【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2019追試【解説・正解・問題】

第3問　正解と解説

ア イウ 1 27 エ オカ 8 27　キ ク 1 3
ケ コ 2 3　サ シ 2 9　ス セソ 7 27
タ チツ 7 10

(1)

すべえの机の上に白のカードが置かれているのは，3 人とも箱から白のカードを取り出したときだから

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)=\cfrac{1}{27}$

・・・アイウ

また，3 人とも青のカードを取り出すとき

$\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^3=\cfrac{8}{27}$

・・・エオカ

(2)

状態 $A$ はすべてのカードが白のとき，または青のときだから

$\cfrac{1}{27}+\cfrac{8}{27}=\cfrac{1}{3}$

・・・キク

3 人がカードを取り出したとき，机の上にはすべて同じ色のカードが置かれる場合と，2 人が同色，1 人が別の色のカードが置かれている場合のどちらかである。よって，状態 $B$ は状態 $A$ の余事象である。

$1-\cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{3}$

・・・ケコ

(3)

1 回目に 2 人が白，1 人が青を取り出す確率は

$_3C_2\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^2\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^1=\cfrac{2}{9}$

さらに，2 回目で状態 $A$ になるとき

(i) 3 人とも白

机の上が白の人は箱の中から白を取り出し，机の上が青の人も箱の中から白を取り出すから

$\cfrac{2}{9}\cdot\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^2\cdot\cfrac{2}{3}=\cfrac{4}{3^5}$

ここでは誰がどの色のカードを引くかは決まっているので，反復試行の計算 $_3C_2$ をかけないように注意する。

(ii)

3 人とも青

$\cfrac{2}{9}\cdot\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^2\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{8}{3^5}$

よって，2 回目の終了時に状態 $A$ になる確率は

$\cfrac{4}{3^5}+\cfrac{8}{3^5}=\cfrac{4}{81}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\space\cfrac{4}{81}\space}{\cfrac{2}{9}}=\cfrac{\space\cfrac{4}{81}\times81\space}{\cfrac{2}{9}\times81}=\cfrac{4}{18}=\cfrac{2}{9}$

・・・サシ

(4)

2 回目で状態 $A$ になるのは，$A$ → $A$ のときと，$B$ → $A$ のときである。

(i) $A$ → $A$ のとき

3 人とも机の上と同じ色のカードを取り出すときと，異なる色のカードを取り出すときがある。

机の上と同じ色のカードを取り出すとき，箱の中に当てはまるカードは 1 枚あるから

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^3=\cfrac{1}{27}$

机の上と異なる色のカードを取り出すとき，箱の中に当てはまるカードは 2 枚あるから

$\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^3=\cfrac{8}{27}$

よって

$\cfrac{1}{27}+\cfrac{8}{27}=\cfrac{1}{3}$

$A$ → $A$ となる確率は

$\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{9}$

(ii) $B$ → $A$ のとき

机の上に同色のカードがある 2 人がそれと同じ色を取り出し，もう 1 人は机の上と異なる色を取り出すとき

$\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^2\cdot\cfrac{2}{3}=\cfrac{2}{27}$

机の上に同色のカードがある 2 人がそれと異なる色を取り出し，もう 1 人は机の上と同じ色を取り出すとき

$\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^2\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{4}{27}$

これらのときに机の上のカードは 3 人とも同色になる。

$\cfrac{4}{27}+\cfrac{2}{27}=\cfrac{6}{27}$

$B$ → $A$ となる確率は

$\cfrac{2}{3}\times\cfrac{6}{27}=\cfrac{4}{27}$

したがって，2 回目の終了時に状態 $A$ になる確率は

$\cfrac{1}{9}+\cfrac{4}{27}=\cfrac{7}{27}$

・・・スセソ

(5)

2 回目の終了時には状態 $A$ または状態 $B$ のいずれかになる。つまり，状態 $B$ は状態 $A$ の余事象だから(4)より

$1-\cfrac{7}{27}=\cfrac{20}{27}$

また，$B$ → $B$ になる確率を直接求めることは難しい。そこで，$B$ → $B$ は，$A$ → $A$，$A$ → $B$，$B$ → $A$ を合わせたものの余事象であると考えるとよい。

$A$ → $A$ または $B$ → $A$ の確率は(4)より $\cfrac{7}{27}$

$A$ → $B$ になる確率を求めると

2 人が机の上と同じ色を取り出し，1 人が異なる色を取り出すとき

$_3C_2\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^2\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^1=\cfrac{2}{9}$

2 人が机の上を異なる色を取り出し，1 人が同じ色を取り出すとき

$_3C_2\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^2\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^1=\cfrac{4}{9}$

よって

$\cfrac{2}{9}+\cfrac{4}{9}=\cfrac{2}{3}$

$A$ → $B$ になる確率は

$\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{2}{3}=\cfrac{2}{9}$

$B$ → $B$ になる確率は

$1-\cfrac{7}{27}-\cfrac{2}{9}=\cfrac{14}{27}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\space\cfrac{14}{27}\space}{\cfrac{20}{27}}=\cfrac{\space\cfrac{14}{27}\times27\space}{\cfrac{20}{27}\times27}=\cfrac{14}{20}=\cfrac{7}{10}$

・・・タチツ

問題文

机が三つあり, 各机の上には白のカードが 1 枚, 各机の下には箱が一つ置かれている。いずれの箱の中にも白のカード 1 枚, 青のカード 2 枚, 合計 3 枚のカードが入っている。次の操作 $S$ を行うため, 各机の前に一人ずつ配置する。

$S$：机の下に置かれた箱の中から無作為に取り出したカード 1 枚と, 同じ机の上に置かれたカードとを交換することを, 3 人が同時に行う。

この操作 $S$ を 2 回繰り返す。また, 状態 $A$, $B$ を次のように定める。

A：すべての机の上に同色のカードが置かれている。

B：二つの机の上に同色のカードが置かれ, 残りの一つの机の上には別の色のカードが置かれている。

(1) 1 回目の終了時に, すべての机の上に白のカードが置かれている確率は $\cfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ であり, すべての机の上に青のカードが置かれている確率は $\cfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}$ である。

(2) 1 回目の終了時に, 状態 $A$ になる確率は $\cfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ であり, 状態 $B$ になる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$ である。

(3) 1 回目の終了時に二つの机の上に白のカードが置かれ, 残りの一つの机の上に青のカードが置かれていたとき，2 回目の終了時には状態 $A$ になる条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}$ である。

また, 1 回目の終了時に二つの机の上に青のカードが置かれ, 残りの一つの 机の上に白のカードが置かれていたとき, 2 回目の終了時には状態 $A$ になる条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}$ である。

(4) 2 回目の終了時に状態 $A$ になる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}$ である。

(5) 2 回目の終了時に状態 $B$ になったとき, 1 回目の終了時も状態 $B$ である条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}$ である。