第3問 解答・解説
ア,イ 0,2 または 0,2 ウ エ 1 4
オ カ 1 2 キ 3 ク ケ 3 8
コ サシ 7 32 ス セ 4,7
〔1〕
⓪ 1 回も表が出ない確率を求め,全事象から引けばよい。
(21)5=321=0.031⋯
1−0.031=0.969
したがって,正しい。
① 5 回の試行で確率を決めることはできない。
② 2 枚のカードが同じ文字である確率を求め,全事象から引けばよい。
(i) 2 枚とも「ろ」の場合
5C21=2⋅15⋅41=101
(ii) 2 枚とも「は」の場合
5C21=101
よって,2 枚とも同じ文字である確率は
101+101=51
書かれた文字が異なる確率は
1−51=54
したがって,② は正しい。
③
(i) コインが実際に表であり,かつ 2 体のロボットが「オモテ」と発言する確率は
21×0.9×0.9=0.405
(ii) コインが実際は裏であり,かつ 2 体のロボットが「オモテ」と発言する確率は
21×0.1×0.1=0.005
2 体のロボットがともに「オモテ」と発言する確率は
0.405+0.005=0.41
よって,2 体のロボットがともに「オモテ」と発言し,実際に表が出ている条件付き確率は
p=0.410.405=0.98⋯
したがって,誤り。
・・・アイ
〔2〕
(1)
コインを 2 回投げ終わって持ち点が −2 点であるとき,その組合せは −1,−1 点だから
21×21=41
・・・ウエ
また,持ち点が 1 点であるとき,その組合せは 2,−1 点であり,反復試行の確率を用いて
2C1(21)1(21)1=2×21×21=21
・・・オカ
(2)
コインを投げるのは最大で 5 回であることに注意して,持ち点が再び 0 点になる組合せは 2,−1,−1 点であり,コインを 3 回投げ終わったときである。
・・・キ
また,その確率は
3C1=(21)1(21)2=3×21×41=83
・・・クケ
(3)
コインを 5 回投げて持ち点が 4 点になる組合せは 2,2,2−1,−1 点である。ただし,3 回目の時点で 2,−1,−1 点の組合せがあるとゲームが終了するので,3 回目までと 4, 5 回目を分けて考えるとよい。
(i) 3 回目の時点で 2,2,−1 点,4,5 回目が 2,−1 点の場合
3C1(21)2(21)1×2C1(21)1(21)1
=83×21=163
(ii) 3 回目の時点で 2,2,2 点,4,5 回目が −1,−1 点の場合
(21)3×(21)2=321
したがって,確率は
163+321=327
・・・コサシ
(4)
コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点になる組合せは 2,−1 点である。このとき 3 回目が −1 点だとゲームが終了するので 3 回目は 2 点である。よって,4,5 回目の組合せは 2,−1 点である。
2C1(21)1(21)1×21×2C1(21)1(21)1
=81
したがって,条件付き確率は
32781=327×3281×32=74
・・・スセ
第3問 問題文
〔1〕 次のア, イ に当てはまるものを,下の①~④のうちから一つずつ選べ。ただし,解答の順序は問わない。
正しい記述は ア と イ である。
⓪ 1 枚のコインを投げる試行を 5 回繰り返すとき,少なくとも 1 回は表が出る確率を p とすると, P>0.95 である。
① 袋の中に赤球と白球が合わせて 8 個入っている。球を 1 個取り出し,色を調べてから袋に戻す試行を行う。この試行を 5 回繰り返したところ赤球が 3 回出た。したがって, 1 回の試行で赤球が出る確率は 53 である。
② 箱の中に「い」と書かれたカードが 1 枚,「ろ」と書かれたカードが 2 枚,「は」と書かれたカードが 2 枚の合計 5 枚のカードが入っている。同時に 2 枚のカードを取り出すとき,書かれた文字が異なる確率は 54 である。
③ コインの面を見て「オモテ(表)」または「ウラ(裏)」とだけ発言するロボッ トが 2 体ある。ただし,どちらのロボットも出た面に対して正しく発言する確率が 0.9, 正しく発言しない確率が 0.1 であり,これら 2 体は互いに影響されることなく発言するものとする。いま、ある人が 1 枚のコインを投げる。出た面を見た 2 体が,ともに「オモテ」と発言したときに,実際に表が出ている確率を p とすると, p≦0.9 である。
〔2〕 1 枚のコインを最大で 5 回投げるゲームを行う。このゲームでは, 1 回投げるごとに表が出たら持ち点に 2 点を加え,裏が出たら持ち点に −1 点を加える。はじめの持ち点は 0 点とし, ゲーム終了のルールを次のように定める。
・持ち点が再び 0 点になった場合は,その時点で終了する。
・持ち点が再び 0 点にならない場合は,コインを 5 回投げ終わった時点で終了する。
(1) コインを 2 回投げ終わって持ち点が −2 点である確率は エウ である。また, コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点である確率は カオ である。
(2) 持ち点が再び 0 点になることが起こるのは, コインを「 キ 回投げ終わったときである。コインを キ 回投げ終わって持ち点が 0 点になる確率は ケク である。
(3) ゲームが終了した時点で持ち点が 4 点である確率は サシコ である。
(4) ゲームが終了した時点で持ち点が 4 点であるとき, コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点である条件付き確率は セス である。
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