共テ・センター数学

【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2018追試【解説・正解・問題】

第1, 2問必答。第3~5問はいずれか2問を選択し, 解答。

第1問 解答・解説

アイ ウ エ オ 16 4 7 9 カ 0 キ 5

ク ケ,コ サ 4 3, 5 3 又は 5 3, 4 3

シ 1 ス 3 セ ソ 3 2 タ チ 7 2

ツ テ 5 4 ト ナニ ヌ 1 13 2

ネ ノ 0 3 ハヒ フヘ ホ -1 13 2

〔1〕

$a=\dfrac{4}{4-\sqrt{7}}$

$=\dfrac{4(4+\sqrt{7})}{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$

$=\dfrac{16+4\sqrt{7}}{16-7}$

$=\dfrac{16+4\sqrt{7}}{9}$

・・・アイウエオ

ad

(1)

$p+q\sqrt{7}=0$ のとき,$p$ は有理数,$q\sqrt{7}$ は無理数である。式が 0 となるのは有理数と無理数がともに 0 である場合であり

$p=q=0$

・・・カ

のときである。

ad

(2)

$\alpha-\beta=\dfrac{16+4\sqrt{7}}{9}-\dfrac{9-(r^2-3r)\sqrt{7}}{5}$

$=\dfrac{16}{9}-\dfrac{9}{5}+\Big\{\dfrac{4}{9}+\dfrac{r^2-3r}{5}\Big\}\sqrt{7}$

$\alpha-\beta$ が有理数のとき,無理数の項は 0 になるから

$\dfrac{4}{9}-\dfrac{r^2-3r}{5}=0$

・・・キ

$20+9(r^2-3r)=0$

$9r^2-27r+20=0$

$(3r-4)(3r-5)=0$

$r=\dfrac{4}{3}$,$\dfrac{5}{3}$

・・・クケコサ

〔2〕

ad

(1)

$a=1$ のとき

$p\implies q$ を考えると

$p:|x-1|$ ≦ 1

-1 ≦ $x-1$ ≦ 1

0 ≦ $x$ ≦ 2

$q:|x|$ ≦ $\dfrac{5}{2}$

$-\dfrac{5}{2}$ ≦ $x$ ≦ $\dfrac{5}{2}$

$p\implies q$ は真。$q\implies p$ は偽。したがって,$p$ は $q$ であるための十分条件であるが,必要条件ではない。

・・・シ

$a=3$ のとき

$p:|x-1|$ ≦ 3

$-3$ ≦ $x-1$ ≦ 3

$-2$ ≦ $x$ ≦ 4

$p\implies q$ は偽。$q\implies p$ は偽。したがって,$p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

・・・ス

(2)

$p:|x-1|$ ≦ $a$

$-a$ ≦ $x-1$ ≦ $a$

$-a+1$ ≦ $x$ ≦ $a+1$

$p\implies q$ が真であるということは,言い換えると $a+1$ は $\cfrac{5}{2}$ を超えないということだから

$a+1$ ≦ $\dfrac{5}{2}$

$a$ ≦ $\dfrac{3}{2}$

したがって $a$ の最大値は $\dfrac{3}{2}$

・・・セソ

また,$q\implies p$ が真のとき同様に

$-a+1$ ≦ $-\dfrac{5}{2}$

$a-1$ ≧ $\dfrac{5}{2}$

$a$ ≧ $\dfrac{7}{2}$

$a$ の最小値は $\dfrac{7}{2}$

・・・タチ

(3)

$r:x^2-2x$ ≦ $a$

$x^2-2x-a$ ≦ 0

ここで $x^2-2x-a=0$ とおくと

$x=1\pm\sqrt{1+a}$

よって

$1-\sqrt{1+a}$ ≦ $x$ ≦ $1+\sqrt{1+a}$

$q\implies p$ が真であるということは,言い換えると $1+\sqrt{1+a}$ は $\dfrac{5}{2}$ を超えないということだから

$1+\sqrt{1+a}$ ≦ $\dfrac{5}{2}$

$\sqrt{1+a}$ ≦ $\dfrac{3}{2}$

$1+a$ ≦ $\dfrac{9}{4}$

$a$ ≦ $\dfrac{5}{4}$

・・・ツテ

〔3〕

$a^2-3$ < $a$

$a^2-a-3$ < 0

ここで $a^2-a-3=0$ とおくと

$a=\dfrac{1\pm\sqrt{1+12}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

よって

$\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ < $a$ < $\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

