【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2019本試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

ア,イウ 8, 17　エオ,カキ 23, 49

ク,ケコ 8, 17　サ,シス 7, 15

セ 2　ソ 6　タ,チ,ツテ 3, 2, 23

トナニ 343

(1)

$49x-23y=1$

互除法を用いて

$49=23\cdot2+3$

$23=3\cdot7+2$

$3=2+1$

それぞれ移項して

$3=49-23\cdot2$

$2=23-3\cdot7$

$1=3-2$

式に代入して

$1=3-(23-3\cdot7)$

$=3\cdot8-23$

$=(49-23\cdot2)\cdot8-23$

$=49\cdot8-23\cdot17$

よって

$49x-23y=1$

$49\cdot8-23\cdot17=1$

式どうしを引くと

$49(x-8)-23(y-17)=0$

$49(x-8)=23(y-17)$

49 と 23 は互いに素だから，$k$ を整数として

$x-8=23k$

$x=23k+8$

・・エオ

上の式に代入して

$49(23k+8-8)=23(y-17)$

$49\cdot23k=23(y-17)$

$49k=y-17$

$y=49k+17$

・・・カキ

自然数 $x$ が最小になるのは $k=0$ のときだから

$x=8$，$y=17$

・・・アイウ

(2)

(1)の $49x-23y=1$ を用いて，$A$ を $49x$，$B$ を $23y$ とすると，$49x-23y=1$ は $A$ と $B$ の差が 1 となる場合を表す。

(i) $A$ と $B$ の差が 1 のとき

$49x-23y=1$ のとき

$x=23k+8$，$y=49k+17$

$A$ が最小になるのは $k=0$ のときだから

$x=8$，$y=17$

また，問題文より差の絶対値が 1 のときだから，差が －1 になるときも考える必要がある。

(ii) $A$ と $B$ の差が －1 のとき

(1)の式を変形して

$49x-23y=-1$

$49(-8)-23(-17)=-1$

と表すことができる。

そして，(1)と同様の計算を行うことを考えると途中式を省略しても結果は容易に推定できる。よって

$x=23k-8$，$y=49k-17$

$k=1$ のとき

$x=15$，$y=32$

したがって

$(A,B)=(49\times8,23\times17)$

・・・クケコ

次に，差の絶対値が 2 のとき

(iii) $A$ と $B$ の差が 2 のとき

$49x-23y=2$

差が 1 のときの解の一つを 2 倍すると

$49\cdot(8\cdot2)-23(17\cdot2)=2$

$49\cdot16-23\cdot34=2$

よって

$x=23k+16$

$y=49k+34$

$k=0$ のとき

$x=16$，$y=34$

(iv) $A$ と $B$ の差が －2 のとき

$49x-23y=-2$

$49(-16)-23(-34)=-2$

よって

$x=23k-16$

$y=49k-34$

$k=1$ のとき

$x=7$，$y=15$

したがって

$(A,B)=(49\times7,23\times15)$

・・・サシス

(3)

$a$ が奇数のとき，$a+2$ も奇数である。たとえば，1 と 3，65 と 67 などを考えると，最大公約数は 1 であることが分かる。また，$a$ が偶数のとき，たとえば 2 と 4，24 と 26 などを考えると，最大公約数は 2 であることが分かる。

・・・セ

また，$a(a+1)(a+2)$ を考えると

たとえば，1,2,3 や 4,5,6 などを考える。2 の倍数は 2 つ目ごと，3 の倍数は 3 つ目ごとに出現するので，連続する 3 つの数を並べたとき，その中に必ず 2 の倍数と 3 の倍数を含む。よって，連続する 3 つの数の積は 6 の倍数である。したがって，$m=6$

・・・ソ

(4)

6762 を素因数分解すると

6762 ＝ $2\times3\times7^2\times23$

・・・タチツテ

$b(b+1)(b+2)$ は 6 の倍数だから，2 と 3 を因数に含む。よって 6762 の倍数であるとき，2，3 以外に $7^2=49$ と 23 を因数に含む。

(2) で 49 と 23 の倍数の差を求めたことに注意して，$x$，$y$ の値が最も小さいものは

$49x-23y=-2$

$x=7$，$y=15$

である。よって

$49\cdot7-23\cdot15=-2$

$49\cdot7+2=23\cdot15$

となるので，$b=49\cdot7$ とすると，$b+2=23\cdot15$ と表すことができる。よって $b(b+1)(b+2)$ は

$49\cdot7(49\cdot7+1)(23\cdot15)$

とすれば，2，3，49，23 を因数として含む。

よって，$b=49\cdot7=343$

・・・トナニ

第4問　問題文

(1) 不定方程式

$49x-23y=1$

の解となる自然数 $x$, $y$ の中で, $x$ の値が最小のものは

$x=\boxed{\text{ア}}$，$y=\boxed{\text{イウ}}$

であり, すべての整数解は, $k$ を整数として

$x=\boxed{\text{エオ}}k+\boxed{\text{ア}}$, $y=\boxed{\text{カキ}}k+\boxed{\text{イウ}}$

と表せる。

(2) 49 の倍数である自然数 $A$ と 23 の倍数である自然数 $B$ の組 $(A,B)$ を考える。$A$ と $B$ の差の絶対値が 1 となる組 $(A,B)$ の中で, $A$ が最小になるのは

$(A, B)$＝$(49\times\boxed{\text{ク}}$, $23\times\boxed{\text{ケコ}})$

である。また, $A$ と $B$ の差の絶対値が 2 となる組 $(A,B)$ の中で, $A$ が最小になるのは

$(A, B)$＝$(49\times\boxed{\text{サ}}$, $23\times\boxed{\text{シス}})$

である。

(3) 連続する三つの自然数 $a$, $a+1$, $a+2$ を考える。

$a$ と $a+1$ の最大公約数は 1

$a+1$ と $a+2$ の最大公約数は 1

$a$ と $a+2$ の最大公約数は 1 または $\boxed{\text{セ}}$

である。

また, 次の条件がすべての自然数 $a$ で成り立つような自然数 $m$ のうち, 最大のものは $m$＝$\boxed{\text{ソ}}$ である。

条件：$a(a+1)(a+2)$ は $m$ の倍数である。

(4) 6762 を素因数分解すると

6762＝$2\times\boxed{\text{タ}}\times7^{\boxed{\text{チ}}}\times\boxed{\text{ツテ}}$

である。

$b$ を, $b(b+1)(b+2)$ が 6762 の倍数となる最小の自然数とする。このとき, $b$, $b+1$, $b+2$ のいずれかは $7^{\boxed{\text{カ}}}$ の倍数であり, また, $b$, $b+1$, $b+2$ のいずれかは $\boxed{\text{ツテ}}$ の倍数である。したがって, $b=\boxed{\text{トナニ}}$ である。