【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2018追試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

アイウ 420　エオ 30　カ キク 5 14

ケコ サシ 15 28　ス セソ 3 28

タ チツ 5 28　テ トナ 1 14

ニ ヌ 2 7

(1)

8 枚のカードを並べる組合せは 8! 通り。

このうち $\boxed{1}$ が 4 枚，$\boxed{2}$ が 2 枚，$\boxed{5}$ が 2 枚重複するので

$\cfrac{8!}{4!2!2!}=420$ 個

・・・アイウ

数字 1 が書かれた 4 枚のカードのどの 2 枚のカードも隣合わないとき，下の図のように $\boxed{2}$ と $\boxed{5}$ のカードの前後と間の 5 箇所のうち 4 箇所に $\boxed{1}$ のカードを置くとよい。

〇 $\boxed{2}$ 〇 $\boxed{2}$ 〇 $\boxed{5}$ 〇 $\boxed{5}$ 〇

$\boxed{2}$ と $\boxed{5}$ のカードの並べ方は

$\cfrac{4!}{2!2!}=6$ 通り

$\boxed{1}$ のカードを置く方法は

$_5C_4=5$ 通り

したがって

$6\times5=30$ 通り

・・・エオ

(2)

$A_0$

8 枚のカードから 3 枚を取り出すので，全事象は $_8C_3$ 通り。また，$\boxed{5}$ のカードが 0 枚であるということは，$\boxed{1}$ と $\boxed{2}$ の 6 枚から 3 枚を取り出すことだから，$_6C_3$ 通り。よって

$P(A_0)=\cfrac{_6C_3}{_8C_3}=\cfrac{5}{14}$

・・・カキク

(ii) $A_1$

2 枚の $\boxed{5}$ から 1 枚取り出す方法は 2 通り。また，$\boxed{1}$ と $\boxed{2}$ の 6 枚から残り 2 枚を取り出す方法は $_6C_2$ 通り。よって

$P(A_1)=\cfrac{2\times_6C_2}{_8C_3}=\cfrac{15}{28}$

・・・ケコサシ

(iii) $A_2$

2 枚の $\boxed{5}$ から 2 枚取り出す方法は 1 通り。また，残り 6 枚から 1 枚を取り出す方法は $_6C_1$ 通り。よって

$P(A_2)=\cfrac{_6C_1}{_8C_3}=\cfrac{3}{28}$

・・・スセソ

(iv) $A_1\cap B$

事象 $A_1$ では 3 枚のうち 1 枚が $\boxed{5}$ だから

$P(A_1\cap B)=\cfrac{15}{28}\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{5}{28}$

・・・タチツ

(v) $A_2\cap B$

事象 $A_2$ では 3 枚のうち 2 枚が $\boxed{5}$ だから

$P(A_2\cap B)=\cfrac{3}{28}\cdot\cfrac{2}{3}=\cfrac{1}{14}$

・・・テトナ

さらに条件付き確率を求めると，全事象は試行 $T_2$ において $\boxed{5}$ を取り出す場合だから

$\cfrac{5}{28}+\cfrac{1}{14}=\cfrac{1}{4}$

また，袋の中にもう 1 枚 $\boxed{5}$ が入っているということは，もともと袋の中に $\boxed{5}$ が 2 枚入っていたということだから，$A_2\cap B$ の場合である。よって

$\cfrac{\space\cfrac{1}{14}\space}{\cfrac{1}{4}}=\cfrac{\space\cfrac{1}{14}\times28\space}{\cfrac{1}{4}\times28}=\cfrac{2}{7}$

・・・ニヌ

第３問　問題文

数字 1 が書かれたカードが 4 枚，数字 2 が書かれたカードが 2 枚，数字 5 が書かれたカードが 2 枚，合計 8 枚のカードがある。

(1) 8 枚のカードを一列に並べて 8 桁の整数をつくる。

このときできる 8 桁の整数の個数は全部で $\boxed{\text{アイウ}}$ 個である。さらに，次の条件（＊）が満たされるときにできる 8 桁の整数を考える。

（＊） 数字 1 が書かれた 4 枚のカードのどの 2 枚のカードも隣り合わない。

この条件（＊）は，例えば，$\boxed{\text{1}}\boxed{\text{2}}\boxed{\text{1}}\boxed{\text{5}}\boxed{\text{1}}\boxed{\text{2}}\boxed{\text{1}}\boxed{\text{5}}$ のとき満たされる。条件（＊）が満たされるときにできる 8 桁の整数の個数は全部で $\boxed{\text{エオ}}$ 個である。

(2) 一般に，事象 $A$ の確率を $P(A)$ で表す。また，二つの事象 $A$，$B$ の積事象を $A$ ∩ $B$ と表す。

8 枚のカードからでたらめに 3 枚を取り出して袋に入れるという試行を $T_1$ とし，さらに，その 3 枚のカードが入った袋からでたらめに 1 枚のカードを取り出すという試行を $T_2$ とする。

試行 $T_1$ において，袋の中の数字 5 が書かれたカードの枚数が 0 枚である事象を $A_0$，1 枚である事象を $A_1$，2 枚である事象を $A_2$ とすると

$P(A_0)=\cfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}$，$P(A_1)=\cfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$，$P(A_2)=\cfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}$

である。

試行 $T_2$ において数字 5 が書かれたカードが取り出されるという事象を $B$ とすると

$P(A_1$ ∩ $B)=\cfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}$，$P(A_2$ ∩ $B)=\cfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{トナ}}}$

である。

以上のことから，試行 $T_2$ において数字 5 が書かれたカードが取り出されたとき，袋の中にもう 1 枚の数字 5 が書かれたカードが入っている条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$ である。