・・・トナニヌ

次に,$a^2-3$ ≦ $x$ ≦ $a$ における $y=f(x)$ の最大値が 1 であるような $a$ の値の範囲を求めると

$a^2-3$ ≦ 0 かつ $a$ ≧ 0

$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$ ≦ 0

$-\sqrt{3}$ ≦ $a$ ≦ $\sqrt{3}$

したがって

0 ≦ $a$ ≦ $\sqrt{3}$

・・・ネノ

また,最大値が 1 で最小値が $f(a)$ のとき

$\dfrac{a^2-3+a}{2}$ ≧ 0 かつ $a^2-3$ ≦ 0

$a^2+a-3$ ≧ 0

$a^2+a-3=0$ とおくと

$a=\cfrac{-1\pm{\sqrt{1+12}}}{2}=\cfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$

$a$ ≦ $\cfrac{-1-\sqrt{13}}{2}$,$a$ ≧ $\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$

また

$a^2-3$ ≦ 0

$-\sqrt{3}$ ≦ $a$ ≦ $\sqrt{3}$

ここで,$\sqrt{3}$ と $\cfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$ の大小を調べると

$\cfrac{9}{4}$ < 3 より $\cfrac{3}{2}$ < $\sqrt{3}$

また

$\sqrt{9}$ < $\sqrt{13}$ < $\sqrt{16}$

3 < $\sqrt{13}$ < 4

2 < $-1+\sqrt{13}$ < 3

1 < $\cfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$ < $\cfrac{3}{2}$

よって

$\cfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$ < $\sqrt{3}$

同様にして

$\cfrac{-1-\sqrt{13}}{2}$ < $-\sqrt{3}$

したがって

$\cfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$ ≦ $a$ ≦ $\sqrt{3}$

・・・ハヒフヘホ

第1問

〔1〕$\alpha=\cfrac{4}{4-\sqrt{7}}$ とする。$\alpha$ の分母を有理化すると

$\alpha$=$\cfrac{\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}$

となる。

また,$r$ を有理数とし

$\beta$=$\cfrac{9-(r^2-3r)\sqrt{7}}{5}$

とする。

(1) 一般に,$\sqrt{7}$ が無理数であることから,有理数 $p$,$q$ に対して

$p+q\sqrt{7}=0$ $\Longleftrightarrow$ $p=q=\boxed{\text{カ}}$

が成り立つ。

(2) $\alpha-\beta$ が有理数ならば,$r$ は

$\cfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{オ}}}+\cfrac{r^2-3r}{\boxed{\text{キ}}}=0$

を満たす。このとき

$r=\cfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$ または $r=\cfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}$

である。ただし,$\cfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$ と $\cfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}$ の解答の順序は問わない。

〔2〕$a$ を正の実数とする。このとき,実数 $x$ に関する次の条件 $p$,$q$,$r$ を考える。

$p$:$|x-1|$ ≦ $a$,$q$:$|x|$ ≦ $\cfrac{5}{2}$, $r$:$x^2-2x$ ≦ $a$

次の $\boxed{\text{シ}}$,$\boxed{\text{ス}}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。

$a=1$ のとき,$p$ は $q$ であるための $\boxed{\text{シ}}$。また,$a=3$ のとき,$p$ は $q$ であるための $\boxed{\text{ス}}$。

⓪ 必要条件であるが,十分条件ではない
① 十分条件であるが,必要条件ではない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない

(2) 命題「$p\implies q$」が真となるような $a$ の最大値は $\cfrac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。
また,命題「$q\implies p$」が真となるような $a$ の最小値は $\cfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

(3) 命題「$r\implies q$」が真となるような $a$ の最大値は $\cfrac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}$ である。

〔3〕実数 $a$ は 2 次不等式 $a^2-3$< $a$ を満たすとする。このとき $a$ のとり得る値の範囲は

$\cfrac{\boxed{\text{ト}}-\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$ < $a$ < $\cfrac{\boxed{\text{ト}}+\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$

である。

$x$ の2次関数

$f(x)=-x^2+1$

を考える。

$a^2-3$ ≦ $x$ ≦ $a$ における関数 $y=f(x)$ の最大値が 1 であるような $a$ の値の範囲は

$\boxed{\text{ネ}}$ ≦ $a$ ≦ $\boxed{\text{ノ}}$

である。

また,$a^2-3$≦ $x$ ≦ $a$ における関数 $y=f(x)$ の最大値が 1 で,最小値が $f(a)$ であるような $a$ の値の範囲は

$\cfrac{\boxed{\text{ハヒ}}+\sqrt{\boxed{\text{フヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}$ ≦ $a$ ≦ $\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$ である。

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