【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2019追試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

アイ 35　ウエ 43　オカ,キク 13,16
ケコ 16　サ 1　シス 13　セ,ソタ 0,64
チツ 12　テト,ナニヌ 24, 144

560 ＝ 16 × 35 $\cdots\cdots$①

・・・アイ

560 ＝ 13 × 43 ＋ 1 $\cdots\cdots$②

・・・ウエ

(1)

$16x=13y+1$

移行して

$16x-13y=1$

$x=35$，$y=43$ は解の一つだから

$16\cdot35-13\cdot43=1$

が成り立つ。同様にして

$16x=13y+c$

移行して

$16x-13y=c$

ここで $16\cdot35-13\cdot43=1$ の両辺を $c$ 倍すると

$16\cdot35c-13\cdot43c=c$

式どうしを引くと

$16(x-35c)-13(y-43c)=0$

$16(x-35c)=13(y-43c)$

16 と 13 は互いに素だから，$s$ を整数とすると

$x-35c=13s$

$x=13s+35c$

・・・オカ

これを上の式に代入すると

$16(13s+35c-35c)=13(y-43c)$

$16\cdot13c=y-43c$

$y=16s+43c$

・・・キク

(2)

①より

$k=560^2+560q+r$

$=16^2\cdot35^2+16\cdot35q+r$

$=16(16\cdot35+35q)+r$

したがって，$k$ が 16 の倍数になるのは $r$ が 16 の倍数のとき。

・・・ケコ

また，②より

$560^2=(13\cdot43+1)^2$

$=13^2+2\cdot13\cdot43+1$

$=13(13+2\cdot43)+1$

よって，$560^2$ を 13 で割った余りは 1

・・・サ

これと②を用いて $k$ の式を書き換えると

$k=560^2+560q+r$

$=13(13+2\cdot43)+1+(13\cdot43+1)q+r$

$=13(13+2\cdot43+43q)+1+q+r$

したがって，$k$ が 13 の倍数であるのは，$1+q+r$ が 13 の倍数のとき

・・・シス

(3)

$k$ が 16 でも 13 でも割り切れる条件は，$r$ が 16 の倍数かつ $1+q+r$ が 13 の倍数のときである。

$k=560^2+560q+r$ の形から，当てはまる $k$ の最小を求めるには，$q$ の値を小さくするとよい。まず，$q=0$ として，$r=0,16,32\cdots$ と順番に当てはめていけばよい。

$q=0$，$r=64$ とすると

$1+q+r=1+0+64=65$

$r$ は 16 の倍数，65 は 13 の倍数だから，上の条件を満たす。

したがって $q=0$，$r=64$

・・・セソタ

(4)

$k=(560+m)^2$

$=560^2+2\cdot560m+m^2$

これと $k=560^2+560q+r$ を比べると

$q=2m$，$r=m^2$ が成り立つ。

(3)より $r$ は 16 の倍数だから

$r=16t$ とおくと，$t$ を整数として

$16t=m^2$

$m$ は 0 以上の整数だから

$m=4\sqrt{t}$

ここで $m$ が整数となるために $t$ に $1,4,9,16\cdots$ を代入して，$1+q+r$ が 13 で割り切れるときを求めるとよい。

(i) $t=1$ のとき

$m=4$，$q=8$，$r=16$

また

$1+q+r=1+8+16=25$

これは 13 で割り切れないから不適。

(ii) $t=4$ のとき

$m=8$，$q=16$，$r=64$

また

$1+q+r=1+16+64=81$

これは 13 で割り切れないから不適。

(iii) $t=9$ のとき

$m=12$，$q=24$，$r=144$

また

$1+24+144=169$

これは 13 で割り切れる。

したがって

$m=12$，$g=24$，$r=144$

・・・チツテトナニヌ

問題文

560 の約数で 2 の累乗であるもののうち, 最大のものは 16 であり

560＝$16\times\boxed{\text{アイ}}\cdots\cdots$①

である。また

560＝$13\times\boxed{\text{ウエ}}+1\cdots\cdots$②

である。

(1) ①と②より, $x$＝$\boxed{\text{アイ}}$，$y$＝$\boxed{\text{ウエ}}$ は不定方程式

$16x=13y+1$

の一つの整数解となる。

$c$ を整数とするとき, 不定方程式

$16x=13y+c$

のすべての整数解は, $s$ を整数として

$x=\boxed{\text{オカ}}s+\boxed{\text{アイ}}c$，$y=\boxed{\text{キク}}s+\boxed{\text{ウエ}}c$ と表せる。

以下の(2), (3), (4)では, $560^2$ で割った商が 1 であるような自然数 $k$ を考え, $k$ を $560^2$ で割った余りを $\ell$ とし, さらに $\ell$ を 560 で割った商を $q$, 余りを $r$ とする。このとき

$k=560^2+560q+r$

と表せる。

(2) $k$ が 16 の倍数であるのは, $r$ が $\boxed{\text{ケコ}}$ の倍数のときである。また, 5602 を 13 で割った余りは $\boxed{\text{サ}}$ であるので, $k$ が 13 の倍数であるのは, $\boxed{\text{サ}}+q+r$ が $\boxed{\text{シス}}$ の倍数のときである。

(3) $k$ は, 16 でも 13 でも割り切れるような最小のものとする。このとき, $q$＝$\boxed{\text{セ}}$，$r$＝$\boxed{\text{ソタ}}$ である。

(4) $\sqrt{k}$ が自然数となるとき, $k$ は, 0 以上のある整数 $m$ により

$k$＝$(560+m)^2$

と表せる。

$k$ は, 16 でも 13 でも割り切れ, かつ, $\sqrt{k}$ が自然数となるような最小のものとする。このとき, $m$＝$\boxed{\text{チツ}}$ であり, $q$＝$\boxed{\text{テト}}$, $r$＝$\boxed{\text{ナニヌ}}$ であ
る。