【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2018追試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

アイ,ウエ 23,17　オカ 15　キ 5

クケ 12　コサ 10　シ 2　ス セ 2 3

ソタチ 101

〔1〕

$23x-31y=2$

互除法を用いて

$31=23+8$

$23=8\cdot2+7$

$8=7+1$

それぞれ移項して

$8=31-23$

$7=23-8\cdot2$

$1=8-7$

代入して

$1=8-(23-8\cdot2)$

$=8\cdot3-23$

$=(31-23)\cdot3-23$

$=23(-4)-31(-3)$

両辺を 2 倍すると

$23(-8)-31(-6)=2$

よって，解の一つは $x=-8$，$y=-6$ である。

$23x-31y=2$

$23(-8)-31(-6)=2$

式どうしを引くと

$23(x+8)-31(y+6)=0$

$23(x+8)=31(y+6)$

23 と 31 は互いに素だから，$k$ を整数として

$x+8=31k$

$x=31k-8$

上の式に代入して

$23(31k-8+8)=31(y+6)$

$23\cdot31k=31(y+6)$

$23k=y+6$

$y=23k-6$

自然数 $x$ が最小になるのは $k=1$ のとき

$x=31-8=23$

$y=23-6=17$

・・・アイウエ

よって，$x=23$，$y=17$

次に，$n=31\times17$ として $23x-31y=2$ を利用するとよい。

$23x-31y=2$

$31y=23x-2$

$y=17$ のとき，$x=23$ だから

$31\cdot17=23\cdot23-2=23^2-2$

$n=31\times17$ だから，両辺を 3 乗すると

$n^3=(23^2-2)^3$

$=23^6-3\cdot23^4\cdot2+3\cdot23^2\cdot2^2-2^3$

$=23(23^5-3\cdot23^3\cdot2+3\cdot23\cdot2^2)-8$

余りは正の数だから $23-8=15$

・・・オカ

〔2〕

(1)

求める分数を $\cfrac{x}{9}$ とおくと

$\cfrac{x}{9}=0.555\cdots$

$\cfrac{10}{9}x=5.555\cdots$

$\cfrac{10}{9}x-\cfrac{x}{9}=5$

$10x-x=45$

$9x=45$

$x=5$

よって，求める分数は $\cfrac{5}{9}$

・・・キ

また，3 進法の小数は小数第1位から $\cfrac{1}{3^1}$ の位，$\cfrac{1}{3^2}$ の位…と続いていくので

$\cfrac{5}{9}=\cfrac{3}{9}+\cfrac{2}{9}=\cfrac{1}{3}+\cfrac{2}{3^2}$

したがって $\cfrac{5}{9}=0.12_{(3)}$

・・・クケ

(2)

$x=0.101010\cdots_{(2)}$

例えば，2 進法の $1_{(2)}$ を 2 倍すると $10_{(2)}$，さらに 2 倍すると $100_{(2)}$ となり，2 倍すると桁が 1 つ上がる。これを用いて

$4x=10.1010\cdots_{(2)}$

・・・コサ

また，2 進法の $10_{(2)}$ を 10 進法で表すと 2 である。さらに

・・・シ

$4x-x=10_{(2)}=2$

$3x=2$

$x=\cfrac{2}{3}$

・・・スセ

(3)

3 進法で表すと小数第3位までで終わる数は $0.001_{(3)}$ から $0.222_{(3)}$ までである。このうち，条件に合うものを具体的に絞り込んでいくとよい。小数第1位から順番に検討していくと速く絞り込むことができる。

まず小数第1位を検討する。

$x=0.1_{(3)}$ とすると

$0.1_{(3)}=\cfrac{1}{3}$ より

$x^2=\cfrac{1}{9}$ ＜ $\cfrac{1}{7}$

$x=0.2_{(3)}$ とすると

$0.2_{(3)}=\cfrac{2}{3}$

$x^2=\cfrac{4}{9}$ ＞ $\cfrac{1}{7}$

よって，小数第1位の値は 1

次に，小数第2位を検討すると

$0.11_{(3)}=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3^2}=\cfrac{4}{9}$

$x^2=\cfrac{16}{81}$ ＞ $\cfrac{1}{7}$

$\cfrac{16}{81}$ と $\cfrac{1}{7}$ の大小関係を比べるとき，$81\times7$ で通分するよりは分子 の 16 に合わせた方がよい。つまり，$\cfrac{1}{7}=\cfrac{16}{112}$ だから，分母の小さい方が大きな数である。

よって，小数第2位は 0

さらに，小数第3位を検討すると

$0.101_{(3)}=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3^3}=\cfrac{10}{27}$

$x^2=\cfrac{100}{729}$ ＜ $\cfrac{1}{7}$

分子の 100 で合わせると，$\cfrac{1}{7}=\cfrac{100}{700}$ となり，$\cfrac{100}{729}$ の方が小さい数であることが分かる。

$0.102_{(3)}=\cfrac{1}{3}+\cfrac{2}{3^3}=\cfrac{11}{27}$

$x^2=\cfrac{121}{729}$ ＞ $\cfrac{1}{7}$

$\cfrac{1}{7}=\cfrac{121}{847}$ だから $\cfrac{121}{729}$ の方が大きい数である。

したがって，最大の $x$ は

$0.101_{(3)}$

・・・ソタチ

第４問　問題文

〔1〕不定方程式

$23x-31y=2$

の解となる自然数$x$，$y$ の組で，$x$ が最小になるのは

$x$ ＝ $\boxed{\text{アイ}}$，$y$ ＝ $\boxed{\text{ウエ}}$

である。

$n$ ＝ $31\times\boxed{\text{ウエ}}$ とする。自然数 $n^3$ を 23 で割ると余りは $\boxed{\text{オカ}}$ である。

〔2〕

(1) 10 進法の分数 $\cfrac{\boxed{\text{キ}}}{9}$ を 10 進法の小数で表すと循環小数 $0.\dot{5}$ となり，3 進法の小数で表すと有限小数 0. $\boxed{\text{クケ}}_{(3)}$ となる。

(2) ある有理数 $x$ を 2 進法で表すと循環小数 $0.\dot{1}\dot{0}_{(2)}$ となった。このとき，$4x$ を 2 進法で表すと $\boxed{\text{コサ}}.\dot{1}\dot{0}_{(2)}$ となる。 2 進法の $\boxed{\text{コサ}}_{(2)}$ を 10 進法で表すと $\boxed{\text{シ}}$ となるので，$4x-x$ を 10 進法で表すと $\boxed{\text{シ}}$ となる。したがって，$x$ を 10 進法の分数で表すと $\cfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}$ となる。

(3) 3 進法で表すと小数第3位までで終わる有理数 $x$ のうち，$x^2$ ＜ $\cfrac{1}{7}$ を満たす最大の $x$ を 3 進法で表すと $0.\boxed{\text{ソタチ}}_{(3)}$ となる。