【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2020本試【解説・正解・問題】

1 2 3 4 5

第3問 解答・解説

ア,イ 0,2 または 0,2 ウ エ 1 4

オ カ 1 2 キ 3 ク ケ 3 8

コ サシ 7 32 ス セ 4,7

〔1〕

⓪ 1 回も表が出ない確率を求め,全事象から引けばよい。

(12)5=132=0.031\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^5=\cfrac{1}{32}=0.031\cdots

10.031=0.9691-0.031=0.969

したがって,正しい。

① 5 回の試行で確率を決めることはできない。

② 2 枚のカードが同じ文字である確率を求め,全事象から引けばよい。

(i) 2 枚とも「ろ」の場合

15C2=15421=110\cfrac{1}{_5C_2}=\cfrac{1}{\cfrac{5\cdot4}{2\cdot1}}=\cfrac{1}{10}

(ii) 2 枚とも「は」の場合

15C2=110\cfrac{1}{_5C_2}=\cfrac{1}{10}

よって,2 枚とも同じ文字である確率は

110+110=15\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{10}=\cfrac{1}{5}

書かれた文字が異なる確率は

115=451-\cfrac{1}{5}=\cfrac{4}{5}

したがって,② は正しい。

(i) コインが実際に表であり,かつ 2 体のロボットが「オモテ」と発言する確率は

12×0.9×0.9=0.405\cfrac{1}{2}\times0.9\times0.9=0.405

(ii) コインが実際は裏であり,かつ 2 体のロボットが「オモテ」と発言する確率は

12×0.1×0.1=0.005\cfrac{1}{2}\times0.1\times0.1=0.005

2 体のロボットがともに「オモテ」と発言する確率は

0.405+0.005=0.410.405+0.005=0.41

よって,2 体のロボットがともに「オモテ」と発言し,実際に表が出ている条件付き確率は

p=0.4050.41=0.98p=\cfrac{0.405}{0.41}=0.98\cdots

したがって,誤り。

・・・アイ

〔2〕

(1)

コインを 2 回投げ終わって持ち点が 2-2 点であるとき,その組合せは 1-11-1 点だから

12×12=14\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{4}

・・・ウエ

また,持ち点が 1 点であるとき,その組合せは 221-1 点であり,反復試行の確率を用いて

2C1(12)1(12)1=2×12×12=12_2C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1=2\times\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}

・・・オカ

(2)

コインを投げるのは最大で 5 回であることに注意して,持ち点が再び 0 点になる組合せは 221-11-1 点であり,コインを 3 回投げ終わったときである。

・・・キ

また,その確率は

3C1=(12)1(12)2=3×12×14=38_3C_1=\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^2=3\times\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{8}

・・・クケ

(3)

コインを 5 回投げて持ち点が 4 点になる組合せは 2,2,21,12,2,2-1,-1 点である。ただし,3 回目の時点で 2,1,12,-1,-1 点の組合せがあるとゲームが終了するので,3 回目までと 4, 5 回目を分けて考えるとよい。

(i) 3 回目の時点で 2,2,12,2,-1 点,4,5 回目が 2,12,-1 点の場合

3C1(12)2(12)1×2C1(12)1(12)1_3C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^2\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\times_2C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1

=38×12=316=\cfrac{3}{8}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{16}

(ii) 3 回目の時点で 2,2,22,2,2 点,4,5 回目が 1,1-1,-1 点の場合

(12)3×(12)2=132\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^3\times\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^2=\cfrac{1}{32}

したがって,確率は

316+132=732\cfrac{3}{16}+\cfrac{1}{32}=\cfrac{7}{32}

・・・コサシ

(4)

コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点になる組合せは 2,12,-1 点である。このとき 3 回目が 1-1 点だとゲームが終了するので 3 回目は 22 点である。よって,4,5 回目の組合せは 2,12,-1 点である。

2C1(12)1(12)1×12×2C1(12)1(12)1_2C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\times\cfrac{1}{2}\times_2C_1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1\bigg(\cfrac{1}{2}\bigg)^1

=18=\cfrac{1}{8}

したがって,条件付き確率は

18732=18×32732×32=47\cfrac{\enspace\cfrac{1}{8}\enspace}{\cfrac{7}{32}}=\cfrac{\enspace\cfrac{1}{8}\times32\enspace}{\cfrac{7}{32}\times32}=\cfrac{4}{7}

・・・スセ

第3問 問題文

〔1〕 次の\boxed{\text{ア}}, \boxed{\text{イ}} に当てはまるものを,下の①~④のうちから一つずつ選べ。ただし,解答の順序は問わない。

正しい記述は \boxed{\text{ア}}\boxed{\text{イ}} である。

⓪ 1 枚のコインを投げる試行を 5 回繰り返すとき,少なくとも 1 回は表が出る確率を pp とすると, P>0.95P \gt 0.95 である。

① 袋の中に赤球と白球が合わせて 8 個入っている。球を 1 個取り出し,色を調べてから袋に戻す試行を行う。この試行を 5 回繰り返したところ赤球が 3 回出た。したがって, 1 回の試行で赤球が出る確率は 35\cfrac{3}{5} である。

② 箱の中に「い」と書かれたカードが 1 枚,「ろ」と書かれたカードが 2 枚,「は」と書かれたカードが 2 枚の合計 5 枚のカードが入っている。同時に 2 枚のカードを取り出すとき,書かれた文字が異なる確率は 45\cfrac{4}{5} である。

③ コインの面を見て「オモテ(表)」または「ウラ(裏)」とだけ発言するロボッ トが 2 体ある。ただし,どちらのロボットも出た面に対して正しく発言する確率が 0.9, 正しく発言しない確率が 0.1 であり,これら 2 体は互いに影響されることなく発言するものとする。いま、ある人が 1 枚のコインを投げる。出た面を見た 2 体が,ともに「オモテ」と発言したときに,実際に表が出ている確率を pp とすると, p0.9p\leqq0.9 である。

〔2〕 1 枚のコインを最大で 5 回投げるゲームを行う。このゲームでは, 1 回投げるごとに表が出たら持ち点に 2 点を加え,裏が出たら持ち点に 1-1 点を加える。はじめの持ち点は 0 点とし, ゲーム終了のルールを次のように定める。

・持ち点が再び 0 点になった場合は,その時点で終了する。

・持ち点が再び 0 点にならない場合は,コインを 5 回投げ終わった時点で終了する。

(1) コインを 2 回投げ終わって持ち点が 2-2 点である確率は \cfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}} である。また, コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点である確率は \cfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}} である。

(2) 持ち点が再び 0 点になることが起こるのは, コインを「 \boxed{\text{キ}} 回投げ終わったときである。コインを \boxed{\text{キ}} 回投げ終わって持ち点が 0 点になる確率は \cfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}} である。

(3) ゲームが終了した時点で持ち点が 4 点である確率は サシ\cfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}} である。

(4) ゲームが終了した時点で持ち点が 4 点であるとき, コインを 2 回投げ終わって持ち点が 1 点である条件付き確率は \cfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}} である。

1 2 3 4 5