$1-0.031=0.969$

したがって，正しい。

① 5 回の試行で確率を決めることはできない。

② 2 枚のカードが同じ文字である確率を求め，全事象から引けばよい。

(i) 2 枚とも「ろ」の場合

$\cfrac{1}{_5C_2}=\cfrac{1}{\cfrac{5\cdot4}{2\cdot1}}=\cfrac{1}{10}$

(ii) 2 枚とも「は」の場合

$\cfrac{1}{_5C_2}=\cfrac{1}{10}$

よって，2 枚とも同じ文字である確率は

$\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{10}=\cfrac{1}{5}$

書かれた文字が異なる確率は

$1-\cfrac{1}{5}=\cfrac{4}{5}$

したがって，② は正しい。

③

(i) コインが実際に表であり，かつ 2 体のロボットが「オモテ」と発言する確率は

$\cfrac{1}{2}\times0.9\times0.9=0.405$

(ii) コインが実際は裏であり，かつ 2 体のロボットが「オモテ」と発言する確率は

$\cfrac{1}{2}\times0.1\times0.1=0.005$

2 体のロボットがともに「オモテ」と発言する確率は

$0.405+0.005=0.41$

よって，2 体のロボットがともに「オモテ」と発言し，実際に表が出ている条件付き確率は

$p=\cfrac{0.405}{0.41}=0.98\cdots$

したがって，誤り。

・・・アイ

〔2〕

(1)

コインを 2 回投げ終わって持ち点が $-2$ 点であるとき，その組合せは $-1$，$-1$ 点だから

$\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{4}$

・・・ウエ

また，持ち点が 1 点であるとき，その組合せは $2$，$-1$ 点であり，反復試行の確率を用いて

$_2C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1=2\times\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}$

・・・オカ

(2)

コインを投げるのは最大で 5 回であることに注意して，持ち点が再び 0 点になる組合せは $2$，$-1$，$-1$ 点であり，コインを 3 回投げ終わったときである。

・・・キ

また，その確率は

$_3C_1=\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^2=3\times\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{8}$

・・・クケ

(3)

コインを 5 回投げて持ち点が 4 点になる組合せは $2,2,2-1,-1$ 点である。ただし，3 回目の時点で $2,-1,-1$ 点の組合せがあるとゲームが終了するので，3 回目までと 4, 5 回目を分けて考えるとよい。

(i) 3 回目の時点で $2,2,-1$ 点，4，5 回目が $2,-1$ 点の場合

$_3C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^2\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\times_2C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1$

$=\cfrac{3}{8}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{16}$

(ii) 3 回目の時点で $2,2,2$ 点，4，5 回目が $-1,-1$ 点の場合

$\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^3\times\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^2=\cfrac{1}{32}$

したがって，確率は

$\cfrac{3}{16}+\cfrac{1}{32}=\cfrac{7}{32}$

・・・コサシ

(4)

コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点になる組合せは $2,-1$ 点である。このとき 3 回目が $-1$ 点だとゲームが終了するので 3 回目は $2$ 点である。よって，4，5 回目の組合せは $2,-1$ 点である。

$_2C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\times\cfrac{1}{2}\times_2C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1$

$=\cfrac{1}{8}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\enspace\cfrac{1}{8}\enspace}{\cfrac{7}{32}}=\cfrac{\enspace\cfrac{1}{8}\times32\enspace}{\cfrac{7}{32}\times32}=\cfrac{4}{7}$

・・・スセ

第3問　問題文

〔1〕 次の$\boxed{\text{ア}}$, $\boxed{\text{イ}}$ に当てはまるものを,下の①~④のうちから一つずつ選べ。ただし,解答の順序は問わない。

正しい記述は $\boxed{\text{ア}}$ と $\boxed{\text{イ}}$ である。

⓪ 1 枚のコインを投げる試行を 5 回繰り返すとき,少なくとも 1 回は表が出る確率を $p$ とすると, $P \gt 0.95$ である。

① 袋の中に赤球と白球が合わせて 8 個入っている。球を 1 個取り出し,色を調べてから袋に戻す試行を行う。この試行を 5 回繰り返したところ赤球が 3 回出た。したがって, 1 回の試行で赤球が出る確率は $\cfrac{3}{5}$ である。

② 箱の中に「い」と書かれたカードが 1 枚,「ろ」と書かれたカードが 2 枚,「は」と書かれたカードが 2 枚の合計 5 枚のカードが入っている。同時に 2 枚のカードを取り出すとき,書かれた文字が異なる確率は $\cfrac{4}{5}$ である。

③ コインの面を見て「オモテ(表)」または「ウラ(裏)」とだけ発言するロボッ トが 2 体ある。ただし,どちらのロボットも出た面に対して正しく発言する確率が 0.9, 正しく発言しない確率が 0.1 であり,これら 2 体は互いに影響されることなく発言するものとする。いま、ある人が 1 枚のコインを投げる。出た面を見た 2 体が,ともに「オモテ」と発言したときに,実際に表が出ている確率を $p$ とすると, $p\leqq0.9$ である。

〔2〕 1 枚のコインを最大で 5 回投げるゲームを行う。このゲームでは, 1 回投げるごとに表が出たら持ち点に 2 点を加え,裏が出たら持ち点に $-1$ 点を加える。はじめの持ち点は 0 点とし, ゲーム終了のルールを次のように定める。

・持ち点が再び 0 点になった場合は,その時点で終了する。

・持ち点が再び 0 点にならない場合は,コインを 5 回投げ終わった時点で終了する。

(1) コインを 2 回投げ終わって持ち点が $-2$ 点である確率は $\cfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$ である。また, コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点である確率は $\cfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。

(2) 持ち点が再び 0 点になることが起こるのは, コインを「 $\boxed{\text{キ}}$ 回投げ終わったときである。コインを $\boxed{\text{キ}}$ 回投げ終わって持ち点が 0 点になる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$ である。

(3) ゲームが終了した時点で持ち点が 4 点である確率は $\cfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$ である。

(4) ゲームが終了した時点で持ち点が 4 点であるとき, コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点である条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}$ である。