【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2019本試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア イ 4 9　ウ エ 1 6　オ カキ 7 18

ク ケ 1 6　コサ シスセ 43 108

ソタチ ツテト 259 648

ナニ ヌネ 21 43　ノハ ヒフヘ 88 259

(1)

(i) 赤い袋を選ぶのは，さいころの目が 1，2，4，5 のときだから，4 通り。

赤い袋から赤球を取り出すとき

$\cfrac{4}{6}\cdot\cfrac{2}{3}=\cfrac{4}{9}$

・・・アイ

(ii) 白い袋を選ぶのは，さいころの目が 3，6 のときだから 2 通り。

白い袋から赤球を取り出すとき

$\cfrac{2}{6}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{6}$

・・・ウエ

(2)

2 回目の操作が白い袋で行われるのは，1 回目で白玉を取り出したとき。

(i) 赤い袋から白球を取り出すとき

$\cfrac{4}{6}\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{9}$

(ii) 白い袋から白球を取り出すとき

$\cfrac{2}{6}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{6}$

したがって，$\cfrac{2}{9}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{7}{18}$

・・・オカキ

(3)

(2)より，1 回目の操作で白球を取り出す確率は $p=\cfrac{7}{18}$ である。

2 回目の操作で白球を取り出すのは

(i)　1 回目で白球を取り出し，2 回目で白い袋から白球を取り出すとき

$p\cdot\cfrac{1}{2}$

(ii) 1 回目で赤球を取り出し，2 回目で赤い袋から白球を取り出すとき

1 回目で赤球を取り出す事象は，余事象を用いて $1-p$ と表すことができる。

$(1-p)\cdot\cfrac{1}{3}$

したがって

$\cfrac{1}{2}p+\cfrac{1}{3}(p-1)=\cfrac{1}{6}p+\cfrac{1}{3}$

・・・クケ

$p$ に値を代入して計算すると

$\cfrac{1}{6}\cdot\cfrac{7}{18}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{43}{108}$

・・・コサシスセ

同様に，3 回目の操作で白球が取り出される確率を考える。2 回目に白球を取り出す確率を $q=\cfrac{43}{108}$ とおくと，2 回目に赤球を取り出す確率は $1-q$ で表すことができる。

$q\cdot\cfrac{1}{2}+(1-q)\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{6}q+\cfrac{1}{3}$

$\cfrac{1}{6}\cdot\cfrac{43}{108}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{259}{648}$

・・・ソタチツテト

(4)

(i) 2 回目の操作で取り出した球が白球であったとき，その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率

全事象は 2 回目の操作で白球を取り出すときだから，$\cfrac{43}{108}$

また，2 回目の操作で白い袋から白球を取り出すとき

$\cfrac{7}{18}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{7}{36}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\space\cfrac{7}{36}\space}{\cfrac{43}{108}}=\cfrac{\space\cfrac{7}{36}\times108\space}{\cfrac{43}{108}\times108}=\cfrac{21}{43}$

・・・ナニヌネ

(ii) 3 回目の操作で取り出した球が白球であったとき，はじめて白球が取り出されたのが 3 回目の操作である条件付き確率

全事象は 3 回目の操作で取り出した球が白球のときだから $\cfrac{259}{648}$

3 回目ではじめて白球を取り出すのは，1 回目と 2 回目に赤球を取り出し，3 回目に白球を取り出すときだから

1 回目に赤球を取り出すとき

$\cfrac{4}{9}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{11}{18}$

続いて，2 回目は赤い袋から赤球を取り出し，3 回目は赤い袋から白球を取り出すので

$\cfrac{11}{18}\cdot\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{11}{81}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\space\cfrac{11}{81}\space}{\cfrac{259}{648}}=\cfrac{\space\cfrac{11}{81}\times648\space}{\cfrac{259}{648}\times648}=\cfrac{88}{259}$

・・・ノハヒフヘ

第3問　問題文

赤い袋には赤球 2 個と白球 1 個が入っており, 白い袋には赤球 1 個と白球 1 個が入っている。

最初に, さいころ 1 個を投げて, 3 の倍数の目が出たら白い袋を選び, それ以外の目が出たら赤い袋を選び, 選んだ袋から球を 1 個取り出して, 球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を 1 回目の操作とする。2 回目と 3 回目の操 作では, 直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を 1 個取り出して, 球の色を確認してその袋に戻す。

(1) 1 回目の操作で, 赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ であり, 白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$ である。

(2) 2 回目の操作が白い袋で行われる確率は $\cfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}$ である。

(3) 1 回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと, 2 回目の操作で白球が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}p+\cfrac{1}{3}$ と表される。

よって, 2 回目の操作で白球が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シスセ}}}$ である。

同様に考えると, 3 回目の操作で白球が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{ソタチ}}}{\boxed{\text{ツテト}}}$ である。

(4) 2 回目の操作で取り出した球が白球であったとき, その球を取り出した袋の色が白である条件付きは $\cfrac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}$ である。

また, 3 回目の操作で取り出した球が白球であったとき, はじめて白球が取り出されたのが 3 回目の操作である条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{ノハ}}}{\boxed{\text{ヒフヘ}}}$ である。